I -+- f; -»- J= o, Ca7 + C> -H C"z = o
représentent un même plan, ce qui donne les équations (2).
EXERCICES
1. Exprimer qu'une quadrique a pour centre un point donné et pour axe une droite passant par ce point.
2. Equation générale des quadriques passant par une conique et une droite. Si l'on prend la droite pour axe des z et û f{x, y) = o est l'équation de la conique dans le plan des x, y\ on trouve f{x, y) -+- z{ax-\- by) = o. Le polynôme /(iP, y) n'a pas de terme constant. Si P = o est, avec des axes quelconques, l'équation du plan de la conique elf(x, y, z) = o l'équation du cylindre ayant cette conique pour directrice et dont les génératrices sont parallèles à la droite donnée, enfin Q = o, R= o étant les équations de cette droite, on trouve /(a?, y, ^) -i- P(a Q -t- ^R) = o. Prendre aussi un tétraèdre de référence dont la droite soit une arête, la conique donnée étant dans le plan d'une face.
3. Traiter le même problème quand la droite est parallèle au plan de la conique.
4. Equation générale des quadriques passant par deux coniques données. On suppose l'une de ces coniques dans le plan xOy, l'autre dans le plan xOz; elles rencontrent l'axe des x aux mêmes points. On trouve
A.x^ + A.y^ -+■ A."z^ -+- ^.lyz -{- iB' zx -H -iB" xy
•+■ 2Ga7-f- aC'jKH- 2G"s-f-D = o, X étant un paramètre variable.
5. Exprimer que deux quadriques ont un plan principal commun, ou un axe commun, ou un plan directeur commun, ou un plan cyclique commun, la même sphère de Monge, etc.
6. Exprimer que deux quadriques ont une droite commune. ( Voir G. BouR- LET, Nouvelles Annales, p. 434; 1894.)
7. Gombien donne-t-on de conditions quand on assujettit une quadrique à être inscrite à un cône du second degré donné.
8. On donne le plan polaire d'un point par rapport à une quadrique, combien cela fait-il de conditions?
9. On veut que deux droites données soient conjuguées par rapport à une quadrique; combien cela fait-il de conditions?
10. On donne l'axe d'une quadrique de révolution; combien cela vaut-il de conditions?
Théorèmes généraux.
4!2G. Théorème. — U intersection de deux quadriques est, en général, une courbe gauche du quatrième ordre.
Considérons deux quadriques Q, Q'; les intersections de ces deux surfaces par un plan quelconque sont deux coniques C, C qui ont quatre points communs. Un plan quelconque coupe donc la courbe d'intersection des deux quadriques en quatre points; par suite, cette courbe est du quatrième ordre.
Mais, comme nous le verrons, cette courbe peut se décomposer en deux coniques, en une conique et deux droites, en une cubique et une droite, en quatre droites.
427. Équation générale des quadriques passant par l'intersection de deux quadriques.
Soient y= o, g=o les équations ponctuelles de deux quadriques. L'équation
est vérifiée par les coordonnées des points communs aux deux quadriques/", g. Si l'on peut déterminer X et jx de manière que l'équa-
4l4 CHAPITRE XXYIII.
tion précédente représente l'une quelconque Q des quadriques passant par l'intersection des quadriques données, cette équation sera l'équation générale demandée.
Soient Xi^yt, z^ les coordonnées d'un point quelconque M de la quadrique Q, non situé sur la courbe d'intersection des quadriques
f, g. L'équation
fgi — S'fi = o
dans laquelle /) et ^< représentent ce que deviennent les polynômes/et g quand on y substitue aux coordonnées courantes celles de M, définit une quadrique Q( passant par le point M et par les points communs aux quadriques /, g. Si l'on coupe les deux quadriques Q et Q( par un plan quelconque passant par M, les deux coniques obtenues auront cinq points communs et, par suite, coïncideront. Or, si les intersections de deux quadriques par chacune des trois faces d'un trièdre coïncident, ces deux quadriques coïncident, comme on s'en assure aisément en les rapportant à ce trièdre. On voit, par ce qui précède, que les quadriques Q et Qj coïncident et, par suite, la proposition est établie.
Remarque. — La proposition précédente peut être en défaut; si les deux quadriques données dégénèrent en systèmes de plans ayant une droite commune, et définis par les équations
PQ = o, aP2-+-6PQ-+-cQ2 = o,
l'équation
aP2 + (6 -+- X) PQ + cQ'- = o
ne saurait représenter tous les systèmes de deux plans passant par la même droite.
428. Théorème. — La classe de la surface développable circonscrite à deux quadriques est égale à 4.
En effet, le nombre des plans tangents à deux quadriques, qu'on peut mener par un point donné, est égal au nombre des plans tangents communs aux deux cônes ayant ce point pour sommet et circonscrits à ces quadriques, et ce nombre est égal à 4-
429. Théorème. — Si¥ {u,v, w, r) = o, G{u,v,w, r)z= o sont les équations tangentielles de deux quadriques, l'équation
XF(m, V, w ,r) ■+• y.G{u, v, w, r) = o
INTERSECTION DE DEUX QUADRIQUES. ^l5
est l'équation générale des quadriques inscrites à la développable circonscrite aux deux premières.
II suffit de remarquer que l'équation
l¥{T,y,z,t) -^\LG{x,y,z,t) = o
représente le faisceau des quadriques passant par Tintersection des deux quadriques définies par les équations ponctuelles
et de transformer, par polaires réciproques, la quadrique directrice ayant pour équation x^ -hy^ -h z- -+- 1^ = o.
430. Théorème. — Trois quadriques ont, en général, huit points communs.
Ce théorème est une conséquence immédiate du théorème de Bézout relatif au nombre de solutions d'un système d'équations simultanées; on peut l'établir directement de la manière suivante.
Rapportons les trois quadriques à un tétraèdre de référence, dont un sommet soit l'un des points communs aux trois quadriques. Les équations de ces quadriques sont de la forme
f {x,y,z)^tg {x,y,z) = o^
/■i{^,y,^)-^tgi{x,y,z) = o;
f^f\,fi désignant des polynômes homogènes du second degré, et g, gy^ g^ des polynômes homogènes du premier degré. Pour trouver les points communs autres que le point : a: = o, j = o, z = o, posons
nous aurons ainsi à déterminer a, p, y de façon que les équations
p/i(«, ?»T)-+- tgiia, p,Y) = o,
aient une solution commune autre que p = o, f = o. Pour cela, il faut et il suffit que a, p, y vérifient les équations
fgi - ft /i = « , fffi — gfî = o.
En regardant a, p, y comme des coordonnées courantes, ces équations définissent deux cônes du troisième ordre, ayant même sommet et, par suite,
4l6 CHAPITRE XXVIII.
ayant neuf génératrices communes; mais, les deux génératrices communes au cône /= o et au plan ^ = o, devant être rejetées, on trouve seulement sept nouvelles solutions, ce qui démontre la proposition.
4:31. Théorème corrélatif. — Ti^ois quadriques ont, en général, huit plans tangents communs.
Démonstration par polaires réciproques.
432. Théorème. — Les quadriques qui ont huit points communs ont, en général, une infinité de points communs situés sur une biquadratique, intersection de deux quelconques d'entre elles.
En effet, si l'on donne huit points et si le déterminant principal du système d'équations, linéaires par rapport aux coefficients de l'équation générale, obtenues en écrivant que cette équation est vérifiée par les coordonnées des huit points donnés, est du huitième degré, l'équation la plus générale, vérifiant les conditions données, sera de la forme
y, = o, /î = o représentant deux quadriques passant par les huit points.
fl peut arriver que le déterminant principal soit du septième ordre seulement; dans ce cas, l'équation générale des quadriques passant par les huit points donnés sera
toutes les quadriques passant par sept des points donnés passent alors par le huitième.
Si quatre quelconques des points donnés ne sont pas dans un même plan, le degré du déterminant principal ne pourra pas s'abaisser davantage (419).
433. Théorème corrélatif. — Toutes les quadriques qui ont huit plans tangents sont, en général, inscrites à une même développable circonscrite à deux quelconques d'entre elles.
434. Théorème. — Les quadriques qui ont sept points communs ont un huitième point commun. (Lamé.)
Si l'on suppose que quatre quelconques des sept points donnés ne soient pas dans un même plan, ou mieux, si l'on suppose remplies les conditions trouvées au n" 419; en suivant la méthode indiquée, on voit que l'équation générale des quadriques passant par les sept points donnés sera de la forme
et, par suite, toutes les quadriques passeront par les huit points communs aux trois quadriques /i,/2, /s, qui sont d'ailleurs trois quelconques des quadriques passant par les points donnés.
INTERSECTION DE DEIX QUADRIQUES. ^l"]
En particulier, toutes les quadriques passant par sept des sommets d'un
hexaèdre passeront par le huitième. Si a = o, aj = o ; p = o. Pi = o ; y = o,
Yi = o sont les équations des couples de faces opposées de cet hexaèdre,
l'équation générale des quadriques qui lui sont circonscrites sera, en vertu
de ce qui précède,
À,aa,-f- XîPPi-f-XsYYi = o.
Il peut se faire que les sept équations exprimant que l'équation du second degré est vérifiée par les coordonnées des points donnés se réduisent à six. Par exemple, si l'on suppose que trois des points donnés soient sur Ox, trois sur Oy et le septième sur Os, l'équation générale des quadriques passant par les sept points donnés sera
lixy -^ z[liX -^Isj -hl-Js — c)] = o.
Si les sept points sont dans un plan (non disposés sur deux droites, ni sur une seule droite), en prenant ce plan pour plan desa;,^, l'équation générale des quadriques passant par ces sept points contiendra trois paramétres et sera
zCKiX -+- l^y •+■ X3S + X4) = o.
Si les sept points étaient sur une droite, ils compteraient pour trois points et, par suite, l'équation contiendrait six paramètres, etc.
•43d. Théorème corrél\tif. — Les quadriques qui ont sept plans tangents communs en ont, en général, un huitième.
Quadriques bitangentes.
436. Théorème. — Si deux quadriques se touchent en deux points A, B, et si la droite AB n est pas une génératrice commune à ces deux quadriques, elles se coupent, en général, suivant deux courbes planes ; et réciproquement.
En effet, soit M un point de l'intersection des deux quadriques, le plan ABM coupe ces deux surfaces suivant deux coniques ajant trois points communs A, B, M et tangentes en A et B, puisque les tangentes en A et B sont les intersections du plan sécant et des plans tangents en ces points aux deux quadriques. Ces deux coniques coïncident et, par suite, les deux quadriques ont une première courbe plane commune passant par A et B. Il peut se faire que leur intersection se compose uniquement de cette conique; s'il n'en est pas ainsi, soit M' un point commun aux deux quadriques, non situé sur la conique que nous venons de déterminer; le plan ABM' NiEWENGLOWSKi. — G. an., III. a'j
4i8 CHAPITRE XXVIII.
coupe les deux quadriques suivant une nouvelle conique, qui leur est commune, et l'intersection complète se compose de ces deux coniques.
Il est évident que le raisonnement précédent ne convient plus quand la droite AB est une génératrice commune aux deux quadriques, car tout plan passant par AB coupe chacune des deux surfaces suivant un système de deux droites dont l'une est la droite AB. Dans ce cas, l'intersection complète des deux quadriques se compose en général de AB et d'une cubique; nous reviendrons plus loin sur ce cas particulier.
Réciproquement, si deux quadriques se coupent suivant deux coniques, ces deux courbes ont, en général, deux points communs A, B^ en chacun de ces points, le plan tangent est déterminé par les tangentes aux deux coniques. Les deux quadriques sont donc tangentes en A et en B; elles sont bitangentes.
Il peut arriver que les points A et B se réunissent, c'est-à-dire que les deux coniques soient tangentes en un point A à une même droite; dans ce cas, les quadriques se louchent en ce point, comme cela résultera de la démonstration donnée plus bas (438).
437. Nous allons maintenant établir le théorème précédent par le calcul.
Nous prendrons la droite AB pour axe des z, l'origine étant le milieu du segment AB; l'axe des ;^ sera parallèle à l'intersection D des plans tangents en A et B communs aux deux quadriques; enfin l'axe des x sera une droite quelconque rencontrant D. Soient z = o, ir = a les équations de D. Si l'on pose OA = c, une quadrique passant par A et B a pour équation
-2 — c- -I- Aa"2-{- A'/^-i- :>- Bj'- -H 2B'^.r -+- iW xy -t- aC.r -+■ o.G'y = o.
En exprimant que le plan tangent en A et le plan tangent en B doivent contenir la droite D, on trouve
BcM-C'=o, B'ac-t-Ga — 0^ = 0,
— Bc-f-G'=o, — B'ac-t-Ga — 0^ = 0,
d'où l'on tire
B=o, G'=o, B'=o, Ga=c2.
Les équations des deux quadriques sont donc :
z^—c^-+- Ax^-^ A'72-f- aBVj-f- ^^— ar = o, z^ — c^ -{- AiX^-h A[j^ -i- ^B'ixf -i X = 0.
Les points communs à ces deux quadriques sont déterminés par l'une des deux équations précédentes et l'équation
qui représente deux plans passant par l'axe des z. L'intersection des deux quadriques se compose donc de deux courbes planes.
A3S. Réciproquement, soient P ^ o, Q = o les équations des plans de deux coniques communes à deux quadriques. Si l'une de ces quadriques a pour équation y = o, l'autre, pouvant être considérée comme passant par l'intersection de la première et du système de deux plans définis par l'équation PQ = o, aura une équation de
la forme
/-+-2XPQ = o.
Si l'on pose
df ôf df df
âa-x ofi dzi aty
l'équation du plan tangent au point M(:r, , j>^( , 5, , <,) de la première quadrique étant T = o, le plan tangent à la seconde, en ce même point, supposé commun aux deux surfaces, aura pour équation
T4-).(PQ, + QP,) = o,
P, et Q, désignant les résultats de la substitution de .r,,jK<j^i, ^i aux coordonnées courantes dans les polynômes P, Q. Or, si l'on suppose que le point M soit l'un des points communs aux deux coniques qui composent l'intersection des quadriques données, on a P, = o, Q, ^ o et, par suite, on voit que les deux quadriques sont tangentes en M.
439. Equation générale des quadriques bitangentes à une quadrique donnée. — Soit y*(x,y, 5) ^ o l'équation d'une quadrique; toute quadrique bilangente à la proposée la coupe suivant deux coniques , et réciproquement. Il en résulte que l'équation demandée est de la forme
f(x,y,z)-^VÇl = o,
P et Q étant deux polynômes de premier degré.
Application. — Proposons-nous de trouver l'équation générale des quadriques tangentes à deux plans donnés. Soient U = o, V=o les équations
de ces plans, et R = o, S = o les équations d'une droite coupant ces plans en A et B. Une quadrique tangente en A au plan U est coupée par ce plan suivant deux droites AM, AP ; si cette même quadrique est tangente en B au plan V, elle est coupée par ce plan suivant deux droites BM, BP, M et P étant les points de rencontre de cette quadrique et de la droite commune aux plans U et V. On vérifie ainsi que la quadrique coupe la quadrique dégénérée formée des plans U, V suivant deux coniques dégénérées en systèmes de droites (AM, BM) et (AP, BP). Le système des plans de ces coniques dégénérées a pour équation
aR2-4-èRS + cS2 = o
et, par suite, l'équation de toute quadrique tangente aux deux plans U, V aux points où ils sont rencontrés par la droite (R = o, S = o) est de la forme
UV-t-aR2-4-6RS + cS2 =o,
a, b, c étant des paramètres arbitraires.
Quadriques inscrites ou circonscrites.
440. Quand deux quadriques sont tangentes en trois points, elles se coupent suivant une seule conique et se raccordent le long de cette conique^ pourvu que la droite qui passe par deux quelconques des points de contact ne fasse pas partie de V intersection.
En effet, soient A, B, G les points de contact de deux quadriques ayant trois plans tangents communs. Les deux surfaces, ayant même plan tangent en A et B. se coupent suivant deux coniques dont les plans passent par ces deux points. Mais, C étant aussi un point de contact, les plans des coniques communes doivent aussi passer par C, ce qui prouve que ces plans, ayant trois points communs, sont confondus. En d'autres termes, toute l'intersection se réduit à une seule conique située dans le plan ABC. D'autre part, les plans tangents en A, B, i\ ont un seul point commun S à distance finie ou infinie ; car ils ne peuvent avoir une droite commune, puisqu'on ne peut mener à une quadrique que deux plans tangents au plus par une droite. Le plan polaire de S par rapport à l'une quelconque des quadriques est le plan ABC; donc les deux quadriques sont inscrites à un même cône ayant S pour sommet; elles ont donc même plan langent en tous les points de leur intersection ; on dit alors que
INTERSECTION DK DEUX QL'ADRIQUES. ^1i
l'une est circonscrite à l'autre ou que la seconde est inscrite à la première.
Supposons maintenant que AB soit une génératrice commune aux deux quadriques. L'intersection de la première quadrique par son plan tangent en C se compose de deux droites, dont l'une rencontre la droite AB en un point D qui est le point commun à AB et au plan tangent en C. Il en résulte que CD appartient aussi à la seconde quadrique et par conséquent ces deux quadriques se louchent en D. Donc, si ces deux quadriques n'ont que deux plans tangents communs le long de AB, le point D se confond soit avec A, soit avec B. Supposons que D se confonde avec B; dans ce cas, les deux quadriques ont en commun une conique dégénérée formée des droites AB, GB; elles se coupent en général suivant une seconde conique passant par A et C.
Nous verrons plus loin que si les deux quadriques ont même plan tangent en trois points d'une droite, elles se raccordent tout le long de cette droite et ne peuvent avoir d'autre plan tangent commun en un point situé hors de celte droite (430).
441. Démonstration analytique. — Soit S le point de concours des plans tangents en A, B, G; prenons le tétraèdre SABG pour tétraèdre de référence. Une quadrique passant par A, B, G a pour équation
2 BYZ + 2 B'ZX ^- 2 B" XY + i C X T -+- > G' Y T + 2 G" ZT -+- DT^ = o ;
le plan tangent en A a pour équation
B"\ -+- H'Z + GT^o.
Ce plan passe par le point S, donc G = o. On verrait de môme que G' = o,
L'équation d'une quadrique vérifiant les conditions données est donc
DT» + 2 B YZ + >. B'ZX -t- 2 G'XY = o.
Les équations des plans tangents en A, B, G sont respectivement
B'Y^-B'Z^o, B'X-^BZ^o, B'X-fBY = o.
On peut remarquer que les traces de ces plans sur le plan ABG rencontrent les côtés de ce triangle en trois points situés sur la droite ayant pour équations
et que les droites joignant les points de contact A, B, C aux sommets du triangle formé par les traces des plans tangents en A, B, G sur le plan T = o, concourent en un même point ayant pour coordonnées
Considérons une seconde quadrique remplissant les mêmes conditions et soit
D, T2 + 2 B, YZ 4- 2 B ; ZX + 2 b; XY = o
son équation; ces quadriques ayant mêmes plans tangents en A, B, G. on doit poser
B' b; Bï
Rien n'empêche d'ailleurs de supposer ces rapports égaux à i ; de sorte que l'équation de la seconde quadrique sera
DiT2-i- aBYZ + 2B'ZX -^ ?.B"XY = o,
et, par conséquent, si l'on représente par f—o l'équation de la première quadrique, celle de la seconde sera
/-f-XT2 = o.
On voit ainsi que les quadriques données se coupent suivant une seule courbe plane située dans le plan T = o et qu'en chacun des points communs le plan tangent est le même, car, si l'on forme l'équation du plan tangent en un point (a^i, ^1, Zi, tx) de la seconde surface, il faut ajouter aux premiers membres de l'équation du plan tangent à la première le produit TTi, qui est nul si le point de contact appartient à la courbe commune.
442. Équation générale des quadriques circonscrites ou inscrites à une quadrique donnée. — Soient fz= o l'équation d'une quadrique etP=o Téquation d'un plan; une quadrique circonscrite le long de l'intersection du plan P et de la quadrique donnée a une
équation de la forme
/+2PQ = o,
Q étant une fonction linéaire; mais, pour former l'équation du plan tangent à cette quadrique en un point de la courbe d'intersection de la quadrique f par le plan P, il faut ajouter au premier membre de l'équation du plan tangent à la première l'équation PQ, + QPj, P» et Q, désignant ce que deviennent P et Q quand on j substitue aux coordonnées courantes celles du point considéré. Or P, = o; donc on doit avoir aussi Q, = o, puisque les deux quadriques ont même
plan tangent. Le polynôme Q doit donc être nul en tous les points de la conique intersection de la quadrique^et du plan P; donc Q doit être proportionnel à P et, par suite, l'équation demandée est de la forme
comme nous l'avons trouvé par une autre méthode (441); on vérifie immédiatement que, réciproquement, cette équation représente, quelle que soit la valeur de X, une quadrique qui se raccorde avec la proposée en tous les points de la conique suivant laquelle elle est coupée par le plan P. L'équation précédente est donc l'équation générale demandée.
443. Théorème. — Par un point donné il ne passe qu'une seule quadrique circonscrite à une quadrique donnée, le long d'une conique déterminée.
En effet, l'équation /, + aP^ = o est du premier degré en )..
Application. — La courbe de contact du cône circonscrit à une quadrique^, ayant pour sommet le point S(:ro, yo, Zg) est dans le plan polaire du point S; donc ce cône a une équation de la forme
^ / àf df ùf dfy-
Pour déterminer X, il suffit d'écrire que le cône passe par son sommet, ce qui donne
/(^o,ro,-So)-l-4À/2(.ro,j'o, ^o) = o;
en éliminant X on retrouve l'équation connue du cône circonscrit.
Pareillement, la courbe de contact du cylindre circonscrit, dont les génératrices ont pour paramètres directeurs a, p, y» est dans le plan diamétral conjugué à cette direction; ce cylindre a donc une équation de la forme
Il suffit, pour déterminer X, d'écrire que le cylindre passe par le point à l'infini (a, p, y> o), ce qui donne
cp(a,p,Y)-f-4Xcp2(a,p,Y) = o,
et, en supposant ç(a, S, y) 7^ o, on lire de cette équation X = — - — ; — ^5 — - ;
49(*, p, y) en remplaçant X par cette valeur, on retrouve l'équation connue du cylindre circonscrit.
444. Théorème. — Deux quadriques circonscrites à une même quadrique se coupent suivant deux courbes planes.
En effet, les équations de ces deux quadriques peuvent se mettre sous la forme
leurs points communs sont les points communs à l'une d'elles et au système de deux plans représenté par P^ — Q^ ^ o.
Exemple. — Deux quadriques de révolution ayant un foyer commun sont circonscrites à une sphère de rayon nul; elles se coupent donc suivant deux coniques. Leurs équations sont de la forme
(a; — a)2-i-(j ^,)2-|-(-c)2= Q2; on peut donc leur appliquer la démonstration précédente.
445. Théorème. — Les intersections par un même plan de deux quadriques dont l'une est circonscrite à l'autre sont des coniques bitangentes.
En effet, prenons le plan sécant pour plan des x^ y. Les équations des deux quadriques peuvent s'écrire
f{x, y, z) = o, f{x, y, z) ^ k{ax ^by-^cz + df ^ o.
Les sections par le plan des x.,y ont pour équations, dans ce plan,
f^^^.y, o) = o, f{oc,y, o) -f- k{ax ■+■ by -^ d)^ = o.
Quand le plan sécant est mené par une tangente à la courbe des contacts, les sections sont osculatrices, c'est-à-dire ont un contact du troisième ordre. Si l'une des quadriques est une sphère, on obtient alors le cercle osculateur en un sommet de la conique située sur l'autre quadrique.
446. Corollaire. — Si l'on coupe une quadrique circonscrite à une seconde quadrique par le plan tangent en un ombilic de cette dernière, la section aura pour foyer l'ombilic, la directrice correspondante étant la trace du plan sécant sur le plan de la courbe des contacts.
En effet, en prenant pour axes des x et des y deux droites rectangulaires menées par l'ombilic d'une quadrique dans le plan tangent en ce point et pour axe des z la normale au même point, l'équation de cette quadrique sera
f{x,y,z) = x'^-^y'''-{'Z{ci.x-+-^y-\-^z + ^) = o;
INTERSECTION l)E DEUX QCADRIQUES. /JîS
en conservant les notations du numéro précédent, la section d'une quadriqui* circonscrite, par le plan des x, y, aura pour équation
x^-\- y^-\- k{aT 4- by 4- d)- = o,
ce qui démontre la proposition.
417. Cas particulier. — Tous les points d'une sphère sont des ombilics. En second lieu, toute quadrique circonscrite ou inscrite à une sphère est une quadrique de révolution, et, réciproquement, on peut inscrire ou circonscrire une sphère à une quadrique de révolution, le plan des contacts étant celui d'un parallèle quelconque de cette surface. Gela étant admis, on obtient ces théorèmes :
La section d'une quadrique de révolution par un plan tangent à une sphère y inscrite est une conique ayant pour foyer le point de contact de la sphère et du plan, et pour directrice correspondante l'intersection de ce plan et du plan des contacts.
La section d'une quadrique par un plan tangent à deux sphères y inscrites est une conique ayant pour foyers les deux points de contact du plan sécant et des sphères.
Dans le cas d'un cône ou d'un cylindre de révolution on retrouve le théorème de Dandelin.
CAS ou L INTERSECTION DE DEUX QUADRIQUES SE DÉCOMPOSE.
448. L'intersection de deux quadriques étant, dans le cas le plus général, une courbe du quatrième ordre, peut se décomposer en deux coniques; en une conique et deux droites; en quatre droites ou enfin en une cubique gauche et une droite.
On obtient deux coniques quand les quadriques sont bitangentes; mais on peut avoir aussi, comme cas limite, deux coniques tangentes, comme nous l'avons vu. Il nous reste à étudier le cas où les deux quadriques ont au moins une droite commune.
Quadriques ayant une droite commune.
449. Nous avons démontré que si deux surfaces réglée quelconques ont une génératrice rectiligne commune, elles se touchent en deux points de cette droite, et que si elles ont même plan tangent en trois points de la génératrice, elles se raccordent tout le long de cette
droite. Nous allons démontrer ces propositions dans le cas des quadriques.
Les équations de deux quadriques contenant l'axe des z sont de la forme
kx--^ k' y^-^ 7.Byz -i- aB'z.r-t- 7.^" xf -h 2Cx -+- 2 C'y = o, kix^-+- t\\y^-^ 2B1JK-S -+- iB'fZX -{- l'Qlxy -\- iC^x -\- iC\y = o.
Les équations des plans tangents aux points ^ = o, y = o, z =1 h sont
h{B'x 4- Bjk) + g a- + C> = o,
li{\i\x -f- Bi^) 4- Cxx -h G'jjK = o. Ces plans sont confondus si
B7t + C Bi/i + G'
B'i A -H Cl ~ Bi h H- G',
L'équation précédente est du second degré en h] il j a donc sur l'axe des z deux points réels ou imaginaires en lesquels les deux quadriques sont tangentes; si les deux quadriques sont tangentes en trois points de l'axe des ^, elles sont tangentes en tous les points de cette droite et l'équation précédente est vérifiée quel que soit h. Dans ce cas, on a
450. Quadriques se raccordant le long d'une génératrice commune. — Supposons les conditions précédentes remplies. On peut supposer la valeur commune des rapports précécjents égale à l'unité, et, par suite, l'équation de la seconde quadrique sera
Ajar^-H A'jjK--t- 2Byz -+- ■2B'zx -h "îB^xy -\- 2Gx -h 2 C'y = o.
L'intersection des deux surfaces est alors définie par l'équation de l'une d'elles, et l'équation
(A — Â,)^2+(A'— A'i)jK2-t-a(B"— BÏ)^^ = o,
qui représente deux plans passant par l'axe des z. Cette intersection se compose donc de l'axe des 2, associé à deux droites D, D' qui rencontrent cet axe. On peut encore dire, si l'on veut, que l'intersection se compose de deux coniques dégénérées : (0-s, D) et (Os, D').
LXTKRSECTIOX DK DEUX QIADRIQUES. /j27
Il est facile d'établir que, dans le cas qui nous occupe, les deux surfaces ne peuvent être tangentes en aucun point pris hors de la génératrice suivant laquelle elles se raccordent. Prenons la droite D pour axe des x et supposons l'axe des^ parallèle à D', l'axe des z étant le même que plus haut. En représentant par a? = o, 2 = a les équations de D', les équations des deux qua-
driques seront
V>yz - i- I)' zx -H B" xy — B rLy = o,
Byz -+- B' zx -+- B'|[ xy — Bocy — o.
Si ces surfaces étaient tangentes en un point pris hors de l'axe des z, le point de contact serait sur D ou sur D'; supposons-le sur l'axe des x. Les plans tangents au point x = Xq, y = o, z = o ayant pour équations
XoiB" y -+■ B'z) — Ba/ = o, XoiB'ly-^B'z)-BoLy = o.
Ces plans ne peuvent coïncider que si B' = Bj ; mais, dans ce cas, les deux quadriques coïncideraient.
4ol. Il peut arriver que les droites Del D' coïncident; si nous supposons que l'axe des a; soit la droite D, on aura
les équations des deux quadriques sont alors
A' y- -+- i Byz -f- •>. B'zx -f- ■>. B'xy -f- 2 C'y = o, A',^'^ -h 1 Byz -T- 1 B' zx -f- 1 B" xy -)- x C'y = o.
Dans ce cas, ces deux surfaces se raccordent en tous les points des deux droites qui leur sont communes.
Bemarquons enfin que si deux quadriques se raccordent le long d'une droite commune, le plan tangent commun en chaque point de celte droite varie avec le point de contact, à moins que ces surfaces ne soient des cylindres ou des cônes. Supposons, en effet, que l'axe des z étant une génératrice rectiligne, le plan xOz soit tangent tout le long de cette droite à une quadrique; l'équation de cette quadrique sera de la forme
Aa-î -f- A.'y^ m- 2 Byz -\- 2 B'xy -+- 2 C'y = o ;
on voit que cette équation représente un cône si B ^ o, et un cylindre, si B = o.
432. Quadriques tangentes en deux points d'une génératrice commune. — Nous supposerons les deux points de contact réels;
428 CHAPITHE XXVIIl.
l'un d'eux peut alors être pris pour origine des coordonnées, le plan tangent en ce point étant par exemple le plan yOz^ et l'axe des z, comme plus haut, la génératrice commune. Les équations des deux quadriques seront alors
Ax^ -h A'jK- -!- oByz -4- 9.W zx -+- "iW xy h- 'xx = o, A 1 a7^ H- A j jK- H- 2 B lyz + 2 B, sr -f- 2 B 1 xy -f- 9. a? = o.
On a supposé le coefficient de x différent de zéro, car les deux quadriques ne peuvent être des cônes, dans le cas précédent.
On peut supposer encore que le second plan tangent commun soit le planj^Os; il faut, par exemple, poser B'^B, ; le point de contact
de ce plan aura pour coordonnées x = o, y = o, z^= — rr-, •
Cela étant, proposons-nous de cliercher les points de l'intersection des deux quadriques qui se trouvent situés hors de l'axe des z.
Cherchons pour cela les points de cette intersection situés dans un plan quelconque mené par l'axe des z. En posant j"= mx dans les équations des deux quadriques, et supprimant le facteur x^ on trouve, en résolvant le sjstème d'équations linéaires obtenu :
ain^
bm
cm -+-
am^
bni a'
cm -h
iin^-r- bin--\-~cm, -\- d
L'intersection se compose donc de l'axe des 5 et de cette cubique, qui passe par les deux points de contact des deux quadriques qui sont sur la génératrice commune, car :r = 0,^ = 0, z^= 0 pour m
infini, et ;r = o, y = o, :; = — = — —, pour m = o.
L'origine est un point double de la projection de la cubique sur le plan xOy, les tangentes étant Ox et Oy; d'ailleurs, la projection cylindrique ou conique d'une cubique sur un plan quelconque a toujours un point double. Voici comment Poncelet le démontre. La cubique fait partie de l'intersection de deux quadriques f=o, y*! = o ayant une droite commune D; ces deux quadriques définissent un faisceau ponctuel (/-H X/j = o). Soit S le point de vue; par S il passe une quadrique du faisceau, dont deux génératrices rectilignes SA, SB passent par S. L'une SA rencontre la droite D et la cubique; l'autre SB, de même système que D, rencontre donc la cubique en
INTERSECTION DE DEUX QL'ADRIQUES. 4^9
deux points; la trace de SB sur le plan de projection est un point double do la projection de la cubique sur ce plan.
•453. Qiiadriques ayant deux génératrices rectilignes communes. — Quand deux quadriques ont deux génératrices de même système communes, elles en ont nécessairement une autre, ou deux autres.
En effet, soient G, G' les deux génératrices communes. Ces deux génératrices ne peuvent pas constituer toute l'intersection; soit donc M un point commun aux deux quadriques et non situé sur G ni sur G'.
La droite qui passe par M et s'appuie sur G et G' a trois points sur chacune des deux surfaces; cette droite est donc une génératrice G| de l'autre système, commune aux deux surfaces.
Il peut se faire que l'intersection des deux quadriques se compose des trois droites G, G', G( ; dans ce cas, les deux quadriques se raccordent le long de G|. Supposons qu'il y ait d'autres points communs, et soit M' l'un d'eux^ on voit encore que la droite Go qui passe par M' et s'appuie sur G et G' est tout entière située sur cliacune des deux quadriques : l'intersection se compose alors des quatre côtés d'un quadrilatère gauche.
Traitons la question par le calcul. Soient P = o, Q = o les équations de G, R = o, S = o celles de G'. Les équations de doux quadriques contenant G et G' sont
P(aR-T-6Sj-r-Q(a'l{ -H 6'S) = o,
P(aR + pS)-i-Q(a'R -^ ?'S) = o;
les points d'intersection non situés sur G sont les points communs à l'une de ces quadriques et au système de deux plans défini par l'équation
(aR^6S)(a'R + fi'S) - {yW ■ 3 S) (a'R -i- 6'S) = o.
Ces plans, passant parG', coupent cette quadrique suivantdeux droites Gi, Gj, qui peuvent d'ailleurs être confondues en une seule.
Si les deux génératrices communes sont de systèmes différents, elles se rencontrent, et l'on peut les considérer comme formant une courbe plane commune aux deux quadriques, qui ont alors une seconde conique commune, laquelle peut d'ailleurs dégénérer en deux nouvelles génératrices rectilignes.
43o CHAPITIIE XXVIII.
454. Cas particulier. — Intersection de deux paraboloïdes ayant un plan directeur commun et une génératrice commune. — Si l'on représente par
PQ4-R = o, PQ'4-IV=o
les équations des deux paraboloïdes, on voit qu'ils ont une génératrice commune, située dans le plan de l'infini, ayant pour équations P = o, ^ = o.
Si la génératrice commune donnée est parallèle au plan P, le plan parallèle à P mené par cette génératrice coupe les deux paraboloïdes suivant deux génératrices communes; dans ce cas, l'intersection se compose de ces deux droites, dont l'une est à l'infini, et d'une conique, qui peut dégénérer en deux nouvelles génératrices.
Si la génératrice commune n'est pas parallèle au plan P, les deux paraboloïdes peuvent être considérés comme ayant deux droites communes ne se rencontrant pas; ils en ont donc deux autres qui sont parallèles au plan P.
II est utile de reprendre ces questions par le calcul. Dans le premier cas, prenons pour axe des x la génératrice commune donnée, le plan des a;, jk étant le plan directeur commun. Les deux paraboloïdes sont alors tangents en un point de l'axe des x; on peut supposer ce plan pris pour origine et que le plan xOz soit le plan tangent commun; les équations des deux paraboloïdes seront alors
z{aT -^by -\- cz) -i- y = o,
z{aiX ^b^y -\- Ciz)-\-y = o.
L'intersection est donc définie par l'une de ces équations et l'équation
z{{a — ax)x -\- {b — bi) y -\- {c — Cl) z\ = o;
elle se compose donc de l'axe des x, d'une droite à l'infini dans un plan parallèle au plan directeur z = o, et d'une conique située dans le plan ayanl
pour équation
(a — ai)x -\- {b — bi)y -H (c — cx)z = o.
Supposons maintenant que la génératrice donnée ne soit pas parallèle au plan directeur commun ; prenons-la pour axe des z, le plan des x, y étant parallèle au plan directeur donné. Les équations des deux paraboloïdes seront.
dans ce cas,
z{ax -T- by) -+■ a' x -\-b'y = o,
z{aix -+- biy) -h a\x -\- b\y — o.
Les points communs non situes sur la génératrice z ^= o, t = o sont les points communs à l'une de ces quadriques et au système des plans définis par l'équation
(ax -h by) («', X -h b\y ) — (aix -+- bxy) (a' x -+- b'y) = o.
Chacun de ces plans coupe la première surface, par exemple, suivant l'axe des z et une droite s'appuyant sur cet axe et parallèle au plan des 3?, y.
L'intersection se compose donc de l'axe des z, d'une droite à l'infini et de deux droites parallèles au plan directeur donné et s'appuyant sur la génératrice commune donnée.
155. Théorème. — L'intersection de deux quadriques ayant un plan diamétral commun se projette sur ce plan, parallèlement aux cordes qui lui sont conjuguées, suivant une conique; et réciproquement.
En effet, si le plan diaraélral est pris pour plan des x^ y, l'axe des z étant parallèle aux cordes conjuguées, les équations des deux quadriques pouvant s'écrire
la projection de leur intersection sur le plan des ^, j^ a pour équation
/(^, r)— /i(xi,7)=:o.
Réciproquement, si la courbe d'intersection de deux quadriques se projette sur un plan suivant une conique, prenons ce plan pour plan âesx^y^ l'axe des z étant parallèle aux projetantes; les équations des deux quadriques seront
/i^,y>^) = o, f{x,y,z)-hlF{a;,y)=o;
le plan diamétral conjugué à la direction O^ a pour équation -^ = o; il est le même pour les deux quadriques.
456. Corollaire. — Quand les axes de deux surfaces de révolulion du second degré sont dans un même plan, ce plan est un plan principal commun; donc la projection de l'intersection des deux quadriques sur ce plan est une conique, ou, plus exaclemenl, un arc de conique, si l'on se borne à la projection de la partie réelle de l'intersection.
Faisceau ponctuel de quadriques.
457. Soient /( a:, j^, s, /) = o, f\{x,y, z, t) = o les équations de deux quadriques. L'équation
dans laquelle X est un paramétre arbitraire, définit une infinité de quadriques
dont l'ensemble constitue ce qu'on nomme un faisceau ponctuel; les deux quadri^uesy ety*! sont les bases du faisceau. On voit, comme pour les faisceaux de coniques, qu'on peut prendre pour bases deux quadriques quelconques du faisceau.
4S8. Théorème. — Parmi les quadriques d' un faisceau ponctuel il y a. en général, quatre cônes; les sommets de ces cônes sont les sommets d'un tétraèdre conjugué par rapport aux quadriques du faisceau.
Pour exprimer que l'équation y -t- X/i = o représente un cône, on doit annuler le discriminant (ou hessien) de la forme /"-r- XjTi ; on obtient ainsi une équation du quatrième degré en X, H(X) = o, ce qui démontre la première partie du théorème.
Pour démontrer la seconde partie, nous ferons d'abord observer que si un point a même plan polaire par rapport aux quadriques f el f, ce plan polaire commun sera le plan polaire du point considéré par rapporta une quadrique quelconque du faisceau (f,fi), car si l'on a
.,^ àf df, df df àf df, àf df,
ox dx ay oy oz oz ât dt
on en déduit
Il suffit donc de considérer seulement les quadriques/" et yj.
Cherchons les points qui ont mêmes plans polaires par rapport à ces deux quadriques; ce sont évidemment les points dont les coordonnées vérifient les équations (i) dans lesquelles^ désigne une constante convenablement choisie. Or, pour que ces équations admettent des solutions différenles de zéro, il faut et il suffit que H( — A) = o; on voit ainsi que les points cherchés sont les sommets des cônes que nous avons trouvés plus haut.
Si deux points A et B sont des points doubles, le plan polaire de A passe par B, car si les coordonnées de ces points sont x', y', z', t' et x", y, z", t", on a
àfi -..àfi df -, df df .,dfi df , , dfi
iS + X' f-, = o, T^ + X /-, = o, /^ -f- X' /4 = o, /-, -+- X' -f{ = o.
dx dx dy ày dz dz dt dt'
dx^^dx"-""' dy^^dy"-""' d^'^^dF-'"' dp-^^^r-*"'
d'où l'on tire
en posant
P-t-X'Q = o, P-^X"Q = o, O dx' O dx" ^ O dx' O dx"
Donc, en supposant X' ^ X", on a P = o, Q = o et aussi P -i- XQ = o.
D'après cela, en supposant les quatre racines de l'équation H(X) = o distinctes, soient A, B, G, D les sommets des quatre cônes du faisceau. Le plan polaire de chacun de ces points passe par les trois autres; autrement dit, le tétraèdre ABGD est conjugué aux quadriques du faisceau. On peut remarquer d'ailleurs que chacune des faces du tétraèdre, ABC par exemple, coupe évidemment lesdeux quadriques suivant deux coniques auxquelles le triangle ABC est conjugué, ce qui prouve que le plan polaire de A passe par B et C; il passe par D pour la même raison.
439. Cas particulier. — Si l'on considère deux coniques situées dans des plans didérents, mais ayant deux points communs ou tangentes, ces deux coniques peuvent être regardées comme l'intersection d'une quadrique / et d'une quadrique /t dégénérée en un système de deux plans. L'équation en \ relative à ces deux quadriques aura une racine double égale à zéro (ou infinie), qui correspond à la quadrique/i, et deux autres racines. Donc on peut faire passer deux cônes par deux coniques ayant deux points communs.
On peut déterminer les sommets de ces deux cônes. En effet, regardons les deux coniques comme étant l'intersection d'une quadrique /et d'un système/i de deux plans, et soit AB l'intersection de ces deux plans. Le sommet S de l'un des cônes a même plan polaire par rapport aux quadriques/ et/i ; le plan polaire de S contient donc la droite AB, ce qui prouve que S est sur la droite A'B' conjuguée à AB par rapport à/. La droite A'B' coupe la quadrique/ en deux points m, m' et le système de deux plans /i en deux autres points n, n' ; en outre, S est conjugué harmonique par rapport à m, m' et à n, n'. On voit ainsi que S est l'un des points doubles de l'involution définie par les deux couples m, m' et n, n'.
Réciproquement, soient S et S' les points doubles de cette involution. Le plan polaire de S est le même par rapport aux deux quadriques/, /i ; c'est le plan déterminé par la droite AB et le point S'. Je dis que le cône de sommet S, qui a pour directrice l'une des coniques données, contient aussi l'autre conique. En effet, soit P un point quelconque de la première conique; la génératrice SP coupe la quadrique/ en Q' et le plan de la seconde conique en Q". Or, si R est la trace de SP sur le plan polaire de S, les points Q' et Q' sont tous deux conjugués de R par rapport à P et S ; donc ils sont confondus, ce qui prouve que SP rencontre la seconde conique.
On peut déterminer autrement les points S, S'; si l'on trace dans chaque conique le diamètre conjugué à AB, soient EF, GH les diamètres obtenus, E, F, G, H étant leurs extrémités; on voit aisément que les sommets S, S' sont les points communs aux deux droites EG, Fil, ou aux deux droites EH, FG.
460. Conditions pour que l'équation H(X) = o soit indéterminée. — Laissant de côté les cas particuliers où les quadriques/ /j seraient des systèmes de plans, on voit d'abord que, le terme constant et le coefficient de X» devant être nuls, les quadriques/ et /i doivent être des cônes. Si ces cônes
NiEWENGLOWSKI. — G. OU., IIL 28
ont même sommet, toute quadrique du faisceau sera aussi un cône ayant le môme sommet. Supposons que / et /"i soient des cônes ayant des sommets différents O, O'. Toute quadrique du faisceau est un cône; soit w le sommet d'un quelconque de ces cônes. Le plan polaire de lo par rapport aux quadriques /, /i passe par O et 0': il en résulte que w est sur l'intersection des plans polaires de 00' par rapport aux deux cônes/,/]. Le lieu des sommets des cônes du faisceau est donc une droite, et celte droite ne peut être que la droite 00', donc to est sur 00'. Mais le plan polaire de w devant contenir 00', on en conclut que les deux cônes doivent avoir pour génératrice commune la droite 00' et être tangents le long de cette droite; ces deux cônes ont donc alors en commun une conique rencontrant 00'. 11 est d'ailleurs très facile d'établir la réciproque.
461. Discussion de l'intersection de deux quadriques. Méthode de M. G. Kœnigs. — Nous excluons les cas exceptionnels où les deux quadriques f et fi sont des cônes de même sommet ou des cônes de sommets différents, tangents le long d'une génératrice commune. Alors parmi les quadriques du faisceau il y a des quadriques n'ayant pas de point double; nous pouvons supposer qu'une de ces quadriques soit prise pour l'une des bases du faisceau, soit /cette quadrique. On peut mettre l'équation de /sous la forme
PQ = RS
et exprimer, comme nous l'avons vu dans la théorie des génératrices rectilignes, les coordonnées tétraédriques d'un point quelconque de la quadrique en fonction de deux paramètres X, [jl, en posant
et toute équation entre X et [x correspond à une courbe tracée sur/. On démontre aisément le théorème suivant, dû à Ghasles :
L'équation entière F(X, [jl) = o, de degré p en X et de degré q en [x, représente une courbe d'ordre p -t- q tracée sur la quadrique f.
Or, l'équation d'une quadrique /i peut se mettre sous la forme F(P,Q,R,S) = o; donc l'intersection des quadriques /, /i est définie par l'équation
qui est du second degré en X et du second degré en \x. On voit ainsi que cette intersection est en général du quatrième ordre.
On aura donc tous les cas où cette intersection se décompose en étudiant les cas dans lesquels le polynôme F(X[jl, i, [x, X) se décompose.
Nous renverrons le lecteur aux Leçons de l'Agrégation classique de Mathématiques, de M. G. Kœnigs. Foi'r aussi Tresse, Nouvelles Annales, 1892.
Remarque. — La discussion tic l'intersection de deux quadriqucs, au moyen del'équation H (À) = o, a été Tailc complètement par Pain vin (voir Nouvelles Annales, p. 481 ; année 1868). Voir aussi Lucien Lévv, Nouvelles Annales, p. 65; 1891.
46:2. Invariants simultanés de deux quadriques. — L'équation II (X) développée est
H 4- eX -^ <I>X2 ^- e'X» -f- H'X* = o ;
H cl ir sont les discriminants des deux formes f{x,y, z, t) et/i(.r,/, s, t).
Les coefficients de l'équation précédente sont des invariants. En imitant les raisonnements qui ont été faits à propos de l'équation en X relative à deux, coniques, on démontre que si la quadrique/*! est circonscrite à un tétraèdre conjugué à la quadrique/, on a 0 = o et, réciproquement, si cette condition est remplie, il y a une infinité de tétraèdres conjugués à la première quadrique et inscrits à la seconde.
S'il y a un tétraèdre conjugué à la quadrique fi et circonscrit à la quadrique/", on a e = o et, réciproquement, si cette condition est remplie, il y a une infinité de tétraèdres conjugués à /i et circonscrits à /.
On dit alors que la quadrique /i est harmoniquement circonscriie à/, ou que y est harmoniquement inscrite ai fy.
On voit ainsi que si une quadrique fi est harmoniquement circonscrite à la quadrique /*, inversement la quadrique/est harmoniquement inscrite à fi-
On verra de même que la condition pour que /soit harmoniquement circonscrite à fi et, par suite,/ harmoniquement inscrite à /est 9i = o.
Enfin on démontre que la condition * = o exprime qu'il existe un tétraèdre conjugué à Vune des quadriques et dont les six arêtes sont tangentes à l'autre, et réciproquement, car <ï> est symétrique par rapport aux coefficients des deux équations.
On vérifie la condition en prenant un pareil tétraèdre pour tétraèdre de référence.
Faisceau tangentiel de quadriques.
463. Soient F(m, v, w, r) = o, Fi( u, v, w, r) = o les équations tangentielles de deux quadriques. Le système de ces deux équations définit une surface développable de classe égale à 4- L'équation
F(«, V, w, r) -\- tj.Fi(M, V, IV, r) = o
définit un faisceau de quadriques inscrites à cette développable. On voit, en effet, que si un plan (ui, Vi, Wi, ri) est tangent à cette développable, c'està-dire est un plan tangent aux deux quadriques F et Fj, on a
F{ui,vi,wi, /•,) =0, Fi{ui, vi, Wi,ri) = o
l't. par conséquent,
F{ui,vi, ivi, ri) -h ;aF,(»i, fi, »i, ri) =0.
En écrivant que le discriminant du premier membre est nul, on trouve quatre \aleurs de fi. pour lesquelles l'équation précédente représente une conique. Il y a une relation simple entre les racines de cette équation et
celles de H(X) = o; Xjji = -j- (voir t. I, S19).
On a donc ce théorème, qui est le corrélatif du théorème du n° 458 :
464. Théorème. — Il y a, en général, quatre coniques inscrites à la développable circonscrite à deux quadriques données.
On voit, en effet, que la développable circonscrite à deux quadriques est la polaire réciproque de la courbe d'intersection des quadriques polaires réciproques des proposées. A tout cône passant par l'intersection de ces quadriques correspond une conique inscrite à la développable.
465. Théorème. — Quand deux quadriques sont bitangentes, on peut leur circonscrire deux cônes du second degré.
En effet, si l'on transforme par polaires réciproques deux quadriques bitangentes S, Si, il leur correspondra deux quadriques S', S'j inscrites à deux cônes, qui sont les polaires réciproques des coniques suivant lesquelles se coupent S et Sj. Or, les deux quadriques S', S, étant inscrites à un même cône se coupent suivant deux coniques dont les polaires réciproques sont deux cônes circonscrits à S et Sj.
La développable circonscrite aux quadriques données se compose alors de l'ensemble de ces deux cônes.
EXERCICES
1. Trouver l'équation générale des quadriques tangentes aux quatre côtés d'un quadrilatère gauche. Montrer que les points de contact sont dans un même plan.
2. Trouver l'équation générale des quadriques tangentes aux six arêtes d'un tétraèdre pris pour tétraèdre de référence.
— On trouve quatre équations
— labxy — lacxz — ladxt — ibcyz d= i bdyt ±2cd zt = o.
3. Trouver l'équation générale des quadriques ayant un plan donné pour plan principal.
— On peut former l'équation générale des cylindres du second degré dont les génératrices sont perpendiculaires au plan donné et regarder la quadrique demandée comme circonscrite ou inscrite à ce cylindre.
4. Équation générale des quadriques ayant pour centre un point 0 et admettant pour axe la droite donnée OA.
3. Lieu des centres des quadriques passant par l'intersection de deux quadriques données. Cas où la cubique trouvée se décompose.
6. Par l'intersection de deux, quadriques on peut faire passer trois paraholoïdes; le nombre de paraboloïdes hyperboliques est impair.
7. Déterminer l'intersection des deux surfaces ayant pour équations
x^ — iy--^ ys -\-izx — xy — ar -f- iy = o, x^ — y^ -h yz -^ zx — x -r- y = o.
— Appliquer la méthode du n° 45:2. Ces deux surfaces n'ont que deux droites réelles communes.
8. Discuter la nature de la projection de l'intersection de deux quadriques de révolution dont les axes se rencontrent, sur le plan des deux axes.
9. Etant données deux droites AB, CD non situées dans un même plan, trouver l'intersection de l'hyperboloïde engendré par la rotation de CD autour de AB et du paraboloïde engendré par une droite mobile rencontrant AB et CD et perpendiculaire à AB. (Fouret.)
10. Prouver que si deux quadriques ont deux génératrices communes OA, 0,B, mêmes plans tangents tout le long de l'une d'elles et en un point de l'autre, elles se raccordent aussi le long de cette dernière.
\ 1. Quand deux quadriques se coupent suivant une conique et deux droites passant par un même point A de cette conique, les sections des deux quadriques par un plan quelconque mené par A ont un contact du second ordre en A ; en outre, si le plan sécant passe par la tangente en A à la conique, le contact est du troisième ordre.
1:2. Trouver le lieu engendré par une droite mobile qui est tangente à une quadrique donnée et rencontre deux droites fixes. Cas où ces droites sont tangentes à la quadrique.
13. Les plans polaires d'un point fixe par rapport aux quadriques d'un faisceau ponctuel passent par une droite fixe. Cas où le point fixe est à l'infini.
14. Le lieu du pôle d'un plan fixe par rapport à toutes les quadriques d'un faisceau tangentiel est une droite.
Cas particulier : lieu des centres des quadriques du faisceau.
lo. Le plan polaire d'un point fixe par rapport aux quadriques passant par sept points donnés passe par un point fixe. Cas où le point fixe est à l'infini.
16. Le lieu du pôle d'un plan fixe par rapport aux quadriques tangentes à sept plans donnés est un plan. — Lieu des centres de ces quadriques.
17. Lieu des sommets des cônes du second degré passant par l'intersection d'une quadrique et d'un cône donné.
18. Si l'on donne un point et le plan tangent en ce point, cela fait trois con-
ditions. Y a-t-il une quadrique tangente à trois plans donnés en des points donnés? Montrer que le problème est impossible ou a une infinité de solutions.
19. Combien passe-t-il, par huit points donnés, de quadriques tangentes à un plan donné?
20. Combien y a-t-il de quadriques tangentes à huit plans donnés et passant par un point donné ?
21. Les quadriques qui passent par sept des sommets de deux tétraèdres conjugués à une même quadrique passent par le huitième.
22. Les tangentes menées du centre d'une quadrique aux sphères circonscrites aux tétraèdres conjugués à cette quadrique ont une longueur constante.
23. Les lignes qui joignent les sommets correspondants de deux tétraèdres polaires réciproques par rapport à une quadrique sont des génératrices, d'un même système, d'un hyperboloïde.
24. Les quatre droites suivant lesquelles se coupent les faces correspondantes des deux tétraè Ires précédents sont aussi sur un même hyperboloïde.
25. Par les douze points de rencontre des arêtes d'un tétraèdre et d'une quadrique on peut faire passer quatre plans, chacun d'eux étant mené par trois points situés sur les génératrices d'un même sommet; les droites d'intersection de ces plans et des faces opposées du tétraèdre sont des génératrices rectilignes, d'un même système, d'un hyperboloïde.
26. Par les arêtes d'un tétraèdre on mène douze plans tangents à une quadrique; ces plans passent trois à trois par quatre points, si l'on combine ceux qui passent par les arêtes d'une même face; les droites qui joignent ces quatre points aux sommets correspondants du tétraèdre sont des génératrices d'un même système d'un hyperboloïde.
(Pour les questions 19 à 26, voii^, par exemple. Complément de Géométrie analytique de Briot et Bouquet; Paris, Dunod.)
27. Soient ABCD le tétraèdre conjugué à deux quadriques S, Si et F la courbe gauche d'intersection de S et Si. Les plans polaires d'un point P par rapport aux quadriques passant par F tournent autour d'une droite A: les plans menés par A et par les sommets du tétraèdre ABCD forment un faisceau dont le rapport anharmonique est indépendant de la position du point P.
En particulier, les plans menés par une tangente quelconque à F et par les sommets du tétraèdre ABCD forment un faisceau dont le rapport anharmonique est constant. (Painvin.)
28. Par l'intersection de deux quadriques de révolution on ne peut faire passer d'autres quadriques de révolution que si les axes des deux quadriques données sont rectangulaires ou parallèles.
FOCALES. — QL'ADRIQUES HOMOFOCALES. 4^9
S'ils sont rectangulaires, on n'en peut faire passer qu'une : les axes des trois (juadriques sont rectangulaires deux, à deux.
S'ils sont parallèles, on en peut faire passer une infinité.
— Lieu des foyers de leurs méridiennes. (Amigues. )
29. On considère un tétraèdre MABC dont la base est fixe. On prend sur les arêtes AM, BM, CM des longueurs données AA', BB', GC et l'on suppose que MA'= MB'=MG'.
Lieu de M.
FOCALES. — QUADRIQUES HOMOFOCALES.
466. Définition. — On appelle foyer d'une quadrique le centre d'une sphère de rayon nul bitangente à cette quadrique. Si l'on représente par^" = o l'équation ponctuelle d'une quadrique et par a = o l'équation d'une sphère bitangente, on pourra déterminer une constante X telle que
P et Q désignant deux polynômes du premier degré.
On voit que X est une racine de l'équation en S et que P = o, Q = o représentent deux plans cycliques. Si le rayon de la sphère q est nul, le centre de cette sphère est un foyer, et la droite représentée par les deux équations P = o, Q = o se nomme la directrice correspondant à ce foyer.
