Trouver l'enveloppe du plan défini par l'équation (i
(i) a^-h ^jK-H yz = V,
a, p, y, V étant liés par les relations
Différentions les équations (i), (2), (3) en regardant a, p, y, V comme des variables, ce qui donne
(4) X doL -i- y d^ -\- z d-^ = dV ,
en posant
«^^ 8^^ , ydy ^ , ,y
-•ïi— 1 V.
(') Surface de l'onde de l'ellipsoïde
{Voir Mascart, Traité d'Optique, t. I, p. 563.) Ce calcul est dû à A. Smith {Philosophical Magazine, t. XII, p. 335; i838).
ENVELOPPES. l85
Pour appliquer la méthode exposée plus haut, nous devons déterminer X et [i tels que
(lo) I = fjiA-
Il n'y a plus qu'à éliminer a, p, y, V, X, [i. entre les équations (i), (2), (3), (7), (8), (9), (10).
Or, les équations (7), (8), (9) donnent, en vertu de (2) et (3),
V = (XX -h '^y 4- Y^ = X.
En posant r* = a?*-f- y^-h z^, on obtient
,.i = V2 -t- [jl2 -^ = V2 + Ç
ou
,ji = V(r2-V2).
De là on tire
j7 = Va ( n- r— = Va ^7-
et, par suite,
X Va X — Va
r2 — ai ^ V2— a2 ^ r^ — V^ '
On peut donc écrire les équations
X X — Va
g -a— Vy
/.2 cl ~ ,.2—\i'
d'où, en multipliant par x, y, z et ajoutant,
Cette équation peut d'ailleurs se transformer en l'écrivant ainsi
X^ y2 Zi ^x^^yi^z*
l86 CHAPITRE X.
ou
c'est-à-dire
lyiyl c^^S
En chassant les dénominateurs, on obtient enfin, sous forme entière, (i3)
L'enveloppe cherchée est donc une surface du quatrième ordre.
204. Équations tangentielles. — On peut regarder une surface soit comme le lieu de ses points, soit comme l'enveloppe de ses plans tangents. Si on l'envisage à ce dernier point de vue, il y a lieu de distinguer si la surface est développable ou non.
En effet, quand la surface n'est pas développable, une seule équation exprime qu'un plan lui est langent ou, en d'autres termes, la surface n'a qu'une seule équation tangentielle. Effectivement, l'équation d'un plan tangent à cette surface dépend de deux paramètres ; en l'écrivant sous la forme
ux -^ vy -\- ivz -1-1 = 0,
M, V, w étant des fonctions de deux paramètres; si l'on applique la méthode du n° 195, on obtiendra une équation
ou, si l'on écrit l'équation du plan tangent sous forme homogène,
ux -+- vy ■+■ wz -\- rt = o, on aura une équation homogène
qui est ce que nous avons appelé Véquation tangentielle de la surface; nous savons que les coordonnées ponctuelles du point de contact du plan (w, v^ w, r), dont les coefficients vérifient l'équation F= o, sont proportionnelles aux dérivées F,'^, F^, F^, F,'..
L'équation
F ( i< -j- X a', V -\-\v', w -{-\w', r -hlr') = o
EKVELOPPES. 187
détermine les plans tangents menés par l'intersection des deuï plans
(m, V, w, /•) et («', v', iv', /•'). On voit ainsi que la classe est égale au degré de l'équation tangentielle.
205. Les choses se passent différemment quand il s'agit d'une surface développable.
En effet, si l'on conserve les mêmes notations, on voit que les icients -> -> — de 1 équation d un plan tangent a une pareille surface étant fonctions d'un seul paramètre, si l'on applique la méthode du n° 193, on obtiendra deux équations entre ces coefficients, ou deux équations homogènes
F(«/, (', H-, /•) = o, Fi (u, p, w, r) = o.
Donc, une surface développable est définie par un système de deux équations taiigentielles.
Considérons, par exemple, le cône du second degré ajant pour
équation
Aa-2-t- A'j'2 f. M' z--^ iHyz -h %W zx -h iW xy = o.
Pour qu'un plan ayant pour équation
ux -+- vy -H i%>z -H r = o,
lui soit tangent, il faut d'abord qu'il passe par son sommet, ce qui
donne une première condition
En identifiant ensliite l'équation
ux -\- vy -\- wz = o
avec celle d'un plan tangent au cône, on aura un calcul absolument identique à celui qui permet de trouver l'équation tangentielle d'une conique, en Géométrie plane, avec des coordonnées homogènes (ce qui s'explique en remarquant que le plan considéré sera tangent au cône, si l'intersection de ce plan par le plan :; = i est tangente à l'intersection du cône par ce même plan).
On obtient ainsi les deux équations tangentielles du cône :
r = o, a II- -k- a' v'^ -\- a" w^ -\- ib V w -\- ib' wii -4- ib" uv = o,
où «, «', a", 6, b' ^ b" sont les mineurs du discriminant du premier membre de l'équation ponctuelle de ce cône.
leb CHAPITRE X.
206. Il nous reste à prouver qu'une courhe a une équation tangentielle.
Supposons, en effet, que les coordonnées x, y, z d'un point d'une courbe soient exprimées en fonction d'un paramètre arbitraire ï, les coordonnées d'un point quelconque de la tangente au point (^) étant
un plan contiendra celte tangente si
«/ (0 + vfi {t) + wf.i{t) + r = o,
en éliminant t, on a bien une équation homogène en u, v, w, r.
Ainsi, il peut arriver qu'une équation tangentielle représente une ligne et non une surface.
L'équation
exprime que le plan (m, p, w, r) est tangent au cercle de l'infini. Cette équation est l'équation tangentielle du cercle de l'infini, '
Les équations tangentielles d'un cône isotrope, ayant son sommet à l'origine, sont donc
r = O, U^-Jr i>^-]- w^ = o.
Les équations du cône isotrope de sommet (a, b, c) sont
au -{- bv -\- cw -]- r = o, u''' -\- v^ -\- w'^ = o . Considérons une courbe située dans le plan ayant pour équation
Soit
ux -h i>y -h wz -)- 1 = G
l'équation d'un second plan; l'intersection de ces deux plans sera tangente à la courbe considérée, si le plan mené par l'origine et par cette intersection, c'est-à-dire le plan ayant pour équation
est tangent au cône ayant pour sommet l'origine et pour directrice la courbe donnée; on en conclut que cette courbe est représentée par une équation de la forme
F(ii — m', p — v\w — w') = o,
F désignant une fonction homogène.
Réciproquement, l'équation précédente est vérifiée, quel que soit X, si l'on pose
M = «'-)->. a, v^=v'-\-\'^^ w = (v'h-Xy et
Or l'équation du plan mobile étant alors
u'x -ir v'y-i- w'z -\- i-t-X(aa7-t- P7-I- 75) = o,
à chaque système de valeurs de a, p, y correspondent tous les plans passant par une droite située dans le plan
l'enveloppe est donc une courbe située dans ce plan. Si '
II' = c'= «/ = o,
la courbe est dans le plan de l'infini; c'est facile à vérifier directement. Ainsi, par exemple, si l'équation donnée est
ll--\- f2-|- w^= o,
on a, en appliquant la méthode générale des enveloppes,
ux -\- vy -\- wz -\- t = o, -== — = —;
donc
1. Trois points se meuvent avec des vitesses uniformes à partir de positions données sur trois axes rectangulaires ; trouver l'enveloppe du plan passant par leurs positions contemporaines. (T.)
2. Une sphère de rayon constant passe par l'origine; trouver l'enveloppe des plans de contact des cônes circonscrits de sommet donné. (T.)
3. Enveloppe des plans qui touchent deux paraboles ayant même sommet, même axe et situées dans deux plans rectangulaires.
