MM

gardée comme étant du premier ordre; il faut, en effet, remarquer que — — a

... ds pour limite -7- ou (^.

' dt

Remarque. — Si l'on a constamment

on en déduit

d\os:,x' dlogy d\o^z' dt dt dt

d'où, en intégrant deux fois, Xq, j'o, zq et a, b, c étant des constantes,

127. Applicatiox. — Etant données les coordonnées rectangulaires Xq, yo, Zq d'un point Mo et les équations

r — xi ^ r— ri ^ — -51 a /) c

d'une droite A, on fait tourner le point Mq d'un angle a autour de A et l'on demande les coordonnées du point Mj avec lequel Mq vient coïncider après cette rotation.

Soient x' , y\ z' les coordonnées du point G de rencontre de l'axe A avec le plan qui lui est perpendiculaire et qui passe par M, de sorte que G est le centre du cercle que décrit le point Mo; posons

j"o= a^'-hXo,

ro^y-^- Yo,

ce qui revient à prendre le point C pour origine. Si l'on nomme s l'arc de cercle compté à partir de Mo que décrit le point mobile, les cosinus direc-

. „ , , dX d\ dZ ^,

teurs de la tangente en un point M du cercle sont -%— » -t-j -3- • U autre part,

la tangente étant perpendiculaire au rayon OM et à la droite A, on a, en supposant le sens positif de rotation autour de cette droite convenablement choisi (111,78) et en appelant r le rayon du cercle,

d\ bZ—c\

ds r

ds ~ r ' ds r

On en déduit

r/2X I / f/Z d\\ ds^ ~ r\ ds ds /

= \[a(a\+bY-hcZ)-{a^-hbi-h

I06 CHAPITRE VF.

Pour simplifier, supposons a^-\- b^-\- c^ = i; d'autre part, le plan du cercle étant perpendiculaire à A, on a aX-h bY-+- cZ = o; donc enfin

ds^ ~

e même

ds-^ ~ 7-2 '

ds-^ ~

(Ces formules sont évidentes si l'on sait que l'accélération dans le mouvement circulaire uniforme est dirigée vers le centre.) On déduit des équations précédentes

X = A cos - -4- B sin -> Y = A' cos - -h B' sin - , Z = A" cos - -h B" sin - , r 7' 7- 7- /• r

A, B, A', B', A", B" étant des constantes arbitraires {voir, par exemple, Cours d'Algèbre, t. II, p. 164). Or, si 5 = o, le point M est en Mo; donc

A = Xo, A'=Yo, A"=Zo.

En second lieu,

Si s = o,

dX i ^ . s I ^ s

—r- = Xo sin i — B cos - •

ds r r r r

\ ds /o 7- 7-

ce qui donne B; on calcule de même B' et C" et, par suite, si - = a on a

pour le point Mi

X= Xf) cos a -H (èZo — c Yq) sin a ,

Y = Yq cos a -I- ( c Xq — a Zo ) sin a ,

Z = Zq cos a -+- («Yq — 6X0) sin a;

on en déduira facilement x, y, z.

Plan osculateur.

128. Soit M un point d'une courbe correspondant à une valeur t du paramètre et soient M' et M" deux points correspondant à des valeurs t -\- hi, t -\r hi-\- h^; si l'on suppose que hi et h^ soient des infiniment petits du même ordre, le plan MM' M" tend vers un plan limite déterminé quand hi et /i2 tendent vers zéro, et ce plan limite se nomme le plan osculateur en M.

En effet, l'équation d'un plan mené par M est de la forme

. A(X— a7) + B(Y — j)-t- G(Z — ^) = o. Si l'on nomme Aja?, Aj^, Ai 2 les accroissements de x, y, z qui correspon-