Exemples. — i° y ^= x^ — ^x
La courbe représentée par cette équation passe par l'origine, et la tangente en ce point a pour équation y -\- ^x ■= o. On a y'= Zx'^ — 4,J'=6a7; donc y" a le signe de x et, par suite, l'origine est un point d'inflexion.
Nous ne considérerons que la détermination réelle de j'; il lui correspond
un arc de courbe réel, passant par l'origine. Or, y'=lx '^ , y" = — |a; ^.
La première dérivée est infinie pour x = o; on ne peut donc appliquer la
théorie précédente. Mais on a x^= y^; par suite, -y- = Zy^, -j-r = Qty. On
en conclut que la concavité est tournée vers les x positifs quand j' > o, vers les a? négatifs sij'<o; l'origine est un point d'inflexion et la tangente es<:
l'axe des j^.
On tire de cette éqndition y =^ x'^ , y' —- jx^ ^ y" =^x '. La tangente à
l'origine est l'axe des x', y" est infini pour a: = o, mais, quand x croît en passant par zéro,^" passe du signe -H au signe — ; donc l'axe des x est une tangente d'inflexion.
6. Recherche des points d' inflexion dhine courbe algébrique. — So'il f{x, y) = o l'équation d'une courbe algébrique. En tout point d'inflexion {x^ y) d'une courbe algébrique, on ajK"= o, si l'on suppose que la tangente en ce point rencontre l'axe des y. En se rappelant l'expression de y" donnée plus haut, on voit que les coordonnées d'un tel point vérifient l'équation
CONCAVITÉ d'un ARC DE COURBE PLANE. 5
Si l'on suppose f'y=- o, comme on devra supposer alors f^ ^ o, les points d'inflexion vérifieront la condition x" ^ o, x" désignant la dérivée seconde de x par rapport ky. Mais cette nouvelle condition entraîne encore l'équation (i), qui est symétrique par rapport à x ety. Cette équation convient donc à tous les cas.
On reconnaît aisément que le premier membre de cette équation est égal, au signe près, au déterminant
yj' Jjcy J X fxy fy"^ Jy f. S'y o
Les points d'inflexion cherchés se trouvent donc parmi les points communs aux courbes représentées par les équations f= o, D = o.
Posons/(x,j,z) = jz'^f(^^, ^j, de sorte que /(J7, 7, i)^/(x,y),
et représentons par /^, /^, /l, /^'a, . . . , /V, les dérivées du premier et du second ordre de la fonction /(.r, j^, ^), dans lesquelles on pose 5=1.
Ajoutons aux éléments de la troisième colonne de D, multipliés par m — i, ceux de la première et de la deuxième, multipliés respectivement par — ^ et —y, nous obtiendrons, en tenant compte des identités d'Euler,
y •»' Jxy J xz
D(m-i)^ /^r fh f'yz
f'x fy r.-mf
En opérant de la même façon sur les lignes, nous obtenons
Par conséquent, si nous posons
/x» Jxy fa z
fxy fy^ Jyz
f'xz f'yz f'z^—m{m-
josons
/-r^ fxy f xz
fxy fy'^ fyz
f'xz f'yz fl^
l'équation D = o peut s'écrire : H — m{rn — ^) f{f'x'-f'y^ — fly) = o. Il en résulte que les points d'inflexion de la courbe y sont sur la
b CHAPITRE I.
courbe ajant pour équation H = o, et qu'on nomme la hessienne de la courbe donnée. La hessienne est du degré 3 m — 6, tandis que la courbe représentée par l'équalion D = o est du degré 3 m — 4- On voit aisément que la hessienne passe par tous les points multiples de la courbe donnée; car, si l'on suppose /= o, /^= o, fy= o, on en déduit D = o et, par suite aussi, H = o. La présence des points multiples diminue donc le nombre des points d'inflexion, et, dans tous les cas, ce nombre ne peut pas surpasser 3^(m — 2). 11 t^J faut encore remarquer qu'un point simple de la courbe y qui se trouve sur la hessienne de cette courbe n'est pas nécessairement un point d'inflexion; il peut être un point méplat; mais, dans ce qui suit, nous appellerons point d'inflexion tout point simple appartenant à la hessienne.
Il résulte de ce qui précède qu'une conique n'a pas de point d'inflexion.
Le calcul précédent conduit à l'identité j)^'^ .,3 «
7. Application : y'^ -\- x^ — x-=^ o. — On trouve H = — -i^x^y. La hessienne se décompose ; ^2 - q donne y z= o. On obtient ainsi l'origine, qui est un point multiple. Pour y = o^ on a x=^\\ la courbe proposée a donc un seul point d'inflexion, dont les coordonnées sont (i, o).
8. En tout point d'inflexion, la tangente coupe la courbe en un nombre de points confondus avec le point de contact, qui est égal à l'ordre de la première dérivée de y, d'ordre supérieur à 2, qui ne s'annule pas au point de contact, en supposant la tangente non parallèle à l'axe des y.
Supposons, en effet, que la courbe ait pour équation /(a?, y) = o. On a
àf àf , d-^f d'-f , d'-f „ „df
dx dy-^ ' dx^ dxdy-^ dy^ -^ -^ dy '
dxi dx'-dy-^ àxdy^-^ ' ày^-^ -^ \dx dy -^ à y^ -^ dy '
ce qu'on peut écrire symboliquement sous cette forme
P désignant un polynôme entier en x, y et y'.
CONCAVITÉ d'un ARC DE COURBE PLANE. 7
D'une manière générale, on obtient
Pi, P2, . . • , P/,-2 étant des polynômes entiers en x, j, et y', . . . , j(p-2) et le produit symbolique ( - — ^J't~) / devant être effectué en remplaçant un
terme tel que A (^-j .(^-j ^ /--../par A ^^^^^^^ • j P-'i-.
Pour justifier l'équation précédente, il suffit de la supposer vraie pour p = n, et de prouver qu'elle sera encore vraie pour p = n -hi.
Cela posé, soit^^ = ax ■+- b l'équation de la tangente au point M.{xq, jKo)- Si l'on pose ^(a?) ^/{x, ax -\- b), on a y' = a et les dérivées suivantes sont
nulles; d'où l'on déduit cpîp'(a7) = (— -h a—j /. Or si, pour x = Xq, on a
y — o,y" = o, . . ., y'^P-'^l = o, y^P'' ^ o, on en conclut ç(a?o) = 0, et, en vertu de (i), vf'ixo) = o, ffixa) = 0, . .., 9/^-1(370) = o, ^Pix^) 9^ o. Donc la tangente en M coupe la courbe proposée en p points confondus avec le point de contact.
Si l'on ne distingue pas les points méplats des points de visible inflexion, on peut dire, d'après cela, qu'un point d'inflexion est un point simple tel que la tangente en ce point coupe la courbe au moins en trois points confondus avec le point de contact.
9. Nous appliquerons le théorème précédent à la recherche des points d'inflexion d'une courbe algébrique dont on donne l'équation en coordonnées trilinéaires.
Soient x, y, z les coordonnées d'un point A appartenant à la courbe définie par l'équation f{x, y, z) — o, et soient X, Y, Z les coordonnées d'un point quelconque de la tangente en A.
Pour déterminer les points communs à la courbe et à sa tangente en A, nous allons, en employant une méthode qui nous a déjà servi plusieurs fois, étudier les racines de l'équation
(i) /{x-hlX,y-^lY,z-^lZ) = o.
Pour que le point (x -i-W, x -i-lY, z -\-lZ) se confonde avec le point A, il faut et il suffit que X = o; donc, pour que plus de deux des points communs à la courbe et à la tangente en A soient confondus avec le point A, il faut et il suffit que le coefficient de X^, dans l'équation (i), soit nul; car le terme constant et le coefficient de X sont supposés nuls. Nous devons donc poser
( 1 ) X2/;, -H Y-2/;, -H z^/;, + 2 XY/;^ + 2 yz/;, + 2 zx/;, = o.
Cette équation, qui représente une conique, doit être vérifiée par toutes les
solutions de l'équation
puisque la condition (a) doit être vérifiée par tous les points de la tangente en A. Il en résulte que cette conique doit se décomposer en deux droites, dont l'une sera la tangente en A; par conséquent, le discriminant du polynôme (2) doit être nul. Ce discriminant n'est autre que le hessien de f{x,y,z). On a donc, en tout point d'inflexion,
Réciproquement, si nous supposons cette condition remplie, la conique (2) se décompose en deux droites. Cherchons s'il peut se faire que le point de concours de ces deux droites soit le point A. Lorsque l'équation du second degré représente deux droites, les coordonnées du point de concours de ces droites vérifient les équations obtenues en égalant à zéro les dérivées du premier membre de l'équation. Or, si l'on exprime que les équations
( x/;. + Y/;^-i-z/L = o, (3) x/:;,.-Yy;, ^-Z/;',^o,
admettent la solution X = a7, Y=y, Z — z, on obtient les conditions fx = o,yy = o, f'~ = o, qui expriment que le point A est un point multiple. Nous supposons qu'il n'en soit pas ainsi; dans ce cas, le point de concours des deux droites est différent de A. Or, si ses coordonnées sont X, Y, Z, on déduit des équations (3), en les ajoutant membre à membre après multiplication par x, y, z respectivement,
le point de concours des deux droites est donc un point de la tangente autre que le point de contact. En outre, le point A est sur la courbe représentée par l'équation (2), car
fix + lx,y-^-\y, z-hX3) = (i-+- l)mf(x,y,z) = o;
donc, dans le développement de /(x -{-^x, y -i-\y, z -+-Xz) suivant les puissances de X par la formule de Taylor, tous les coefficients sont nuls identiquement, et en particulier {x f'.j.-^ yf'y-\- zf'-^i — o.
En résumé, la condition H = o exprime, quand le point A n'est pas un point multiple, que la conique (2) se décompose en deux droites, dont le point de concours, situé sur la tangente, diffère du point de contact, et, comme ce point de contact appartient à l'une de ces deux droites, celle-ci est la tangente en A, ce qui prouve que la condition (2) est remplie pour tout point de cette tangente. La tangente en A a donc plus de deux points,
CONCAVITÉ d'un ARC DE COURBE PLANE. 9
confondus avec A, communs avec la courbe donnée; en d'autres termes, le point A est un point d'inflexion.
On peut abréger le raisonnement précédent. Le point A est supposé un point simple de la courbe donnée : sa première polaire par rapport à la polaire conique de la courbe/, qui est précisément la conique (2), est la polaire rectiligne de A par rapport à /, c'est-à-dire la tangente en A. Mais la conique passe par A, donc cette conique est tangente en A à la courbe /; il en résulte que, si la conique se décompose en deux droites, la tangente en A sera l'une de ces droites, et comme la polaire de A est déterminée, le point de concours des deux droites est un point de la tangente autre que le point de contact.
Sens de la concavité d'un arc de courbe dont on donne l'équation
tangentielle.
10. Mettons l'équation d'une tangente non parallèle à l'axe des y sous
la forme aa; -t-j' -h w = o, et soit /(«, w) = o l'équation tangentielle de la
courbe donnée; nous regarderons w comme une fonction de u. L'abscisse du
point de contact de la tangente {u, w) est donnée parla formule x ■+- w'= o,
d'où l'on tire
dx „
du
Le coefficient angulaire de la tangente est égal à — u; donc ^^ = — u et,
dy' par suite, -4^ = — ij et enfin •^ du
dfx ] dx w"'
L'arc tangent à la droite {u, i, w) tournera donc sa concavité vers les
y positifs ou vers \ts y négatifs, suivant que l'on aura «»"> o ou w"< o.
f On peut calculer w"; en effet, w' = — ^> et ensuite, en procédant comme
on l'a déjà fait pour le calcul Ae y" , on obtient
5 étant le hessien de la fonction f{u,w) rendue homogène et [jl le degré de
11. Exemple. — La courbe ayant pour équation ponctuelle j' — x^=o a pour équation tangentielle
/\ u^ -+- '2y iv^ — o.
On tire de cette équation tv = , w — • Or u est toujours
négatif; donc la concavité est tournée du côté des y positifs en tous les
points pour lesquels west positif. Mais x— — w' — ; donc ces points
sont ceux qui ont leurs coordonnées x el y positives; en tous les autres, la concavité est tournée en sens contraire. Ces résultats se vérifient immédiatement.
EXERCICES
1. Trouver les points d'inflexion des courbes ayant pour équations y = sinx, y = cosa?, y = séca;, y = cosécar, y = tangir, y = cota?.
2. Trouver les points d'inflexion de la courbe ayant pour équation
x^-^ ax^y -t- bxy'^-\- cy^~\-y^= o.
