GOURDES GAUCHES. I
considéré; en répétant les mêmes raisonnements que dans le cas d'une courbe plane, on démontre que le périmètre de la brisée a une limite ayant pour expression
'^^Èï-^iÈy^''
Xo et Xi étant les abscisses de A et B, en supposant que, si un point M parcourt l'arc AB, l'abscisse de ce point va en croissant de Xo à Xi. Cette limite, indépendante de la nature de la brisée dont tous les côtés sont seulement assujettis à tendre vers zéro, se nomme la longueur de Varc AB. Si M est un point variable de l'arc AB, la longueur de l'arc AM est une fonction de X que nous représenterons par *, de sorte que
=XV-(ïr-(^:r-
et l'on en conclut
ds^ — dx^ -+- dy"^ + dz'*-.
Le rapport de l'arc MM' ou As à la corde MM' a pour limite i, quand MM' tend vers zéro, car
MM' /A.r2 ■+- A>'2 -h A32
As As / ^* \
Or, le numérateur et le dénominateur ont la même limite quand Ar tend vers zéro.
125. Application aux tangentes. — Si l'on nomme a, 3, y les angles que la tangente en M fait avec les trois axes des coordonnées, on a
cosa cosp cosy £ dx dy dz ds
t étant égal à -t- i ou à — i, el ds étant la différentielle de l'arc s, qui correspond à un accroissement dt de la variable indépendante. Si l'on prend
£ = -+- 1, on a
dx
cosa = —7- , ds
cl, par suite, a est aigu ou obtus suivant que s, regardée comme fonction de X, est une fonction croissante ou décroissante. Si l'on considère un mobile M décrivant l'arc AB, si ce mobile prend deux positions infiniment voisines M, M', qui correspondent à deux valeurs ^ et t -h \t àa paramètre, le point M' est d'un côté déterminé du plan normal en M; si l'origine des arcs est placée de façon que l'arc s croisse avec la variable t, on voit que £ = 4- 1 correspond
à la demi-droite MT portée sur la tangente en M, qui est dirigée relativement au plan normal en M, du même côté que M', c'est-à-dire dans le sens du mouvement.
. . , ds
Lorsque la variable indépendante est le temps, un segment égal à -j- et
porté sur la demi-tangente MT est la vitesse v, et l'on a
dcc dy „ dz
-— -— fcosa, -^ = Pcosp, -j- = vcosy.
dt ^ dt ^ dt '
Ces expressions sont les composantes de la vitesse respectivement parallèles aux axes, et
Autre définition de la tangente.
126. On peut définir la tangente à une courbe de la manière suivante. Soient
X — ^Y — y Z — 3 abc
les équations d'une droite menée par un point M (a;, y^ z) d'une courbe; le carré de la distance à cette droite du point M' {x -^ Lx, y->r £^y, z -\- ^.z) a pour expression
{b!i.x — a\yy--{- {c^y — b^zY + (a\z — c\xy
Or, en appelant x',y', z' ; x", y", z", ... les dérivées de x, y, z par rapport à la variable indépendante t, le numérateur a pour expression
(é>a7' — af) a; -f- i {bx" — ay" ) Lt"^ -^ . . ?(
On voit ainsi que la distance considérée est du premier ordre par rapport à Af, à moins que l'on n'ait
abc
et, dans ce cas, la distance est au moins du second ordre; elle est du troisième ordre si l'on a, en outre,
La tangente en M peut donc être définie comme étant une droite telle que la distance d'un point M' de la courbe infiniment voisin de M à cette droite soit infiniment petite, du second ordre au moins, la distance MM' étant re-
COL'RBES UAVCIIES. Io5
