IL -S(x-xiy
La surface sera donc un cône si
Sx] Svf
46o CHAPITRE XXX.
Le sommet de ce cône sera dans le plan {u, v, w,o) si ,„. a^uxx b'^vYi c^wzi
La condition de contact est
, , 0.2j^2 ^,îpî c2w2
enfin
(8) uxi-{- \>yi-h wzi = o.
Les foyers de la section sont déterminés par les équations (5), (6), (7), (8).
Les directrices correspondant aux foyers sont les intersections du plan sécant et des plans polaires des foyers par rapport à la quadrique.
EXERCICES
1. Discuter l'équation (17) du n" 479; en déduire les plans cycliques. Même question pour l'équation (8) du n" 478.
2. Si l'on nomme /-j et r^ les axes d'une section diamétrale d'un ellipsoïde et 6, G' les angles que le plan de cette section fait avec les plans cycliques diamétraux, on a
1 cosG.
. cosO'.
ri ri c' a-
Vc2
3. Trouver les axes et les foyers de la section par le plan (u, v, w, h) de la quadrique dont l'équation tangentielle est F(m, v, w, h) = o.
4. Trouver les longueurs des axes d'une section plane d'une quadrique en exprimant qu'un axe est un rayon vecteur, maximum ou minimum, issu du centre de la section (voir G. Kcbnigs, Leçons de l'Agrégation classique).
5. Trouver les axes et les foyers d'une section plane en regardant cette conique comme la section droite d'un cylindre.
6. Trouver les axes et les foyers d'une section plane d'une quadrique en considérant une quadrique circonscrite à la première le long de cette section et en supposant que l'axe perpendiculaire au plan de la section tende vers zéro.
7. Montrer que les directions des axes de la section faite par le plan
X cosa -^ y cos^ -l- z cosy = À dans la quadrique Aar^-f-. . .^- D =0 sont données par l'intersection du plan
•y cos^
SECTION PLANE D UNE QUADRIQUE
cosy — o et du cûnc
V(A cos^p — A'cos^a -h -i \i" cos ol cos^){x^ sin^^— j2 sin2a) = o
(Matuieu).
8. Les axes Bi, R2 de la section (mêmes notations qu'au n" 7) sont donnés par les équations
Ri
[A cos^a -1- A' cos^p -i- A''cos2y -h 9.B cos,3 cosy 4- 2 B' cosy cosa -t- 2B" cosa cos^ — A — A' — A"],
/duy
[éD)
RJR^^ -
Hi
cosa cos^ cosy o
cosa cos^ cosy — X 1). Un cùne dont le sommet est un point de l'hyperbole
est circonscrit à l'ellipsoïde
(Painvin).
en outre
prouver que les directrices des sections faites dans l'ellipsoïde par les plans de contact de ces cônes sont dans un système de deux plans fixes. (T.)
10. Le lieu des foyers des sections faites dans un ellipsoïde de révolution par un faisceau de plans passant par une môme droite parallèle à l'axe de révolution est une podaire d'ellipse. (Fouret.)
11. Le lieu des foyers des sections faites dans un cylindre parabolique par
un faisceau de plans passant par une même droite perpendiculaire au plan diamétral principal du cylindre est une podaire de parabole. (Fouret.)
1:2. Par tous les points d'une conique on mène, dans une direction donnée, des droites parallèles et égales au rayon focal correspondant : le lieu des extrémités est une conique. Trouver le lieu des centres et des foyers de cette
462 CHAPITRE XXX. — SECTION PLANE d'uNE QUADRIQUE.
conique lorsqu'on fait vai'ier la direction donnée, dans le plan ou dans l'espace.
13. On coupe un ellipsoïde par des plans parallèles à un plan donné, ou passant par une droite donnée, ou passant par un point donné. Lieu des foyers des sections.
14. Le lieu des foyers des sections diamétrales de l'ellipsoïde a pour équation
ax^'-^by^-h cz^ ~ a(c — bfj^ z"^ -\- b^a — cf z^x^ -h c {b — ay- x^y^
15. On donne un paraboloïde ayant pour équation en coordonnées rectangulaires
X' =y^ -h 9.pz :
i" Lieu des foyers des sections parallèles à son axe; i° lieu de foyers des sections dont les plans sont tangents à un cylindre parallèle à l'axe; cas où ce
cylindre a pour équation — -f- j-j — i ou ajK^ = x^; 3° que doit être ce cylindre pour que la courbe, lieu des foyers, soit sur un autre cylindre ayant pour équation
(x^ +yy = a^y+ b^x^ ( Amigues).
16. On fait une section droite dans un cylindre parabolique. Par le foyer de cette section on mène, dans le plan de la courbe, une perpendiculaire à l'axe, qui coupe la courbe en deux points A et B. Au point A on mène, dans le plan de la parabole, la normale AM à cette courbe; puis par AM on fait passer des plans variables. Lieu des foyers des paraboles suivant lesquelles ces plans coupent le cylindre. Ce lieu est une courbe plane. (Amigues.)
17. On considère l'une des quadriques qui passent par les quatre côtés d'un quadrilatère gauche, et un plan. La section par ce plan est une conique dont on demande les foyers. Lieu de ces foyers quand la quadrique varie; lie,u des foyers quand la quadrique restant la même, le plan se déplace parallèlement à lui-même. (Amigues.)
18. Lieu des foyers des quadriques de révolution circonscrites à une quadrique donnée, pour lesquelles la distance des deux foyers est constante.
19. Prouver que la surface d'onde est la surface apsidale d'un ellipsoïde, relative à son centre.
— Par un point fixe 0, et dans le plan passant par la normale PN en un point quelconque P d'une surface, on mène OM égale et perpendiculaire à OP. Le lieu de M est la surface apsidale de la surface donnée relative au point O. Montrer qu'il y a réciprocité.
20. Trouver la podaire de la surface d'onde par rapport à son centre.
