X-x, Y-y, Z-z dx, dy, dz

129. Le plan osculateur peut être défini autrement: en effet, \e plan mené par la tangente en M et parallèle à la tangente en M' a pour limite le plan osculateur en M, quand M' vient se confondre avec M.

Effectivement, soit

l'équation d'un plan passant par M. Ce plan contiendra la tangente en M et sera parallèle à la tangente en M' si A, B, C vérifient les conditions

kx' -^ Bj''-f- Cz' = o, A(:r' + A2-') -4- B(y-i-Ay) + C(z'-i-A3') = o.

Cette dernière équation peut être remplacée par celle-ci

qui, à la limite, devient

A:r"-f- ny-^Cz" = o.

En éliminant A, B, G on retrouve bien l'équation du plan osculateur en M. Enfin, on peut encore définir ce plan comme étant la limite du plan mené par la tangente en M et par le point M', quand M' tend vers M, car on devra

io8

AAa^'-i- BAj'+ CA^' = o,

ce qui donne, à la limite, le même résultat que plus haut.

La propriété caractéristique du plan osculateur est la suivante : si l'on calcule la distance d'un point M' à un plan P, mené par M, la corde MM' étant regardée comme étant l'infiniment petit principal, cette distance est un infiniment petit de l'ordre le plus élevé possible quand le plan P est le plan osculateur en M. En effet, la valeur absolue de la distance de M' au plan P défini par l'équation

AÇX-x)-hB{Y — y)-i-C(Z~z) =o

ayant, pour expression, au signe près,

A A37 -f- B AjK -4- G A5

c'est-à-dire

(Ax'-h By'-h Gz') M -+-{Ax"-i- B/'-f- G^") 1-

v/A2-kB2+G2 cette distance est du second ordre si

Ax'-\- By' -4- G 3' = o,

c'est-à-dire si le plan contient la tangente en M; elle est du troisième ordre, si, en outre,

kx"-^By"-\-Cz" = 0.

Donc la distance considérée est de l'ordre le plus élevé possible si le plan P est le plan osculateur; c'est, d'ailleurs, cette propriété qui lui a fait donner son nom.

130. Le plan osculateur d^une courbe plane est le plan de cette courbe; cela est évident géométriquement, puisque le plan M M' M", déterminé par trois points quelconques de la courbe, n'est autre que le plan de la courbe même. On le vérifie aisément par le calcul. Soit, en effet,

kx -{- By -i- G G -)- D = o

l'équation du plan de la courbe, l'équation du plan osculateur peut se mettre sous la forme

X — ^ Y— y k(X—x) + B(Y — y)-^C{Z — z) x' y' Xx' -^By' -^Cz'

y" kx"-\-By'-^Gz"

et se réduit, par suite, à