APPLICATION DES IMAGINAIRES A LA GÉOMÉTRIE A TROIS DIMENSIONS

Montrer que c'est la surface apsidale de la podaire du centre de l'ellipsoïde ou sur/ace d'élasticité.

21. Trouver la surface inverse de la surface d'onde, le pùlc d'inversion étant le centre.

22. Si un cône du second degré, ayant son sommet au centre, coupe la surface d'onde suivant une courbe sphérique, le cône supplémentaire coupe aussi l'ellipsoïde correspondant suivant une courbe sphérique.

APPLICATION DES IMAGINAIRES A LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

48o. Si l'on trace dans un plan deux axes rectangulaires Ox, Oy, on saitquc si l'on fait correspondre à l'imaginaire a -+■ bi un vecteur OM dont l'extrémité M a pour coordonnées a, 6; au produit (a -t- 6t)p (cosa + t sina) correspond un vecteur que l'on obtient en faisant tourner OM d'un angle a dans un sens déterminé et en multipliant la longueur du vecteur par p. Pour appliquer la théorie des imaginaires à la rotation d'un vecteur autour d'un axe quelconque on a été conduit à des régies d'opérations qui constituent ce qu'on appelle le calcul des quaternions et dont nous allons essayer de donner une idée très sommaire.

Considérons trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz, mais disposés de façon qu'une rotation de go° autour de O^, de droite à gauche, amène Ox sur O^; une rotation de 90" autour de Ox, de droite à gauche, amène Oy sur O^, etc. Prenons sur chacun de ces axes des vecteurs de longueur un, que nous nommerons des vecteurs unitaires et que nous représenterons par les lettres i, j, k.

Nous regarderons aussi i comme un symbole définissant une rotation de 90" autour de Ox dans le sens de droite à gauche. Cela étant, si l'on fait tourner OB de 90° autour de Ox, de droite à gauche, OB vient coïncider avec OC, ce que nous exprimerons par l'égalité symbolique

ji = k.

D'autre part, si nous faisons tourner OA de 90" autour de Oy, de droite à gauche, OA viendra, non pas en OC, mais en OC, C étant le symétrique de C par rapport à O ; ce que nous exprimerons par l'égalité symbolique

ij=-k.

Nous aurons ainsi les formules fondamentales suivantes ij = — A-, jk = — i, kl = —j, j'i = k, kj = i, ik=j.

Ainsi, dans ce calcul symbolique on n'a pas le droit d'intervertir l'ordre des facteurs.

Un vecteur OM, tracé dans le plan jOz, sera représenté par aj -+- bk, les coordonnées de son extrémité M étant x =^ o, y = a, z = b. Si nous multiplions à droite par i, nous trouverons

( bj -+- bk ) i — aji -+- bki = ak — bj = {— b )j -f- ak ;

l'opération multiplier à droite par i correspond bien à la rotation de go" de droite à gauche du vecteur OM.

On verrait aussi que la multiplication à gauche par i correspond à la rotation du même vecteur de gauche à droite, de 90".

Multiplions maintenant par cosa-^ l'sina; on trouve

{aj -+• 6A-)(cosa -t- i sina) = (a cosa — b sina)/ -)- {a sina -f- b coscc)k.

L'expression précédente représente le vecteur OM' obtenu en faisant tourner OM de l'angle a, de droite à gauche, autour de Ox; cela est très facile à vérifier.

Il s'agit maintenant de faire tourner d'un angle donné un vecteur OM autour d'un axe perpendiculaire à OM , le vecteur n'étant plus dans un des plans de coordonnées. Nous nous bornerons ici à la vérification d'une règle à laquelle on se trouve conduit par analogie.

On convient d'abord de poser i^ = J^ = k^ — — i ; cela étant, soient a;, y, s les coordonnées de M ; nous représenterons le vecteur 031 par xi-]- y j -\-zk, et nous poserons symboliquement

OM = xi-hyj -+- z k.

La rotation de 90° autour d'un axe perpendiculaire à OM sera représentée par un vecteur unitaire OA dont les angles avec les axes sont a, 3, Y- Pour faire tourner OM d'un angle 8 autour de OA, 0 étant positif de droite à gauche, il suffit de multiplier OM à droite, par le quaternion

cos6 -H (t cosa -t-y cos^ + A- cosy) sinO,

en appliquant les règles convenues plus haut et tenant compte de la condition X cosa -^ y cos ^ -^ z cosy = o, on trouve, pour produit,

{x cos6 -f- {z cos^ — y cosy) sinO]t -i- [y cosô -^{x cosy — y cosa) sin6]y ■+- [z cos 6 -i-(;Kcosa — x cos P) sin6] A.

Donc, les coordonnées x' , y', z' du point M, après la rotation, sont données par les formules

x' = X cos^ -\- (z cos^ — jKcosY)sin6,

y' =z y cos6 -+- (x cosy — y cosa) sin6,

z' = z cosô -+- {y cosa, — a^cos^) sin6.