COURBES GAUCHES
+-B(Y-j')-^C(Z- BY-f-CZ + D = o.
car les éléments de la dernière colonne du déterminant sont identiquement nuls, à l'exception du premier, et le coefficient x' y — y' af doit être supposé différent de zéro, car, si l'on avait identiquement x' y — y' x" = o, on en déduirait/' = aa:' et, par suite, ;'= ax -+- 6, a et 6 étant deux constantes, ce qu'on ne peut supposer si l'on fait l'hypothèse C p^ o, car la courbe se réduirait alors à une droite.
Réciproquement, si le plan osculateur est fixe, ou seulement s'il reste parallèle à un plan fixe, la courbe est plane.
En effet, si l'on suppose
y'z''—z'y'=\k, z'x"—x'z"=\ïi, x'y'' — y'x''=lC, A, B, G étant des constantes, on en tire
Ax' -h Hy -+- Cz' = o,
d'où, en intégrant.
Ax -h By -4- G-5 -I- D = o, D étant une nouvelle constante.
Courbures.
131. Considérons une courbe rapportée à trois axes rectangulaires, et soient M un point de cette courbe. M' un point infiniment voisin et enfin MT, M'T' les demi-tangentes tracées dans le sens du mouve- Fig. 2/1 .
ment.
Considérons une sphère ayant pour centre un point quelconque, par exemple l'origine des coordonnées, et menons des rayons Om,Om' parallèles aux demi-droites MT, M'T'. Quand M décrit l'arc AMB, le point m décrit un arc de courbe spliérique amb , qu'on nomme Vindicatrice sphérique de ^^ la courbe donnée {fiig. 24)-
L'angle mOm' est mesuré par un arc de grand cercle ayant pour extrémités les points m et m'. Or l'arc de grand cercle considéré et l'arc de courbe
sphérique décrit par m sont des infiniment petits respectivement équivalents à leur corde commune mm' : donc leur rapport a pour limite i. Cela étant, si l'on désigne par 0 Vangle de contingence, c'est-à-dire l'angle des demi-tangentes MT, M'T', on nomme courbure moyenne au point M de
l'arc MM' le quotient ^rrr, î et courbure en M la limite de ce rapport.
^ arc MM" ^^
D'après cela, si l'on désigne par s l'arc A.M et par a l'arc «m, on voit que la
d^ courbure en M de l'arc AB a pour mesure -y- • On nomme rayon de cour-
ds bure au point M le rapport inverse, et l'on pose R= -^.
Pour calculer R en fonction des coordonnées du point M, remarquons que les coordonnées de m sont les cosinus directeurs de MT, c'est-à-dire dx dy dz
d^ = v/(^cos a)2-+- (c^cosP)2, (ofcosyj^
mais
dx ds d'^x — dx d''- s ds ds'^
D'autre part,
y.{dsd'^x — dxd'^sy-=ds'^[{d'^xY+ {d'^yY-A- {d'^ z^}
-\- ds'^ (d'^sy — 2 ds d'^ s{dxd'^x -+- dy d^y-hdz d-z).
En différentiant l'équation
dx'^ -h dy^ + dz^'= ds^, on obtient
dx d-x -\- dy d'^y -h dz d^z = dsd-s
et, en substituant dans la somme précédente, il vient
:S.{dsd'-x — dxd^sy= ds^[{d-^xy-h (d-^y^-h (d'-zy-—(d^sy-],
et enfin
\/{d-^xy' + (d-'yy-^{d-^zy—{d-'sy
Si l'on prend l'arc pour variable indépendante, cette formule donne
132. Considérons le plan normal en M et le plan normal en M'. Si l'on suppose que les coordonnées de M soient des fonctions d'un paramètre t, on
