NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES. — COMPLEXES, CONGRUENCES
207. Nous avons vu que l'on peut faire correspondre à une droite six paramètres a, b, c, a, p, Y liés par une relation homogène
aa-f-6^-hCY = o,
et, réciproquement, à tout système de paramètres liés par l'équation précédente correspond une droite. On démontre plus généralement que l'on peut faire correspondre à chaque droite six paramètres Xi, x^, ...yX^hés par une équation quadratique et homogène
?(a7i, x-i, xs, Xi, Xi, xe) = o,
et réciproquement; et en outre que la condition, qui exprime que deux droites Xi, . . ., x^; x\, . . ., x'^ se coupent, est la suivante
, ai , dP
x'. T^ -+- a-; 3-^ -f- . . . = o ( > ). ' dxi ^ dXi ^ '
(') ro//* G. Kœnigs, La Géométrie réglée et ses applications (Paris, Gaulhier- Villars) et la Note à la fin de l'Ouvrage.
192 CHAl'ITUE XI.
Mais nous nous bornerons à faire usage dans ce qui suit des coordonnées de Pliicker.
208. L'ensemble des droites, satisfaisant à une relation homogène de la
forme
constitue ce qu'on nomme un complexe. L'ordre du complexe est le degré m
de l'équation précédente.
Par chaque point de l'espace, il passe une infinité de droites du complexe
qui sont sur un cône qu'on nomme cône du complexe relatif à ce point et
dont nous pouvons aisément former l'équation. En effet, soient x' , y' , z' les
coordonnées d'un point donné A; en nommant x, y, z les coordonnées d'un
second point M et X, Y, Z les coordonnées courantes, les équations de la
droite AM sont
ou
Y(z — z') — Z{y—y') = zy' — yz',
7i{x — x') — X(^ — z')^xz' — zx' ,
X(jK — /) — Y(a^ —x')=yx' — xy'.
On peut donc poser
a — zy' — yx', ^ := ipz' — zx', -^ = yx' — xy'
et, par suite,
f(x — x', y— y', z — z, zy' — yz', xz' — zx', yx' — xy') ^ o.
Cette équation étant homogène par rapport aux différences x — x', y — y', z—z' représente un cône de degré m ayant pour sommet le point A.
En second lieu, les droites du complexe situées dans un plan donné enveloppent une courbe dont la classe est égale à l'ordre du complexe.
En effet, soit
l'équation d'un plan donné, et soit
ux -h vy ^ wz -\- i = o
l'équation d'un plan passant par une droite située dans le premier plan, Les équations de cette droite sont
(vu' )y -h{wu') z = u — u', {w\^' ) z -\- (uv>' ) X = V — v', {uw')x -\- (vw')y — w — w' .
NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES. ig3
On peut donc poser
a=(wi>'), b = (inv'), c — {vu'),
où
(^wv')=:ivv' — Viv', etc.
Pour toutes les droites situées dans le pian (u', v', w' ) on a donc f[{wv'), {uw'), (vu), u — a, V — v', w — w''\ = o-
Cette relation est homogène par rapport aux différences m — u'., v — v', w — w' \ elle représente une courbe et la classe de cette courbe est égale à l'ordre du complexe. Celle courbe se nomme la courbe du complexe relative au plan donné.
Si les équations de la droite mobile sont sous la forme
X — az -i-p, y = bz -h q, l'équation du complexe sera une relation entre a, b, p, q.
209. On nomme congruence l'ensemble des droites appartenant à deux complexes. Par chaque point de l'espace on peut mener un nombre détermine de droites de la congruence; ce sont les génératrices communes aux cônes des deux complexes donnés; dans un plan il y a un nombre détermine de droites de la congruence, qui sont les tangentes communes aux courbes de la congruence situées dans le plan donné.
Si l'on adopte les quatre paramètres a, b, p, q, ily a, pour une congruence, deux relations entre ces paramètres.
Enfin, si l'on donnait trois relations, a, b, p, q pourraient être regardés comme des fonctions données d'un paramètre, et les droites du système considéré seraient les génératrices d'une surface réglée.
Un plus grand nombre de relations correspondrait à un nombre déterminé de droites.
En résumé, on peut considérer : i° ce que M. Kœnigs appelle l'espace réglé, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les droites de l'espace, lesquelles dépendent de quatre paramètres; 2" les complexes ou systèmes de droites à triple indétermination; 3° les congruences, systèmes de droites à double indétermination; 4° les séries réglées à indétermination simple; 5° enfin les ensembles de droites qui sont déterminées et, par suite, à' indétermination nulle.
Voici encore quelques autres définitions dont nous pourrons avoir besoin dans la suite. Nous adoptons celles qui ont été proposées par M. G. Kœnigs.
Les droites issues d'un point dans un pian forment un faisceau plan; le point et le plan en sont les supports.
Deux droites qui se coupent définissent un faisceau plan; trois droites qui se coupent deux à deux formant un triangle ou un trièdre. Dans le premier NiEWKNGLOWSKi. — G. an., III. i3
ig\ CHAPITRE XI.
cas, toute droite qui les rencontre est dans leur plan; dans le second cas, toute droite qui les rencontre toutes les trois passe par leur point de rencontre commun; l'ensemble de toutes ces droites forme ce qu'on nomme une gerbe. D'une manière générale, on appelle h}' pe /'fais ce au l'ensemble de toutes les droites qui rencontrent trois droites qui se coupent deux à deux.
210. Etude sommaire du complexe linéaire. — On nomme complexe linéaire le complexe défini par une équation du premier degré
Aa + B6 -+- Ce -h Da -f- E [3 -t- Fy = o.
Le cône du complexe se réduit à un plan et la courbe du complexe à un point. On voit, en effet, que les droites du complexe qui passent par le point (x', y\ z') sont dans le plan ayant pour équation
-+- T){zy' — yz') -+- E{xz' — zx') -+- ¥ {yx' — xy') = o.
Cherchons les droites situées dans le plan {u', v', w'); on a, pour ces droites,
A{wv' — f>w') -+- B(mhp' — wu') ■+- C{çu' — uv')
-h T){u — u') -\-E{v — v') -h F{(\> — w') = o, ou, en ordonnant,
(D -f- B w' — Cv') u -+- (E + C u' — A w') V
-+- (F -+- Ap' — B w')(v — (D a'+ Ep'+ Fw') = o.
Le plan («, v, w), mené par une droite du complexe située dans le plan {u', v', w'), passe donc par le point ayant pour coordonnées
D + B»/— Cp' Xi = —
ri =
Dw'-t- Ep'-t- Fw'
u'xi ■+ v' yi 4- w' Zy -+-1 = 0;
donc, toutes les droites considérées passent par un point fixe situé dans le plan {u' , v' , w'). Ce point se nomme \e, foyer ou pôle du plan.
Il est évident que les droites passant par un point donné étant dans un plan, ce plan a pour foyer le point donné; on l'appelle le plan focal ou le plan polaire du point donné.
Si l'on emploie des coordonnées homogènes, les coordonnées ponctuelles homogènes du pôle du plan («', v' , w\ r') sont
D /•'+ B <v'— G p', Er'+Qu'~Aw', Fr'-+- Ap'— B a', — (Dm'+Ep'-+-F(v').
■ -^ Ev
Dm
' -\-Ev'
— Bm'
NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES. IqS
Si l'on suppose w'= i>'— w' = o, r'=i, ces expressions deviennent
donc le pôle du plan de l'infini est dans une direction bien déterminée qu'on peut appeler la direction axiale du complexe.
Enfin, si D u' -^ Ev' -h F w' = o, le pôle du plan (u', i>', w') est à l'infini; on appelle plan diamétral tout plan dont le pôle est à l'infini, c'est-à-dire tout plan parallèle à la direction axiale.
Comme exemple très simple, on peut considérer le complexe des droites rencontrant une droite donnée A(a', b', c', a', P', y'). L'équation du complexe
est alors
aa'-H 6P'-t- cy'-t- ««'-+- P6'+ yt.-' = o,
on vérifie alors que le pôle d'un plan est le point où ce plan rencontre A ; que la direction axiale est celle de A, etc. Mais tous les points de la droite donnée sont des points singuliers du complexe, car une droite quelconque passant par chacun d'eux fait partie du complexe. Un tel complexe est dit complexe spécial.
Les droites assujetties à rencontrer deux droites données, non situées dans un mê me plan, constituent une congruence linéaire; par chaque point il en passe une et dans chaque plan il s'en trouve une.
Nous verrons que les droites assujetties à rencontrer trois droites forment une quadrique.
211. Exemple de complexe du second ordre. — Nous considérerons le complexe formé par les tangentes à une sphère. Si l'on prend trois axes rectangulaires passant par le centre de cette sphère, l'équation du complexe sera, R étant le rayon de la sphère,
R?(a2-f-62-t-c2) — aî— P^—yî = o.
Le cône du complexe de sommet oc' , y' , z' a pour équation
^i{{x-x'y-^{y-yy-^{z-zf] = izy-jz'Y
-\- {xz'— zx'y-+ {yx'— xy')^ ;
c'est le cône de sommet {x',y',z') circonscrit à la sphère.
L'équation tangentielle de la courbe du complexe située dans le plan défini par l'équation
ux -^ vy -^ wz -f- I = o, est
R»[(»'f' — tMv')îH-(<f(t''— wu'Y-k-{vu'— uv'Y] = {u — n'y
Cette courbe n'est pas autre chose que la section de la sphère par le plan considéré. On le vérifie aisément de la façon suivante :
Faisons passer un plan par l'intersection des plans (u, v, w) et (a', v', w'),
IQÔ CHAPITRE XI.
son équation sera
{u -\- 'k u ) X -\- {v -\- \v') y -\- {w -{-\w') z 4- I -t- X = o; il sera tangent à la sphère si
La droite d'intersection sera une tangente si les deux plans tangents qu'on obtient ainsi se confondent, c'est-à-dire si l'équation précédente a une racine double. En exprimant qu'il en est ainsi, on trouve précisément l'équation tangentielle obtenue plus haut.
Tous ces résultats sont évidents géométriquement.
Les tangentes communes à deux sphères définissent une congruence. Il en passe quatre par chaque point : ce sont les génératrices communes aux deux cônes circonscrits aux sphères données et ayant ce point pour sommet. Dans chaque plan il y en a quatre, qui sont les tangentes communes aux cercles suivant lesquelles les deux sphères sont coupées par le plan considéré.
EXERCICES
1. Si l'on considère deux droites d'un faisceau plan ayant pour coordonnées («1, . . . , «s) et (6], ... , èc), les coordonnées de toute droite du faisceau
sont de la forme
Xi — lai-h ixbi,
X et (j. étant deux paramètres.
2. De même, les coordonnées de toute droite d'un hyperfaisceau, défini par trois droites a, b, c, sont de la forme
Xi = \ai-h [ibi-h "^ Ci-
3. Étant donné un plan P et un point p situé dans ce plan, le pôle />' du plan P est dans le plan polaire P' du point/? (210).
4. Les pôles de tous les plans menés par une droite sont situés dans les plans polaires de tous les points de cette droite.
5. Les plans polaires de tous les points d'une droite A se coupent suivant une même droite A', qui est le lieu des pôles des plans menés par A. Ces deux droites sont dites conjuguées.
6. Toute droite qui coupe deux conjuguées fait partie du complexe.
7. Toute droite du complexe qui coupe une droite A coupe aussi sa conjuguée.
8. Deux angles formés de droites conjuguées sont sur une quadrique. (Voir la Théorie des génératrices rectilignes des quadriques.)
9. Le rapport anharmonique de quatre plans menés par une droite est égal au rapport anharmonique de leurs pôles.
NOTIONS SLR LES SYSTÈMKS DE DUOITKS. I97
10. Le lieu des pùles d'une série de plans parallèles est une droite qu'on nomme diamètre. Quand les plans sont parallèles à la direction axiale ils sont perpendiculaires à leur diamètre, qui se nomme alors axe du complexe.
11. Tout plan perpendiculaire à l'axe rencontre cet axe et deux droites conjuguées quelconques en trois points en ligne droite.
12. La perpendiculaire commune à deux droites conjuguées rencontre l'axe à angle droit.
13. Si l'on nomme 0 la plus courte distance d'une droite d'un complexe linéaire et de l'axe de ce complexe, G l'angle aigu formé par ces deux droites, on a
0 tangO = k,
k étant une constante. Dans le cas du complexe spécial, A: = o.
14. Les droites d'un complexe linéaire sont les binormales à des hélices d'égal pas, tracées dans un même sens sur les divers cylindres de révolution ayant pour axe commun l'axe du complexe. Ces hélices s'appellent hélices normales du complexe, (G. Fouret.)
15. Par rapport à un complexe linéaire, le plan polaire d'un point quelconque de l'espace est le plan normal de l'hélice normale qui passe par ce point.
16. Les plans osculateurs d'une hélice, aux divers points de rencontre de cette hélice avec un plan quelconque, se coupent en un même point de ce plan. (G. FouRET.)
17. Les points de contact d'une hélice avec les plans osculateurs qu'on peut lui mener par un point quelconque sont dans un môme plan passant par ce point. (G. Fouret.)
18. Si l'on définit une droite par ses coordonnées vectorielles «, p, l'équaquatipn d'un complexe linéaire est de la forme
19. La distance d à l'axe du pôle/> d'un plan P est donnée par la formule
d= k tangO,
0 étant l'angle de l'axe et de la normale au plan P. En déduire la formule du n"* 13, ou inversement.
20. Étudier le complexe tétraédral ou complexe des droites qui coupent les faces d'un tétraèdre en quatre points dont le rapport anharmonique est constant.
21. Lorsque les tangentes d'une courbe appartiennent à un complexe de droites, le plan osculateur, en un point de cette courbe, est le plan tangent au cône du complexe suivant la tangente à la courbe en ce point.
22. Soit/(a,i», c, a, p, y) = o l'équation d'un complexe ; soit Ag une droite de ce complexe; on appelle complexe linéaire tangent relatif à Aq le complexe linéaire défini par l'équation
Otto ôbo dco ocUf, o'po 0^0
Le plan polaire d'un point quelconque M de Aq, par rapport à ce complexe, est tangent suivant A9 au cône du complexe relatif au point M .
23. En un point M d'une courbe dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire, le plan osculateur est le plan polaire de M par rapport au complexe linéaire tangent relatif à la tangente en M à la courbe.
24. Trouver l'équation de la surface réglée lieu des axes des complexes linéaires ayant quatre droites données (cylindroïde de Cayley ou co noïde de Pliicker); on peut donner à l'équation du cylindroïde cette forme
z(x^-\-j^)-+- kxy = 0, k étant une constante.
\Voir pour ces Exercices : G. Kcexigs, La Géométrie réglée; G. Fouret, Notions géométriques sur les complexes et les congruences de droites; A. Demoulin, Mémoire sur l'application d'une méthode vectorielle à l'étude de divers systèmes de droites.^
FIGURES HOMOTHÉTIQUES.
212. Dé/initions. — Soient S et M deux points ayant respectivement pour coordonnées ^05 jKoj ^0 et x^ y, z; prenons sur la droite SM un point M' tel que
