Construire la courbe ayant pour équation
(M. Vaschy, Examens de l'École Polytechnique. j
On voit que l'origine est un point simple; la tangente en ce point a pour équation •
quand a? tend vers zéro, une détermination de — tend vers — i, ce qui prouve
que X et y sont des infiniment petits de même ordre. Pour avoir le signe de x-it-y, remarquons que x'* est infiniment petit par rapport à^^j donc, en écrivant
Fie. 80.
94 CHAPITRE YII.
on voit que iv -{- y a le signe de^;^') c'est-à-dire celui de jk; l'origine est donc un point d'inflexion. La courbe n'a aucun point tel que l'on ait JK > o, X -hy < o. En outre, en écrivant
on détermine des régions dans lesquelles la courbe n'a évidemment aucun
point.
En prenant OA. = OB = OG = i, et menant les droites parallèles aux axes
par A, B, G, on détermine les frontières de ces régions; celles où ne se trouve aucun point de la courbe sont couvertes de hachures (/Iff. 80).
En outre, nous avons vu qu'il n'y a aucun point entre la demi-droite Oa?' et la tangente à l'origine. La courbe passe par les points 0, A, B, G, D, E, et, en outre, l'axe des y est une direction asymptotique, mais les branches infinies correspondantes sont paraboliques.
Ges indications ne suffiraient pas pour construire la courbe. Pour achever cette construction, nous poserons
et nous discuterons l'équation f(y) = 0 en regardant x comme un paramètre.
On a
les racines de l'équation dérivée sont donc
Pour appliquer le théorème de RoUe, nous formons le Tableau suivant Y-
f'iy)
— 30 croît — y: -^ x'* — X... décroît — -^ -^ x'* — x croît 4- 00
maximum. minimum.
Il s'agit d étudier les expressions — — -\- x^ — x et — - -^ x'* — x.
CONSTRUCTION DE COURBES EN COORDONNÉES RECTILIGNES
Posons
d'où
La dérivée u'j. ne s'annule que pour une seule valeur réelle, x = -^-r:' Nous pouvons dresser le Tableau suivant :
donc l'équation a = 0 a deux racines réelles a, p, telles que
Posons, en second lieu,
la dérivée est la même que celle de u; nous formerons le Tableau
L'équation p = o a donc deux racines réelles a', P', et l'on a
Marquons sur l'axe des x les points a', a, p, P', et menons par ces points des parallèles à l'axe des y. Marquons aussi le point ayant pour abscisse jt=»
Gela étant, on reconnaîtra aisément que x variant :
1° De — 00 à a', l'équation y(^) = o a une racine réelle négative;
2° De a' à o, deux racines positives, une négative ;
3" De o à a, une racine positive et deux négatives;
4° De a à p, une seule racine positive;
5° De p à I, deux racines négatives et une racine positive;
6" De I à P', deux racines positives et une négative;
7° De P' à + 00, une racine négative.
Au point correspondant à x = j—, la tangente est parallèle à l'axe des x.
La courbe a donc la forme indiquée sur la fiff. 80.
