SM

k étant une constante numérique donnée, positive ou négative, suivant que les deux segments SM et SM' ont le même sen s ou des sens contraires. Si l'on opère ainsi pour chaque point M d'une figure F, on en déduira une nouvelle figure F', engendrée par le point variable M'; on dit que les deux figures F et F' sont homo-

FIGURES UOMOTHËTIQUBS. IQQ

théliques directes si k est positif, inverses si k est négatif; le point S se nomme le centre d'homothétie et k le rapport d'homothétie. La relation (r) subsiste pour les projections des segments SM, SM' sur un axe quelconque; on a donc, Jc', j/-', 5' étant les coordonnées de M',

X — Xq .

x' Xq

et, par suite,

de même

X = Xo{\ — /c)-+- kx';

y=y<i(i-k)-hky,

z = ZQ{\ — k)+kz',

et, en posant

^0(1 — ^) = «, y<>{i — k) = b, Zo{i — k) = c,

on obtient les formules

(2) x = kx'-\-fi, y = ky-\-b, z = kz' -\- c.

Si le point M décrit une surface ayant pour équation

le point M' décrira la surface définie par l'équation

f{kx -\- a, ky + h, kz -h c) = o.

On voit de même que, si M décrit une courbe. M' décrira aussi une courbe.

A un plan correspond un plan; à une droite, une droite.

213. Si l'on déplace le centre d'homothétie S, sans changer le rapport A', la figure F' subira une translation et ne changera pas de forme par conséquent. En effet, si l'on remplace ;ro, j^oj -^o par •2?o + ^n yo -h J"t > ^0 -f- ^» respectivement, on obtiendra pour déterminer les coordonnées :r", j", d' du point M" correspondant à M dans ce second cas, les équations

(3) X ^kx'-^r a->rax, y = ky" ->r b + bi, z = kz" -^ c -^ Ci,

o\x l'on a posé ,

ar,(i — A-) = ai, y^{i — k)==bi, 5,(i~A') = c,.

La comparaison des équations (2) et (3) donne

200 CHAl'ITRE XII.

Ce qui montre que l'on passe du point M' au point M" en faisant subir au premier point une translation déterminée.

CYLINDRES HOMOTHETIQUES.