Soient AB et CD deux vecteurs; on a

6 vol.(ABGD) = (a + a')(a + a') + (6 + 6')(|3 -h jB') -i- (c+ c')(y+ y'), a, 6, c, a, ^, Y, etc. étant les coordonnées de Plucker.

17. Le moment de la résultante de plusieurs vecteurs issus d'un même point, par rapport à un axe, est la somme des moments des vecteurs par rapport au même axe. En conclure que le moment de la résultante, par rapport à ces points, est la résultante "des moments des vecteurs par rapport au même point.

18. Soient «i, u^, . . ., «„ des vecteurs quelconques; ak, b/c, Ck les composantes du vecteur Uk\ a^, j3>t, ya- les composantes de son moment par rapport à l'origine; si l'on pose X = Sa^., Y = 26^., Z = Sc>t; L = Sa^., M = 2^/, N = Sy/1> les expressions X^ -t- Y2 -h Z2 et LX + MY -t- NZ conservent des

PLAN ET LIGNE DROITE. 8l

valeurs invariables quelle que soit l'origine des coordonnées et quelles que soient les directions des axes.

Le vecteur (X, Y, Z) se nomme la résultante générale et le vecteur (L, M, N) le moment résultant du système donné de vecteurs.

19. On peut choisir une infinité de points P tels que le moment résultant relatif à P soit parallèle à la résultante générale. Le lieu des points P est une droite parallèle à la résultante générale.

20. Trouver les droites de moment nul, c'est-à-dire celles relativement auxquelles la somme des moments d'un système de vecteurs est nulle.

(Pour plus de détails sur la théorie des vecteurs, voir: Traité de Mécanique, par P. Appell, t. I; Paris, Gauthier-Villars. — Leçons de Cinématique, par G. KœxiGs; Paris, Hermann.)

21. Le rapport anharmonique des quatre points d'intersection d'une droite avec les faces d'un tétraèdre est égal au rapport anharmonique du faisceau des quatre plans menés par cette droite et par les sommets du tétraèdre.

22. Appliquer à l'espace la théorie des centres de gravité établie en Géométrie plane (Tome I).

23. Trouver la distance d'un point P à une droite AB en prenant sur cette droite un segment AB de longueur donnée et écrivant que le carré de l'aire du triangle PAB est égale à la somme des carrés de ses projections sur les trois coordonnées.

24. Examiner ce que deviennent les équations de la perpendiculaire commune à deux droites, ainsi que la formule de leur plus courte distance, quand l'une des droites, tournant autour d'un de ses points, devient parallèle à l'autre.