SENS DE LA CONCAVITÉ D'UN ARC DE COURBE PLANE. POINTS D'INFLEXION

i. Définitions. — Soit {fig' i) TT' la tangente en un point A d'un arc de courbe BG5 nous supposerons que les deux arcs AB, AC soient situés de part et d'autre de la normale en A. Le plan est partagé par la tangente TT' en deux régions. Si les deux arcs AB, AG sont situés tous deux dans l'une de ces régions, nous dirons que l'arc BG tourne au point A sa concavité vers cette région. Si les deux arcs AB, AC sont situés de part et d'autre de la tangente TT' et

aussi de part et d'autre de la normale NAN', nous dirons que l'arc BG présente une inflexion au point A

2. Détermination du sens de la concavité d'un arc de courbe défini par des coordonnées rectilignes. — Supposons maintenant que l'arc BG fasse partie d'une courbe rapportée à deux axes Ox^ Oy {fig- 3) et que la tangente en A ne soit pas parallèle à Taxe des y. Soient ^01 jKo les coordonnées du point A; x. y celles d'un point M

NiEWENGLOWSKI. — G. an., II ' I

de l'arc considéré et yt l'ordonnée du point Q de la tangente en A qui a même abscisse que le point M.

Nous dirons que l'arc BC tourne au point A sa concavité vers les y positifs , s'il existe un nombre positif a tel que la différence y — j^n mesure algébrique du segment QM, soit positive pour toutes les valeurs de a; comprises entre Xq — a et ^0+ <^j si, dans les mêmes conditions, cette différence est négative, nous dirons que la concavité de l'arc BC est tournée, au point A, vers les y négatifs. Enfin, il y a inflexion, si la différences^ — yt a des signes contraires dans les deux intervalles de Xq — a à Xq, et de Xq à ûo^-i-a. Pour abréger, nous dirons que l'inflexion est ascendante si y — jKi est négative dans ce premier intervalle et positive dans le second 5 descendante dans le cas contraire.

Cela posé, soit y^ = aa; -h b l'équation de la tangente en A; posons u=y — yt, c'est-à-dire u^y — ax — b. Pour étudier la variation de la fonction «, étudions ses dérivées successives par rapport à x, en supposant que l'ordonnée y soit pourvue de dérivées successives, finies et continues pour toutes les valeurs de x appartenant à un intervalle comprenant :37o. OixA u'=y' — a; u"::=y" et, par conséquent,/? désignant un entier positif arbitraire : u^P+-^=y^P+^K Ainsi, à partir du second ordre, les dérivées de u sont identiques à celles dey. Supposons qu'il existe un nombre positif a tel que jk" conserve un signe invariable quand x varie de Xq — a k Xq et aussi quand x varie de Xq k x^-h a. Plusieurs cas sont à distinguer :

1° y">> o, dans l'intervalle de ^^o — a à â^o + a. Dans ce cas, on a u = o, u' =■ o pour X ^ Xq] et comme en outre m" est positive dans l'intervalle considéré, la fonction u passe par un minimum qui est égal à zéro ; elle est donc positive dans cet intervalle et, par suite, la concavité de l'arc BC est tournée, au point A, vers les y positifs; 2**j)/'<;o dans l'intervalle de Xq — a à Xq-\-o.. Alors u est maximum pour ^ = ^q et, par suite, négative dans cet intervalle; la concavité est donc alors tournée vers les^ négatifs;

3" y" a des signes contraires dans les deux intervalles consécutifs de Xa — a à ^0 et de a^o à ^0 H- ^c. Si y" passe du signe + au signe — , la dérivée première u' est alors négative dans chacun de ces inter-

CONCAVITÉ d'un ARC DE COURBE PLANE. 3

valles et, par suite, la fonction u est décroissante quand x varie depuis Xq — a jusqu'à jtq + a. Comme elle s'annule pour x^Xq^ elle est d'abord positive, puis négative. L'arc BG présente donc une inflexion descendante. On verra de même qu'il possède une inflexion ascendante si y" passe du signe — au signe +.

Supposons que le point A(.ro,yo) soit un point simple d'une courbe algébrique ayant pour équation f(^Xyy) = o, et supposons

fL^ o. La formule j/^ — ~ donne

Jy

J.v^ Jy "^Jxy * X Jy "+" / y^J x'

fi

Par suite, au point A, la dérivée j'" a une valeur finie et si j'" a des signes contraires dans les deux intervalles de .^o — a à Xq et de Xq à j^o + 3c, on a j;":^ o pour ^ = jTo-

Quand un arc de courbe algébrique présente une inflexion en un point simple, on dit que ce point simple est un point d' inflexion. Il résulte de là qu'en tout point d'inflexion d'une courbe algébrique où la tangente n'est pas parallèle à l'axe desj^, on a y" ■= o.

3. Pour connaître le signe de la fonction u, dans le voisinage du point A, c'est-à-dire pour les valeurs de :f appartenant à un intervalle (a^o — fx^x^-^y.) comprenant a?o, il suffit, en supposant que les dérivées de y soient finies pour X = Xo, de savoir quelle est la première de ces dérivées, d'ordre au moins égal à 2, qui ne s'annule pas pour x = Xq et de connaître le signe de cette dérivée. Supposons en effet que cette dérivée soit d'ordre jo(yo étant au moins égal à 1), et désignons, pour abréger, y par f{x). On a, pour

Û(/ ^^^ CCq -\~ tty

U —f(xQ-h h) — a{xçi-hh) — b, et, par conséquent,

a= -jfp{xo-^^h), o<8<i.

On peut supposer le nombre positif a assez petit pour que fP{xo-h^h) ait le signe defP{xo) quand h est compris entre — a et + a.

Donc, si p est pair, m a le signe (\efp(xo) dans le voisinage de A; si/> est impair, if change de signe quand 37 atteint et dépasse J^o- Supposons//'(a?o)>o. Si /? = 2/?', u a le signe -1- et la concavité est tournée vers les y positifs; si p = ip'-hJ, il y a inflexion, puisque u ayant le signe de h change de signe pour X = Xq. Lorsque p est pair et plus grand que 2, y" = o et cependant il n'y a pas d'inflexion; on dit alors que le point A est un point méplat.

En regardant h comme infiniment petit principal, QM est infiniment petit

d'ordre/). On dit que le contact de l'arc BG et de sa tangente en A est d'ordre jD^i. En un point d'inflexion le contact est au moins du second ordre.

4. Supposons que le point M décrive l'arc BG dans un sens tel que l'abscisse de ce point aille toujours en croissant, et menons par un point fixe, par exemple par l'origine des coordonnées, une parallèle 0/n à la tangente en M. Si pour toutes les valeurs de x comprises entre x^ — a et a^o-f- a, la dérivée seconde de y est positive, le coefficient angulaire y' de la tangente en M est une fonction croissante de x, et, par suite, quand x croît de x^ — a à a^o-l- a, la droite Om tourne dans le sens des rotations positives; c'est l'inverse quand on suppose ^"<o. Enfin, dans le cas d'un point d'inflexion, la droite Qnx tourne dans un sens déterminé quand x croît de x^ — a à a^o, puis rétrograde et tourne en sens contraire quand x croît de x^ à x^-^a.. Pour cette raison, la tangente en un point d'inflexion est appelée tangente stationnaire.