QUESTIONS PROPOSÉES DANS LES CONCOURS EN

Agrégation des Sciences mathématiques. — On donne un ellipsoïde E qui, rapporté à ses plans principaux, a pour équation

xi yt z^

et une sphère de rayon r et de centre Pk.{X(i, y^^ z^).

On considère les quadriques S qui sont tangentes à tous les plans tangents communs à la sphère et à l'ellipsoïde E; du point A on abaisse une normale AP sur l'une des quadriques S, et au pied de cette normale on mène le plan tangent II à cette quadrique.

i" Prouver que le plan II est le plan polaire du point A par rapport à une surface Hp, homofocale à l'ellipsoïde E, représentée par l'équation

Ho= -„

2° Prouver que le plan n est le plan polaire du point A par rapport à l'une des quadriques S; prouver qu'il est aussi un plan principal pour une autre de ces quadriques. Les réciproques de ces propositions sont-elles vraies?

3° Par un point M de l'espace il passe trois plans n polaires du point A par rapport à trois quadriques \l\, Hjj,, Hv du système homofocal. Exprimer les coordonnées du point M en fonctions des paramètres X, [Ji, v. Déduire des expressions ainsi obtenues le lieu des points M pour lesquels les trois plans II sont rectangulaires.

4° Trouver ce que deviennent les expressions des coordonnées du point M, soit quand ce point est sur la dcveloppable enveloppée par le plan n, soit quand il se trouve sur l'arête de rebroussement de cette développable. En conclure le degré de la développable et la nature de son arête de rebroussement.

5" Tout plan n coupe la développable suivant la génératrice de contact et suivant une conique. De quelle espèce est cette conique? En connaît-on des tangentes remarquables?

6° Trouver le lieu des foyers de ces diverses coniques.

NiEWENGLOwsKi. — G. an., III. 3o

Concours général {classe de Mathématiques spéciales). — On donne une courbe du troisième degré C3 définie par les équations

a7=6X2[JL. J'=6X[Jl2, -^X3+[Jt3, ■

où X, [x désignent deux variables indépendantes que, pour abréger, nous appellerons les coordonnées du point a de la courbe G3.

1° Trouver la relation qui doit lier les coordonnées de trois points aj, «2» <^3 de la courbe G3 pour que ces points soient en ligne droite;

2° Trouver la relation qui doit lier six. points «i, a^, «3, a^, a^, «e de cette courbe, pour que ces points soient sur une conique.

Déduire de là les conditions nécessaires et suffisantes pour que, par trois points «1, «2) «3 de la courbe C3, on puisse faire passer une conique G2 touchant C3 aux points a^, «j; «s-

Les côtés du triangle axa^a^ coupent C3 en des points b^, b^, 63 situés sur une droite D.

Les droites qui touchent G3 aux points ai, a^, «3 la coupent en des points Cl, C2, C3 situés sur une droite A.

La droite D étant donnée, quel est le nombre des coniques G2 qui lui correspondent?

La droite A étant donnée, quel est le nombre des coniques G2 qui lui correspondent?

École Normale supérieure. — Un cercle (G) et une parabole (P) sont représentés, en coordonnées rectangulaires, par les deux équations

(P) jK^— aaa; — 4^2 = o;

d'un point A pris sur l'axe Oy, on mène les tangentes au cercle, dont les points de contact sont M et M', et les tangentes à la parabole, dont les points de contact sont N et N'.

i** Démontrer que chacune des droites MN, MN', M'N, M'N' passe par un point fixe lorsque A décrit l'axe O^^.

1° Par les quatre points M, M', N, N' on peut faire passer une conique admettant l'axe des ^ pour axe de symétrie; former l'équation de cette conique (E),

3° Trouver le nombre et la nature des coniques (E) qui passent par un point donné du plan, d'après la position de ce point dans le plan.

4° Gonstruire la courbe décrite par les points de contact des coniques (E) avec les tangentes parallèles à la droite qui a pour équation

QUESTIONS PROPOSÉES DANS LES CONCOURS DE 189o. /jÔy

Distinguer les parties du lieu qui conviennent à des ellipses de celles qui conviennent à des hyperboles.

Ecole Polytechnique. — On donne, d'une part, deux droites D, D' ne se coupant pas; d'autre part, deux autres droites A, A' ne se coupant pas. On considère une droite OA passant par l'origine 0 et située dans le plan de coordonnées XOY.

i" Former l'équation de la surface du deuxième degré S, qui contient D, D' et OA.

a" La surface S et la surface analogue S, qui contient A, A' et OA, se coupent, en dehors de OA, suivant une certaine courbe. Trouver la surface lieu géométrique de cette courbe, lorsque OA décrit le plan XOY.

3° Déterminer les droites situées sur cette surface (*).

4° Etudier complètement cette surface dans le cas particulier où les quatre droites D, D', A, A' sont quatre génératrices d'un même système d'un hyperboloïde qui passe au point O, et montrer que, dans ce cas, le lieu comprend un plan qui demeure invariable lorsque les quatre droites décrivent respectivement des plans qui passent par le point 0 (et que le plan tangent en 0 à l'hyperboloïde demeure invariable) (2).

Bourses de licence. — i° On considère dans le plan la droite U d'équation

(i) u^{x — a)-{-Zux — iy ^= o ,

où a est une quantité fixe et u un paramètre variable.

Cette droite, quand u varie, enveloppe une courbe G dont on formera l'équation. U touche G en un point A et la coupe en B : calculer les coordonnées d'un point de G en fonction de u. On montrera que les coordonnées

de B se déduisent de celles de A en changeant m en

1° Parmi les droites U, on considérera la droite particulière V, dont on a l'équation, en supposant dans (i) u = i. Par chaque point P de V, on peut mener à G deux tangentes autres que V; soient Q, Q' les contacts. On demande, connaissant l'abscisse de P, de former l'équation de QQ'; de déterminer la courbe E, enveloppée par cette droite, quand P décrit V; enfin, de limiter la portion de E que touchent les droites QQ', qui joignent des points réels Q, Q'.

Ecole cen^ra/e (Première session). — On donne deux axes rectangulaires OiP, Oy, sur l'axe des x un point A d'abscisse x=p, sur l'axe des y un

(') Voir une Solution de M. Maurick d'Ocagne (^Nouvelles Annales, août iSgS). Voir aussi G. FounET, Nouvelles Annales, décembre i8()5.

(') Celle parlic de l'énoncé avait été omise par erreur. {Voir Lucien Lévy, Nouvelles Annales, août iSgS.)

point B d'ordonnée y = q- Ecrire l'équation générale des coniques passant par le point A, tangentes à l'axe des y en B, et admettant pour diamètre conjugué de O^ une droite dont le coefficient angulaire est m.

1° Faisant varier m, on cherchera le lieu des centres des hyperboles équilatères qui font partie du faisceau des coniques représentées par l'équation générale trouvée, et le lieu du point de rencontre du diamètre conjugué de Oy dans ces hyperboles, avec la tangente en A.

On distinguera sur ces deux lieux les régions qui répondent à des hyperboles pour lesquelles les points A et B sont sur une même branche de celles pour lesquelles ces deux points sont sur des branches différentes.

1° Faisant encore varier m et considérant les paraboles qui font partie du faisceau de coniques représentées par l'équation générale, on démontrera que, par un point du plan, on peut faire passer trois axes de ces paraboles. On considérera les points du plan pour lesquels un des axes est parallèle à Oy, et l'on cherchera le lieu des points d'intersection des deux paraboles qui correspondent aux axes non parallèles à Oy.

3° On formera l'équation de la corde commune AG de ces deux paraboles et l'on cherchera le lieu de l'intersection d'une parallèle à cette corde, menée par l'origine des coordonnées avec les diamètres conjugués de Oy dans ces mêmes paraboles.

École centrale (Deuxième session). — Les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires , on demande l'équation générale des hyperboles équilatères admettant une asymptote passant par un point fixe B de l'axe Ae?) y et dont le coefficient angulaire soit m; telles, en outre, que le produit des abscisses à l'origine des asymptotes soit constant et que le carré du demiaxe transverse soit 2«^. Faisant varier m qX, a :

10 Démontrer que les axes de symétrie de ces hyperboles forment un faisceau passant par deux points fixes, et prouver géométriquement que le lieu des sommets de celles de ces hyperboles, dont les axes transverses sont égaux, est un limaçon de Pascal.

a° On considère les hyperboles du faisceau telles que, l'origine des coordonnées se trouvant avec la courbe dans un même angle des asymptotes, le produit de m et des abscisses à l'origine des asymptotes sont de signe contraire à celui du produit des distances de l'origine aux asymptotes. On démontrera que, par un point du plan, on peut mener deux hyperboles de ce système, ayant un axe transverse donné.

3" Trouver le lieu A des points pour lesquels on peut mener deux de ces hyperboles telles qu'une asymptote, passant par B, ait pour coefficient angulaire-t- i pour l'une, et — i pour l'autre.

4° On considérera, pour chaque point du lieu A, les hyperboles qui répondent, l'une à la valeur maximum, l'autre à la valeur minimum de l'axe transverse; on lui mènera une tangente commune et l'on cherchera le lieu du milieu de la distance des points de contact.

École navale. — Ox et Oy étant deux axes rectangulaires, A et B deux points pris respectivement sur ces axes, M et N les milieux respectifs de OA et BA, on considère :

1° L'hyperbole équilatère de centre M, tangente en O à Oy., 7° L'hyperbole équilatère de centre N, tangente en B à O^.

Construire les asymptotes de ces hyperboles; elles se coupent deux à deux en quatre points, qui sont les centres des cercles inscrit et exinscrits au triangle AMN.

Les points d'intersection de ces hyperboles, autres que le point A, sont à l'intersection de la circonférence circonscrite au triangle OAB et de la parallèle à l'axe des x menée par N.

Lieu des points de rencontre de ces hyperboles; lieu des points de rencontre des asymptotes, lorsque, A et B se déplaçant respectivement sur l'axe ■des X et sur l'axe dcs^, la longueur AB reste constante.

Conditions pour que six points d'un plan soient sur une conique ou dix points sur une quadrique.

M. Paul Serret a démontré le théorème suivant :

Pour que six points d'un plan soient sur une conique, il faut et il suf- Jit qu'il existe six constantes Xi, X2, ..., Xg non toutes nulles et telles que

(I) X,P2+X2Pi-+-...+ X6Pi=0,

1*1, Po, ..., Pe désignant ce que devient une forme linéaire quelconque V^ux-k-vy-^wZf quand on y remplace les coordonnées courantes successivement par celles des six points donnés.

Ce théorème peut être remplacé par celui-ci :

Pour que six points d'un plan soient sur une conique, il faut et il suf-

(') Les Notes suivantes sont empruntées, presque totalement, au Cours de M. G. Darboux (Sorbonne, 1895-1896).

Jit quHl existe six constantes non toutes nulles Xi, X2, . • ., Xg telles qu'on ait

(2) XiF(a7i, jKi, zx) -]- I1Y {X2, yi, z^) '\- . . .^\^V {xq, y^, zç,) = 0,

quelle que soit la forme quad?'atique¥(x, y, z); (xi,yi,zi), {x.2,y%, z.2), •••, (xg, ye, Zq) désignant les coordonnées des points donnés.

Effectivement, toute foi'me quadratique pouvant être mise sous forme d'une somme de carrés, on peut poser

F(a7, j, z) = A(aa; + vy -^ wzy--\- k' {u' x -f- v'y -h w' zY

-+■ A" ( u"x -4- v"y H- w" zy-,

et, par suite, la relation (1) étant vraie pour les trois formes indépendantes P, P', P", elle sera vraie pour une forme quadratique quelconque.

Mais on peut établir l'identité (2) directement, ainsi que le fait M. G. Darboux.

Pour que six points (xi, yi, Zi) soient sur une conique, il faut et II suffit que leurs coordonnées vérifient une même équation quadratique

ax~-^ a' y'^-^- a" z^-h ibyz ■+- ih' zx H- "xh" xy = o.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que le déterminant dont les lignes se déduisent de

(3) I 07? y\ z] ytZi ztxt xtyi |,

en donnant à l'indice t les valeurs i, 2, 3, 4; 5, 6, soit nul. Or, pour que le déterminant (3) soit nul, il faut et il suffit qu'il y ait une même relation linéaire entre les éléments de ses colonnes, c'est-à-dire qu'il existe des constantes X,- non toutes nulles et telles que

Y^XixI—o, I1X,-jk|=^o, 2Xj^| = o, SXi7j3j = o, Y?^iZi^i=^-i IlXf^r;jKj = o: 1 1 1 1 i 1

d'oîi l'on tire, A, A', A", B, B', B" étant six coefficients absolument arbitraires,

h-Y^^iX-l^ k!Y,^iy\+ hl'^\iz\-\-o.^^\iyiZi + 'i^'Yi^iZiXi^'iWY?^iXiyi= O, 1111 1 1

c'est-à-dire, précisément, la relation (2).

On voit ainsi que cette relation est nécessaire; il reste à prouver qu'elle est suffisante : supposons par exemple Xg jz^ o et prenons pour F(a7, jk, 2) le premier membre y(^, jK» -s) de l'équation d'une conique passant par les cinq premiers points; la relation (2) se réduira à X8y(a-6, jKb, -Se) = O; ou, plus simplement, y (o^e, j'e, ^e) = o; ce qui prouve que le sixième point est sur la conique y.

<l'où l'on tire

Application. — Prenons pour forme F successivement les premiers membres des équations de deux coniques passant parles quatre premiers points; on obtient ainsi

/(a^5,r5^^3) ^ /(are.JKc, -Se) ^

Par conséquent, si f{x, y, z) =^ o, g{x, y, z) = o sont les équations de deux, coniques, et si l'on considère sur une conique passant par les quatre points communs aux deux premières, deux points, l'un fixe (^s./ôj-Ss) et l'autre variable {x^y,z), on aura

f{x,y,z) ^ f{x^,yt, gg) ,

rr(^,r>-s) g{3ri,yi,z-^y

en d'autres termes, l'équation de celte conique est de la forme

k étant une constante.

On voit ainsi que l'équation générale des coniques, passant par les points communs aux deux premières, est

f{x,y, -s) — f^'gix, jK, ^) = o,

où A" désigne un paramètre arbitraire, car l'équation d'une conique passant par les points communs aux deux premières est de cette forme, et réciproquement: quelle que soit la valeur attribuée à A-, l'équation précédente représente évidemment une conique passant par les points communs aux deux premières.

Cette belle démonstration est due à M. Darboux.

Les considérations précédentes s'étendent tout naturellement à l'espace et l'on démontre de la même manière ce théorème :

Pour que dix points {Xi, yt, zi, ti) soient sur une quadrique, il faut et il sujffit qu'il existe dix constantes non toutes nulles \\, X2, ..., Xio, et telles que, quelle que soit la forme quadratique F{x, y, z, t), on ait

( -i ) 2 ^' ^ ^ ^i^yh -M ^- ) = o.

On trouvera encore l'équation générale des quadriques passant par les points communs à deux quadriques données ; soient en effet f(x,y, z, t) = o, g(x.y,z,t) = o les équations de deux quadriques; considérons une qua-

drique Q passant par l'intersection des deux premières et prenons huit points sur cette intersection et deux autres points sur la quadrique Q; on aura

^9/(-'^9) JKg, -59, ^9) -+- Xio/(a;io, jKio, -10, «)o) = o, '^'èg{x^, yg, Z2, tg) -h Xio^(a7io, jKio, -Zio, ^10) = o, etc.

En lisant les équations précédentes en coordonnées tangentielles, on trouve les conditions pour que six droites d'un plan soient tangentes à une conique ou pour que dix plans soient tangents à une quadrique.

Nouvelle démonstration du théorème de Pascal.

.Fig. 42.

Dans son Cours, M. Darboux a déduit le théorème de Mac-Laurin et Braikenridge du théorème de Désargues. En modifiant la rédaction on obtient

directement le théorème relatif à l'hexagone de Pascal.

Considérons l'hexagone ABCDEF inscrit à une conique. Soient (./î"^. 4^) L le point de rencontre des droites AB, DE et M celui des droites BG, EF. Appelons P le point de rencontre de LM et CD, et soit A' le point où FP rencontre AB; il s'agit de prouver que A' coïncide avec A.

La conique est circonscrite au quadrilatère CDEF. Désignons par L' le point où le côté CF de ce quadrilatère rencontre AB, et par K, K' ceux où les deux autres côtés CD, EF rencontrent AB.

D'après le théorème de Désargues, les six points K, K'; L, L'; B, A sont en involution.

D'autre part, les points K, K'; L, L';

B, A' sont les points de rencontre des

côtés et des diagonales du quadrilatère CMFP et de la sécante AB; ces six

points sont donc aussi en involution, ce qui prouve que A' coïncide avec A.

Sur la définition de l'angle de deux demi-droites.

Nous avons démontré (II, 78) que, si les coordonnées de deux points A, A', situés à une distance de l'origine O, égale à un, sont a, b, c et a', b', c', les

coordonnées de rcMn-iniLi; ilc la perpendiculaire OM aux droites OA, OA', en supposant OM = i, sont données par les formules

tsin\=z{bc' — cl/), l sin\ = z{ca'— ac'), l sinY = z{ab' — ba'),

V désij^nant l'angle AOA', et nous avons montré qu'en prenant e = -1- i le point M est tel que tout observateur, placé les pieds en 0 et la tête en M, verrait OA à sa gauche et OA' à sa droite en regardant l'angle AOA'.

M. G. Darboux se sert de ces équations pour introduire le principe des signes dans la définition des angles dans l'espace.

Les points A, A', M sont sur la sphère de rayon i ayant pour centre l'origine des coordonnées, et le point M est l'un des pôles du grand cercle passant par A et A'. On peut définir, à un multiple près de iiz, l'angle que OA' fait avec OA, en convenant de choisir l'un des deux pôles du grand cercle AA'; soit M ce pôle. Il suffit de convenir qu'une rotation effectuée autour de OM de gauche à droite est affectée du signe +, les rotations en sens contraire étant affectées du signe — . S'il en est ainsi, en supposant le trièdre Oxyz

des coordonnées disposé de façon qu'une rotation positive de - autour de O5 amène Ox en Oy, les formules

/sinV = ic' — cb', /sinV=ca' — ac', l sin\ = ab' — ba', avec

cos V = aa'-{- bb'-h ce',

définiront, à un multiple près de 271, l'angle V, en grandeur et en signe.

Soit ABC un triangle sphérique; on peut attribuer un signe à chacun des arcs de grands cercles BG, GA, AB; cela revient à se donner les pôles A', B', G' de ces arcs. Désignons par a7,, ^T'i, zi ; x^, yz, z^; 3^3, ^^3, Z3 les coordonnées de A, B, G, l'origine étant le centre de la sphère, et par x'^, y'^, z'^•, ^25 y'îi -s^ j ^'zi y'zi '^'i celles de A', B', G'. On aura, en vertu de ce qui précède,

a?', sinBG =^2 -33—^2.73, y'ySm'QC = ZiX^— XiZ^, z\s\x\BC =^ x^y^— y^x^

et

Xx sinB'G'=: /^ z\ — z\y'^,yi sin B'C'—z', x'^ — x'^ z\, Zy sin B'G'= ^^'^y'-^—yi^'i,

ainsi que les formules qu'on en déduit par permutations circulaires.

En multipliant les deux membres des premières équations par xi, y\, Z\ respectivement et ajoutant, on obtient

cos AA' sinBG

^\ Ji -5j

Xi J2 -=2

On a, par suite,

cosAA' sinBG = cosBB' sinGA = cosGG' sin AB = 8.

On trouvera de même

cosA'Â. sinB'C'= cosB'B sinG'A'= cosG'G sinA'B'= S',

et, en divisant membre à membre, on retrouve la proportion des sinus, etc.

Homologie. — Tétraèdres homologiques.

Uhojnologie est une transformation homographique, due à Poncelet, et définie par les formules suivantes, dans lesquelles x, y, z, t et x' , y' , z\ t' sont les coordonnées de deux points correspondants M, M' :

X y z ax -^ by -T- cz ^ dt

On voit qu'à un point M correspond un seul point M' et réciproquement, car les formules précédentes peuvent aussi s'écrire

37 JK -5 dt

x' y' z' t' — ax' — by' — cz'

Soit ABGD le tétraèdre de référence, a; = o, ^ = o, ^ = o, ^ = o étant respectivement les équations des faces BGD, GDA, DAG, AGB. On voit que deux points correspondants M, M' sont sur une même droite passant par le sommet D, que l'on nomme le centre d'homologie.

Gherchons s'il y a des points qui se conservent après la transformation. Si l'on pose

x' y' z' t' on trouve

ax -\- by -^ cz -^ {d — i)« = o.

Tous les points du plan défini par l'équation précédente se correspondent à eux-mêmes; on nomme ce plan \e, plan d' homologie.

L'homologie est définie quand on connaît le centre, le plan d'homologie et un couple de points correspondants. En effet, soient N, N' deux points correspondants et M un point quelconque; le point M' est sur la droite DM. D'autre part, soit R le point de rencontre de la droite MN et du plan d'homologie ; à une droite correspond une droite ; donc à NR correspond la droite N'R et, par suite. M' est le point d'intersection de DM et de N'R.

On voit ainsi que les rapports anharmoniques (DMM'Mo) et (DNN'No) sont égaux, Mo et No étant les traces de DM et DN sur le plan d'homologie.

On peut donc définir une transformation homologique en donnant le centre, le plan d'homologie et le rapport anharmonique (DM M'Mo).

On peut encore définir une transformation homologique en donnant quatre couples de points correspondants. Soient, en effet, (A, A'), (B, B') (G, G'), (D, D') les quatre couples donnés, situés sur quatre droites issues d'un point O.

Si nous prenons le point O pour l'un des sommets du tétraèdre de référence, on aura, pour déterminer les constantes a, b, c, d, quatre équations telles que

axi -r- oyi -+- czi ■+- dti = ^^ — ^ ,

ax-i -f- by<i -H czi -f- at<i = ^, — p , ... ;

le déterminant

est différent de zéro, si l'on suppose que les quatre points A, B, G, D forment un tétraèdre; on pourra donc, dans cette hypothèse, déterminer a, 6, c, d.

Application. — Si les droites passant par les sommets convenablement associés de deux tétraèdres sont concourantes, les intersections des faces opposées aux sommets correspondants sont dans un même plan.

En effet, si les droites A A', BB', GG', DD' passent par un même point 0, les quatre couples (A, A'), (B, B'), (G, G'), (D, D') définissent une homologie. Au plan BGD correspond le plan B'G'D'; l'intersection de ces deux plans se correspond à elle-même et, par suite, est dans le plan d'homologie. Il en est de même des intersections des plans GOA, G'O'A', etc. Les deux tétraèdres sont homologiques.

Une application de la théorie des génératrices rectilignes.

Nous avons vu (363) qu'en appelant X et fx les paramètres qui définissent les génératrices rectilignes d'une quadrique, les coordonnées homogènes d'un point quelconque de cette quadrique s'expriment au moyen de ces paramètres par les équations

z = a''lii-i-b''l-+-c"ii^d',

t = a"lii-h b'" X -H c'> -f- d'".

Réciproquement, ces équations définissent une quadrique, pourvu que le déterminant

soit différent de zéro. En effet, dans cette hypothèse, le système

i a~- b {j-t-c ^[ -^ d ù r= X , :' oc -h b' p -;- c' Y -+- (5?' 0 =^ y,

admet une solution unique

a-P, ii = S, Y = R> S = Q;

P, Q, R, S étant des fonctions linéaires et homogènes de^,jK)^, t. Mais le système (2) n'ayant qu'une seule solution, on a, en vertu des équations (i),

P = X;jL, S = X, R=fx, Q = i\ donc

PQ = RS

Ce qui démontre la proposition.

On voit, de plus, que X et [jl sont les paramètres des génératrices rectilignes, car on peut écrire

P = XR, S = XQ

et

P = [jiS, R={xQ.

Ces équations définissent précisément les génératrices de la quadrique obtenue.

On reconnaît aisément que, si l'on fait subir à chacun des paramètres X et \j. une transformation homographique, on fera correspondre à un point M(X, fx) de la quadrique un point M'(X', jjl') de la même surface, ces deux points M et M' se correspondant homographiquement; ce qui revient à dire que les coordonnées homogènes de l'un quelconque de ces points sont des fonctions linéaires et homogènes des coordonnées de l'autre. On obtient ainsi la transformation homographique la plus générale, qui transforme la quadrique proposée en elle-même. Deux, génératrices de chaque système se conserveront. Nous laissons au lecteur le soin de développer cette question.

En remplaçant X et \x par — et — > on peut, au lieu des équations (i),

( X = a X|ji -4- 6 Xv -f- c iv/ -{- d v2, \ y = a' "k^i -•- b' Xv -t- c' [jlv -4- ti' v^, ^ ' xî = a" Xfi -H 6" Xv -^ c" p -H </"v2,

^ = a"'X[jL -f- 6"'Xv -T- c'" (Jiv -f- d'\^. Si, d'une manière plus générale, on pose

fjfijfzffs étant des fonctions homogènes de degré /n ; ces équations définissent une surface du degré m^ au plus. On voit, en effet, que les points communs à la surface et à une droite correspondent aux solutions d'un système de deux équations homogènes de degré m en X, [i, v. Ces équations définissent deux courbes planes de degré w, si l'on regarde X, |jl, v comme des coordonnées trilinéaires ; il en résulte que si les courbes définies par les équations / = o, /i = o, /z = o, fi = o ont p points communs, ces points appartiendront à toute courbe dont l'équation sera de la forme

A/-^- Ai/i -4- A2/2 ■+■ A3/3 ^ o ;

mais ces points, étant fixes, ne peuvent correspondre à des points d'intersection de la surface et d'une droite arbitraire; le degré de la surface est donc m^ — p. Ainsi les équations (3) définissent une quadrique, car les coniques, définies en coordonnées trilinéaires par les équations

aX|j.-i-6 Xv4-c [i.v-i-f/v2 = o,

a'X[jt. 4- 6'Xv -t- c'fjiv -+- <^'v2 = o, etc.,

ont en commun deux points définis par les équations X = o, v = o et jjl = o, V = o; la surface est donc de degré 4 — 2 ou 2.

Dans le cas où «1 = 2, les équations (4) définissent une surface du quatrième degré, qu'on nomme sur/ace de Steiner. On vérifie aisément que chacun de ses plans tangents la coupe suivant deux coniques ; pour démontrer ce théorème, il suffit de remarquer que si l'on pose v = aX4-[i[JL, ou aura

Xf.

-t- 'in'

-hp'

Xh.

Ces équations représentent une conique, car en éliminant X^, Xijt, ^^, on a une équation linéaire en a:, ^, ^, <; ce qui prouve que le lieu est plan, et, en outre, un plan quelconque coupe ce lieu en deux points. Or, la section de la surface de Steiner par un plan tangent ayant un point double, qui est le point de contact, la courbe correspondant à cette section^ dans le système

(X, 11, v), est une courbe du second degré qui a un point double, c'est-à-dire un système de deux droites, auxquelles correspondent deux coniques, en vertu de ce qui précède.

Étude de la cubique lieu des foyers des coniques inscrites à un quadrilatère. — Emploi des coordonnées symétriques.

Soient x, y les coordonnées rectangulaires d'un point M. Les coordonnées symétriques de ce point sont u = x -+- yi et v ^= x — yi. Si l'on considère deux points A et B définis par leurs coordonnées symétriques «, b et a', b' , les droites isotropes menées par A et B ont pour équations u = a, v = b et a = a', v' = b'. Ces quatre droites forment un quadrilatère complet, dont deux sommets sont les points A, B et deux autres, deux points A', B' ayant pour coordonnées symétriques (a, b') et (a', b). On dit que A et B forment un couple de points associés aux points A', B'. Quand l'un de ces deux couples est formé de deux points réels, l'autre est formé de deux points imaginaires. Les quatre foyers d'une conique forment deux couples de points associés. M. Darboux a tiré un très grand parti de la considération des points associés. Nous renverrons le lecteur au livre important de l'éminent géomètre : Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, etc., 2* tirage, Paris, Hermann.

En se servant des coordonnées symétriques, M. Darboux a fait une étude approfondie de la cubique lieu des foyers des coniques inscrites à un quadrilatère. Nous allons en indiquer rapidement les principaux résultats; leur vérification sera un excellent exercice pour les élèves.

Nous avons déjà donné l'équation de cette cubique (t. II, p. 219). On reconnaît immédiatement que le lieu passe par les sommets du quadrilatère ABA'B' donné, et que les tangentes en A et A', par exemple, se coupent en un point F appartenant au lieu, et, de plus, en appliquant le théorème de Poncelet, on voit qu'il existe une conique inscrite au quadrilatère, dont un foyer est en F et l'autre sur AA', au troisième point où celte droite rencontre la cubique.

Voici comment M. Darboux trouve l'équation du lieu : un foyer M d'une conique inscrite au quadrilatère est un point tel que les angles AM A' et BMB' aient les mêmes bissectrices, A et A' étant, ainsi que B et B', deux sommets opposés du quadrilatère. En appliquant les formules (38), (89), (4o) de l'Ouvrage cité plus haut, on obtient immédiatement l'équation du lieu sous la forme

(u— a)(u — a') (v — aj)(v — a\) {u — b){u—b')~ {v — bi){v — b\y

les coordonnées symétriques des points A et A' étant a, «i et a', a\, et celles de B, B' : b, b^ et b', b\.

Or, si h et k désignent deux constantes arbitraires, l'équation précédente peut s'écrire

(m — a){u — a') — h{u — b)(u — b') (t^ — ai)(v — a\) — /i(p — 6,)(t> — b\) (u — a){u~a') — k{u — b){u — b') ~ {v — at){v—a\) — k{v — bi)(v — b\)'

Si l'on remarque que les coefficients de u^ et de v^ sont égaux à i — h dans chacun des numérateurs, et à i — k dans chacun des dénominateurs, on voit que l'équation a conservé la même forme; seulement elle correspond maintenant à une infinité de quadrilatères. On a obtenu ce résultat remarquable: le lieu ne change pas quand on substitue au quadrilatère donné un quelconque des quadrilatères dont les couples de sommets opposés sont définis par les équations

{v — ai) (v — a\) — l{v — bi) (v — b\) = o,

où X désigne un paramètre arbitraire. La cubique passe par les sommets de tous ces quadrilatères et par les points qui sont associés aux couples de sommets opposés. D'autre part, si l'on remarque que les tangentes menées d'un point cyclique I, par exemple aux coniques inscrites au quadrilatère A A'BB', forment un faisceau involutif défini par les couples (lA, lA'), (IB, IB'), de telle sorte que ce faisceau est défini par l'équation

on arrive à ce résultat : il y a sur la cubique une infinité de couples de points (11, li.') et (v,v') pouvant remplacer les couples (A, A') et (B,B"), et en outre [i, [i', par exemple, sont deux foyers conjugués d'une certaine conique inscrite au quadrilatère AA'BB'. De là une première définition du lieu : Le lieu des points de concours des tangentes menées de B et B' aux coniques ayant pour foyers A, A' coïncide avec le lieu des foyers des coniques inscrites au quadrilatère AA'BB'.

Si l'on considère l'un des quadrilatères formé par les tangentes issues de B et B', soient [i., \i et v, v' deux couples de sommets opposés de ce quadrilatère; si la conique est tangente à BB', deux côtés Bv', Bv' se confondent, le point de rencontre \i' de ces côtés devient le point de contact de BB' avec la conique, et Bv, B'v' deviennent les tangentes en B et B' à la cubique; on u donc ce résultat : les tangentes en deux points conjugués de la cubique se coupent en un point de cette cubique auquel correspond le troisième point d'intersection de la cubique et de la droite passant par les deux premiers points. Ce résultat se déduirait d'ailleurs de la remarque, faite au début, sur la construction des tangentes en B et B'.

En remarquant que la droite de Newton est une direction asymptotique de la cubique, on construit facilement l'asymptote correspondante.

Pour arriver à une nouvelle définition de la cubique, nous allons étudier un autre lieu. On démontre bien facilement que le lieu des points de contact

48o GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — ADDITIONS.

des tangentes menées d'un point P à toutes les coniques circonscrites à un quadrilatère ABCD est une cubique passant par les sommets de ce quadrilatère et par le point P, et tangente en P à la conique définie par ces cinq points. On vérifie ensuite qu'une cubique donnée peut être considérée comme le lieu des points de contact des tangentes menées par l'un de ses points P aux coniques passant par les points de contact des quatre tangentes autres que la tangente en P, qu'on peut lui mener par ce point. Nous remarquerons, en passant, que ce mode de définition permet de démontrer ce théorème de Mac-Laurin : Le rapport an harmonique des quatre tangentes menéex d'un point dhme cubique à cette courbe {autres que la tangente au point considéré) est constant.

Voici la démonstration de M. Darboux : Si l'on passe d'un point P de la cnbique à un point P' infiniment voisin, la distance PP' étant du premier ordre, le rapport (P'. ABCD) diffère de (P'. A'B'G'D') d'un infiniment petit du second ordre, et si P" est un point de la conique passant par P et les points de contact A, B, G, D, la distance PP" étant du premier ordre, P'P" sera du second ordre, de sorte que la différence (P'.ABGD) — (P".ABGD) sera aussi du second ordre; mais (P. ABGD) = (P". ABCD), donc enfin (P.ABGD) — (P'. A'B'G'D') est du second ordre, ce qui démontre que (P. ABGD) demeure invariable quand P se déplace sur la cubique. On démontre encore que les points de concours des diagonales du quadrilatère ABGD sont sur la cubique et que les tangentes en ces points et la tangente en P se coupent en un môme point situé également sur cette courbe. Mais revenons au premier lieu.

Parmi les coniques inscrites au quadrilatère AA'BB', il y en a une dont la droite de Newton est un axe; soient F, F' ses foyers conjugués situés sur cet axe. Les tangentes en F et F' à la cubique, lieu des foyers, se coupent au point G; le troisième point de rencontre G' de la cubique avec FF' est à l'infini; donc G est le foyer de la parabole du faisceau de coniques considéré. Les quatre tangentes menées de G à la cubique sont GF, GF' et les droites isotropes GI, GJ. Les coniques passant par F, F', I, J sont des cercles; donc la cubique lieu des foyers des coniques inscrites au quadrilatère AA'BB' est le lieu des points de contact des tangentes menées par G aux cercles passant par F et F'.

Si F et F' sont imaginaires, les deux autres foyers, qui sont les points associés <p et cp', sont réels; il suffira de joindre G à un poi-nt quelconque Q de la droite de Newton FF' et de porter sur GQ, à partir de Q, des segments QM et QM' égaux à Qç (car le produit QF.QF'= Qç.Q?') et le lieu des points M, M' sera la cubique considérée.

Par M. Emile BOREL,

Maître de Conférences à la Faculté des Sciences de Lille.

1. Galois (2), en montrant, l'importance qu'a en Algèbre la Théorie des groupes de substitutions, a ouvert une voie nouvelle à la Science. C'est un géomètre norvégien déjà illustre, M. Sophus Lie, qui, en créant sa théorie des groupes de transformations, a introduit dans le domaine de l'Analyse et de la Géométrie l'idée de groupe convenablement modifiée et étendue {^).

Le but de cette Note n'est pas d'exposer les idées de M. Lie; l'importance et l'étendue du mouvement scientifique auquel elles ont donné naissance rendraient cette tâche trop lourde, si d'ailleurs c'en était ici le lieu. Notre but, bien plus modeste, est de nous en inspirer le plus possible dans une étude élémentaire des transformations les plus simples de la Géométrie; c'est pourquoi nous avons tenu à rappeler au début de cette Note les noms des deux géomètres qui ont jusqu'ici le plus contribué à mettre en évidence l'utilité de la notion de groupe.

(') Cette Note est à peu prés la reproduction de Conférences faites à la Faculté des Sciences de Lille pendant l'hiver 1894-1895; j'ai simplement introduit les modifications nécessaires pour ne pas quitter le domaine des Mathématiques spéciales. J'avais déjà traité en partie les mômes sujets dans un Cours libre que j'ai eu l'honneur de professer en i8g3 à la Faculté des Sciences de Montpellier.

(') Évariste Galois, né en 181 1, mort en 1882, étant élève à l'École Normale, a laissé des Notes dont la publication, faite en 1846 par les soins de Liouvillc, a eu la plus grande influence sur l'évolution de la pensée mathématique.

(') On lira, avec le plus grand intérêt, dans le Livre du Centenaire de l'École Normale (Hachette et C"), quelques pages de M. Sophus Lie sur V Influence de Galois sur le développement des Mathématiques.

NiKWENQLOWSKi. — G. an., III. 3ï

482 NOIK

Le nombre et l'importance des travaux faits dans notre siècle sur les transformations en Géométrie ne nous permet pas en effet d'en seulement esquisser un historique un peu complet. Contentons-nous de citer les noms, de Poncelet, Cliasles, Laguerre, Halphen, Darboux en France; de PliJcker, Mobius et Klein en Allemagne, de Cayley en Angleterre, de Cremona en Italie, pour nous borner à ceux dont les travaux se rattachent le plus directement aux sujets ici traités.

Nous tenons cependant à faire une remarque importante; nous venons de dire que, dans l'exposition qui va suivre, nous nous inspirerions le plus possible des idées et des méthodes de M. Lie; il serait regrettable que ce procédé d'exposition conduisît le lecteur à méconnaître l'importance des travaux des autres illustres géomètres dont nous venons de citer les noms. En réalité, ce sont eux qui ont trouvé à peu près tout ce qui est essentiel dans les théories élémentaires que nous exposons ici; ils ont le plus souvent appliqué aux cas particuliers les plus intéressants les méthodes générales de la théorie des groupes de transformations avant que ces méthodes aient été systématiquement exposées par M. Lie. Parmi les exemples les plus caractéristiques de ce fait, des plus intéressants au point de vue de l'historique du développement de la pensée, nous signalerons les recherches de M. Darboux sur l'inversion {voir plus loin, notamment n° 20) et celles d'Halphen sur les invariants différentiels qu'Ampère avait déjà considérés dans des cas particuliers.

Nous n'insisterons pas davantage sur ces considérations historiques; dans les courts renseignements bibliographiques que nous donnerons parfois en passant, nous aurons uniquement en A'ue de signaler à nos lecteurs des Ouvrages pouvant leur être utiles, et nullement la prétention d'être complet. Enfin nous répétons une dernière fois que, par nos lecteurs, nous entendons essentiellement des élèves de Mathématiques spéciales; la modestie de notre but est seule une excuse suffisante aux grandes lacunes de cette Note; nous ne prétendons pas apprendre grand'chose aux jeunes gens qui nous liront, mais seulement leur faire connaître l'existence d'un vaste champ de belles connaissances et leur donner le désir de l'explorer.