Si l'équation d'une courbe peut se mettre sous la forme

PQB...= P'Q'R'...,

P, Q, R, . . . , P', Q', R', ... étant des fonctions de a? et de jk telles que l'on puisse facilement construire les courbes définies par les équations P = o, Q = o, . . . , R' = o, . . . , ces courbes partagent le plan en régions dans lesquelles chacune des fonctions précédentes aura un signe déterminé. Pour que la courbe puisse avoir des points dans l'une de ces régions, il est nécessaire qu'en un point quelconque de cette région, les produits PQR... et P'Q'R'... aient le même signe. On exclura donc toutes les régions pour lesquelles cette condition ne sera pas remplie. On peut remarquer que les points communs aux courbes (P, P'), (P, Q'), (P', Q), . . . sont des points de la courbe considérée. L'exemple suivant, qui est très simple, donnera une idée suffisante de la méthode.

Proposons-nous de trouver et de construire le lieu des pieds des normales abaissées d'un point fixe sur toutes les coniques circonscrites à un rectangle donné. Prenons pour axes de coordonnées les parallèles aux côtés du rectangle, menées par son centre, et soient ia, ib les côtés de ce rectangle. Les coordonnées des sommets sont (a, b), {a, — b), ( — ci,b){ — a, — b). L'équation générale des coniques circonscrites à ce rectangle est

A(a72— a2) + G(jK2— 62) = o.

L'équation de la normale au point x, y est

Xx Cy

d'où, en écrivant que cette équation est vérifiée par les coordonnées a, P du point donné P,

a — X ^ — y A.X Oy

CONSTRUCTION DE COURBES EN COORDONNÉES RECTILIGNES. L'équation du lieu est donc

Les courbes séparatrices des l'égions sont définies par les équations

x=io, y = o, x"^ — «2=0, j'^ — 6^=0, X — a = o, y — P = o,

qui représentent les axes, les côtés des rectangles et les parallèles aux axes

menées par le point P. Pour fixer

les idées, supposons a > a et p > 6. Fi?- 79-

On reconnaît immédiatement les régions ne contenant aucun point du lieu ; nous les avons couvertes de hachures {fig- 79). On trouve un certain nombre de points de la courbe. Ce sont l'origine, les sommets du rectangle et les points de rencontre des côtés du rectangle avec les parallèles aux axes menés par le point P.

Gela étant, les deux axes sont des asymptotes simples; il en résulte que la courbe a un arc infini MN passant par B'; un arc infini asymptote à Oy du côté des y positifs et passant par D, B, 0, A', F' et asymptote à Ox. Mais, comme les points P, G, A, F font partie de la courbe, celle-ci a encore un arc fermé circonscrit au rectangle PGAF.

Exemples d'équations non résolues.