I. — Généralités sur les transformations

2. Transformer une figure, c'est la remplacer par une autre figure qui lui corresponde suivant une loi déterminée. Si cette loi est convenablement choisie, il existe entre les deux figures des rapports simples qui permettent parfois d'en découvrir des propriétés nouvelles. Un exemple bien connu de transformations nous est fourni par les divers systèmes de projections grâce auxquels les géographes représentent sur un plan la surface de la Terre. Ces transformations ont ce caractère spécial d'être seulement définies pour une figure particulière (la Terre supposée sphérique) qui est transformée en un plan ou en une portion de plan, suivant une certaine loi. C'est à ce point de vue qu'on a d'abord considéré une de ces projections les plus usitées : la

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projection stéréographique; on a remarqué ensuite qu'on pouvait la regarder comme cas particulier d'une transformation plus générale, l'inversion, laquelle s'applique à tous les points de l'espace. Cette considération permet de démontrer plus simplement bien des propriétés de la projection stéréographique.

Nous sommes ainsi amené à distinguer deux grandes classes de transformations : 1° celles qui sont définies seulement pour une surface ou pour unecourbe : telle la projection de Mercalor; nous les laisserons de côté (*); >° les transformations définies pour tout l'espace, pour tout le plan ou pour toute la droite (suivant que l'on fait de la Géométrie à trois, deux, ou une dimension) et que nous considérerons, par suite, non comme des transformations d'une figure particulière, mais comme des transformations de l'espace {du plan ou de la droite) considéré dans son ensemble. Pour arriver à cette conception d'une transformation de l'espace, grâce à laquelle sont transformées les diverses figures sises dans cet espace, il est nécessaire de regarder ces figures comme formées d'éléments infiniment petits dont l'ensemble constitue l'espace entier et sur lesquels porte la transformation. Le point de vue le plus habituel et celui auquel nous nous placerons tout d'abord consiste à regarder l'espace comme formé de points qui, associés suivant des lois déterminées, engendrent les figures. Dès lors, une transformation de l'espace est une transformation de tous les points de cet espace et la transformée d'une figure F est la figure formée des points transformés des points de F. Les transformations ainsi définies sont dites transformations ponctuelles; nous les étudierons d'abord et verrons ensuite comment on peut arriver à concevoir des transformations plus générales.

3. Avant de passer à l'étude de transformations particulières, il est indispensable de présenter quelques remarques générales.

Pour la commodité du langage, nous désignerons souvent une transformation par une seule lettre, par exemple T; si une figure F' est obtenue en appliquant à une figure F la transformation T, nous dirons que F' est la transformée de F par T et nous écrirons