Soient P + jui Q = o, P -t- 7^2 Q = o, P -t- m^ Q

les équations de quatre plans passant par l'intersection des deux plans défînis par les équations P = o, Q = o. On démontre, comme en Géométrie plane, que, si l'on coupe ce faisce au parune transversale qui le rencontre aux quatre points a, b, c, d, le rapport anharmonique

a pour mesure

ca da cb' db

nii — «I4 * m.^ — nii.

Cette expression est indépendante de la position de la sécante; on la nomme le rapport anharmonique du faisceau des quatre plans. En particulier, les équations

P = o, Q = o, P + mQ = o, P— wQ = o

représentent un faisceau harmonique.

Si l'on considère deux faisceaux définis par les équations

P + XQ = o, R + [jtS = o,

l'I.lN KT I.IC.NE DHOITH. yg

on (lit que les deux faisceaux sont homographiques, si X et |ji vérifient une équation de là forme

X [X H- A X -I- 13 fn- G = o.

lui supposant que R corresponde à P et S à Q, on peut disposer des coefficients des polynômes Q et S de façon que la relation homographique se réduise à X = fx. Sous cette forme on voit, sans calcul, que le rapport anharmoniquc de quatre plans du premier faisceau est égal au rapport anharmonique des quatre plans correspondants du second faisceau.

Réciproquemerit, si le rapport anharmonique de quatre plans quelconques d'un faisceau est égal au rapport anharmonique des quatre plans correspondants d'un second faisceau, ces deux faisceaux sont homographiques.

EXERCICES

1. Démontrer, par une transformation de coordonnées, que l'équation d'un plan est du premier degré.

2. Démontrer que l'équation du premier degré à trois variables représente un plan, en remarquant que la droite, qui passe par deux points de la surface représentée par cette équation, est tout entière contenue dans cette surface.

3. Former l'équation du plan perpendiculaire au milieu d'une droite AB, en écrivant que ce plan est le lieu des points équidistants des extrémités A et B.

4. Former l'équation du faisceau des plans bissecteurs d'un dièdre, connaissant les équations des deux faces.

*). Vérifier que si une droite AB est perpendiculaire à un plan P, tout plan parallèle à AB est perpendiculaire au plan P.

G. Les sommets A, B, C d'un triangle sont situés sur trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz; connaissant les coordonnées (a, o, o), (o, 6, o), (o, o, c) de ces sommets, trouver les coordonnées des centres des cercles inscrit ou exinscrits au triangle ABC; les coordonnées de l'orthocentre, du centre du cercle circonscrit, etc.

7. Généraliser le théorème des transversales en coupant un polygone quelconque, plan ou gauche, par un plan. Étudier, à ce point de vue, le quadrilatère gauche.

8. Vérifier que les milieux des côtés d'un quadrilatère gauche sont les sommets d'un parallélogramme.

9. Vérifier par le calcul qu'une droite est perpendiculaire à un plan quand elle fait des angles égaux avec trois droites situées dans ce plan.

10. Par trois points A, B, G en ligne droite, on mène trois parallèles qui

8o CHAPITRE III.

rencontrent un plan M en trois points P, Q, R; prouver que

AB.CR ± AC.BQi BC.AP = o.

11. Prouver que, dans un trièdre : i" les plans bissecteurs des dièdres se coupent suivant une droite, lieu des points également distants des faces; 2° les plans menés par les bissectrices des faces et perpendiculaires à leura plans, se coupent suivant une droite, lieu des points également distants des arêtes; 3° les plans menés parles arêtes et les bissectrices des faces opposées ont une droite commune. Former les équations de ces droites en coordonnées tétraédriques.

12. Soient A, B, G trois droites parallèles à un même plan; prouver qu'il y a une infinité de droites qui les rencontrent et que toutes ces droites sont parallèles à un même plan.

13. Si, par le sommet d'un angle trièdre, on mène dans chacune des faces une droite perpendiculaire à l'arête opposée à cette face, les trois droites que l'on obtient ainsi sont situées dans un même plan.

14. Étant donnés un triangle et trois axes fixes, qui rencontrent le plan du triangle en E, F, G, on prend sur les axes trois points fixes A, B, G (situés respectivement sur Ox, Oy, Oz) et l'on fait tourner autour des côtés da triangle trois plans qui rencontrent les axes en M, N, P, tels que

AM „ BN GP ,

^ËM + ^FN-^^^GP=^'

a. p, Y> 8 étant des constantes; prouver que le point commun à ces trois plans décrit un plan.

15. Exprimer le volume d'un tétraèdre en fonction des longueurs de deux arêtes opposées, de leur perpendiculaire commune et de l'angle des deux arêtes.