La normale au point {oc^y) ayant pour équation
ou
y^-\- 'ipip — X)jK — 2/>2 Y = o,
l'enveloppe de la normale, c'est-à-dire la développée de la parabole,
a pour équation
En transportant l'origine au point A(/?, o), sans changer la direction des axes, celle équation devient
La forme est celle indiquée sur lay?^. 149.
Si l'on rapporte aux mêmes axes la parabole donnée, son équation sera
Y2 = 2y?XH-27?2.
a une racine double et une racine simple; la racine double est égale à — ^p
et la racine simple égale + 3/?. La corde commune X = — |/) ou a? = — —
est la directrice; aux points communs à la directrice et à la parabole, la développée et la parabole ont pour tangentes communes les droites isotropes issues de F, qui est un foyer commun aux deux courbes.
197. Noj^males issues d' un pointV [y.^ P). — L'hyperbole d'Apollonius relative au point P(a, [3) a pour équation
L'équation
ou
c'est une hyperbole équilatère dont le centre, qui a pour coordonnées X = c/. — yp, y=o, est sur l'axe de la parabole. L'une des asymptotes est l'axe de la parabole.
198. Discussion du nombre de normales réelles issues du point P. — Les ordonnées des pieds des normales issues du point (a, ^) sont les racines de l'équation
y^-\-'xp{p — a)r — a/?-^ = o.
Cette équation est du troisième degré; on ne peut donc mener par un point que trois normales à une parabole. L'hyperbole d'Apollonius a un point commun à l'intini avec la parabole, et trois points à distance finie.
La condition de réalité des racines de l'équation précédente étant
pour que l'on puisse mener par le point P trois normales réelles, il faut et il suffît que ce point se trouve par rapport à la développée dans la région du plan qui ne renferme pas le foyer de la parabole. Si le point P est sur la développée, deux des trois normales sont confondues ; enfin, si le point P est dans la même région que le foyer, on ne peut plus mener par ce point qu'une seule normale réelle.
199. Théorème de Joachimsthal. — Le cercle qui passe par les pieds des normales à une parabole issues d'un point P passe par le sommet de la parabole.
En effet, les coordonnées d'un point commun à la parabole et à l'hyperbole d'Apollonius relative au point P vérifient l'équation obtenue en multipliant le premier membre de l'équation de cette hyperbole parjK et remplaçante^- par ipx, ce qui donne
x^-k-{p — ct)x — i- y = o.
Or, cette équation définit une parabole dont l'axe est perpendiculaire à celui de la parabole donnée 5 les quatre points communs à ces deux paraboles sont sur le cercle
ce qui démontre la proposition.
Autre méthode. — Nous établirons d'abord cette proposition importante : Les pieds des normales menées par un point à une parabole sont les
sommets d'un triangle dont le centre de gravité est sur l'axe de la parabole et réciproquement, si le centre de gravité d'un triangle inscrit à une parabole est sur l'axe de cette courbe, les normales à la parabole menées par les sommets de ce triangle sont concourantes.
La première partie est évidente, puisque le coefficient de y"^ manque dans l'équation aux ordonnées des pieds des normales issues du peint (a, P). Pour établir la réciproque, remarquons que les ordonnées de trois points A, B, G situés sur la parabole et tels que le centre de gravité du triangle ABC soit sur l'axe de la parabole sont les racines d'une équation de la forme
Or, on peut toujours identifier cette équation avec l'équation aux pieds des normales issues d'un point inconnu (a, P); car il suffit de poser
Les normales aux points A, B, G concourent donc au point ayant pour
coordonnées
Gela étant, l'équation aux ordonnées des points communs à la parabole donnée et à un cercle quelconque
x-~hy^-+-ax-hby-\-c = o étant
y'' -h "i-pi^ip + a)y'^-\- ^p^by + \p^c = o,
en nommant^), j'î, ^3, yi^ les ordonnées des quatre points communs, on a
7l+JK2+J'3+JK4=0.
Réciproquement, si cette relation a lieu entre les ordonnées de quatre points Ml, M2, M3, M4 d'une parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet, ces quatre points sont sur un cercle, car soit M{y')\e, quatrième point commun à la parabole et au cercle passant par M], M2, M3, on a par hypothèse la relation précédente et en outre
y\+y'L-^yz+y'=o;
donc y' = yi, et, par suite. M' coïncide avec M4.
Gela posé, pour que les normales aux points Mj, Mj, M3 soient concourantes, il faut et il suffit que
ou, en vertu de la relation précédente, quej'4= o.
Le théorème de Joachimsthal est donc démontré ainsi que sa réciproque
que l'on peut énoncer ainsi : tout cercle, passant par le sommet d'une parabole, la coupe en trois autres points tels que les normales en ces points sont concourantes.
200. Relations entre le pôle normal et le pôle tangentiel d'une droite. — La polaire d'un point (a7i,jKi) a pour équation
yyv—p{x-\-x^) = 0,
réquation aux ordonnées des points de rencontre de cette droite avec la parabole est
7^— 2JJ'i+ 2/?^i = o.
Écrivons que les racines de cette équation vérifient l'équation
y^+ip{p — i)y — '>.p'^^ = 0.
Il suffit, pour qu'il en soit ainsi, qu'il existe un nombre X tel que
y^ ^ %p{p — <t) y — 1 p^^ ^ {y'' — lyyx-^ ip xO{y -^-'k).
On trouve immédiatement X = iy\. En égalant les coefficients de y et les termes constants, on a ensuite
p(p — ct)=pxi — -2yl,
/>? = — aariji.
201. Application. — Lieu des points d'où l'on peut mener à une parabole deux normales rectangulaires.
Les tangentes correspondantes étant rectangulaires, on a a:i = , d'où
l'on tire7i= p, ce qui est évident géométriquement. L'équation du lieu est la suivante :
p^-~pcc = -^-^^^-
ou
•2.32— jpa-f- lp^=o.
On arrive au même résultat en exprimant que l'équation
pm^ — 2m(x — p) -+- ly = o,
qui a pour racines les coefficients angulaires des normales issues du point (a?, j'), a deux racines dont le produit égale — 1; il suffit pour cela d'exprimer que le premier membre a un diviseur de la forme m^-h X/n — i. Pour cela, on divise le polynôme /J/n^ — im{x — p) -+- "xy par m^-\- \m — i, et l'on pousse l'opération jusqu'à ce qu'on arrive à un reste du premier degré en /n; on annule les deux coefficients de ce reste et l'on élimine X entre les deu3(. équations obtenues.
aSo
Remarque. — En appelant m, m', m" les trois racines de l'équation précédente, on a
Si m' m" = — I, on en conclut que m = -^- La réciproque n'est pas vraie,
car si m — -^, on a P
-^ (mm -4- i) = o.
Cette équation se décompose en deux : m'ni"-+-i = o ely = o. Donc, si
'2 y l'on écrit qu'une des racines de l'équation est égale à -^ ? on devra trouver
une solution étrangère^ = o; c'est ce qui arrive en effet, car on obtient l'équation
qui se décompose en j^ = o et
4^2 — -xpx -r- 3/)2 = o.
Parabole considérée comme limite d'ellipse ou d'hyperbole.
202. Considérons une ellipse et rapportons-la à son axe focal pris comme ligne des abscisses (^fig- i5o) et à la tangente en l'un des sommets de cet axe; supposons que l'abscisse de l'autre sommet
soit -\-ia\ l'équation de l'ellipse est
alors
(ty- , y-
IX r-
ih"-
Supposons que a augmente indéfini-
es
ment, mais que — i que l'on nomme le
paramètre, ait une limite lime/?, de sorte que — = aura pour
limite zéro. Considérons les points M, M' de l'ellipse ayant une ab-
scisse déterminée a (comme a grandit indéfiniment, nous pouvons supposer 2a>> a) ; l'ordonnée jk du point M a une limite [â définie par l'équation
et, par suite, les points M, M' tendent respectivement vers les points N, N' ayant pour abscisse a et appartenant à la parabole avant pour sommet le point O, pour axe Ox et pour paramètre p.
Il résulte de ce qui précède que, si l'on considère tous les points de l'ellipse variable représentée par l'équation (i) qui sont compris entre la tangente au sommet Oy et une parallèle DD' à cette tangente, ces points ont pour limites les points correspondants de la parabole représentée par l'équation y- — ipx = o. C'est dans ce sens qu'il faut entendre l'énoncé suivant :
La parabole est la limite d'une ellipse dont, un sommet d'un axe focal et la tangente en ce point restant fixes ^ les longueurs des deux axes grandissent indéfiniment, tandis que le parais ,. . ^ .
mètre — a une limite finie, a «^
On pourrait, de même, supposer que le sommet du petit axe et la
tangente en ce point restent fixes, que a et 6 augmentent indéfini-
ment, -r- ayant une limite finie.
On peut, de la même façon, regarder la parabole comme limite d'une hyperbole; en efl'et, rapportons l'hyperbole donnée à l'axe transverse et à la tangente en un sommet de cet axe {fig. i5i), l'axe des x étant orienté Fig. i5i.
de façon que l'autre sommet ait pour abscisse — aa; l'équation de la courbe devient
En supposant que a grandisse indéfinies . ,. .
ment, mais que — ait pour hmite/>, on voit,
comme plus haut, que l'ordonnée y d'un point aiyant pour abscisse a, a une limite ^ définie par l'équation
232 CHAPITKE XIII.
ce qui démontre la proposition. On peut remarquer que, si l'on appelle y el yt les ordonnées positives des points M et Mi de l'ellipse (i) ou de l'hyperbole (2) correspondant à l'abscisse a, on ayt ^ [i !>y- Considérons, par exemple, l'ellipse représentée par l'équation (i) et cherchons les limites des foyers réels de cette ellipse quand a
grandit indéfiniment, — ayant une limite finie />.
Les abscisses des foyers réels sont
x' — a — ^a^ — 62, x"=a-i-\/a^ — b^. bi 1 on pose — = ra, on a
\/a'^ — b^ = \/a''^ — TTsa ^ a 1 »
\ ayant une limite finie quand a croît indéfiniment. Or
, TU A „ TJT A
donc lima;'= — et x" grandit indéfiniment.
On peut remplacer la condition lim — =p par la condition que
la distance du foyer de l'ellipse au sommet le plus voisin ait pour
limite — • En effet, nous avons trouvé x' = - ; donc la condition
lim^'= — équivaut bien à limrn =/?.
Les propriétés de la parabole peuvent de cette façon se déduire des propriétés de l'ellipse ou de l'hyperbole. Ainsi, par exemple, l'équation
y = nix -f- /a^ jyi'i. ^ ^2
représente une tangente à l'ellipse; en transportant l'origine au point ( — «, o), cette équation devient
^ = mx — ma -+- \/ a^ni^-\- b^.
Or, si l'on pose b^ = n5a, on a comme plus haut
■ 7ÎT X
«2 /7j2 .-( HT a — ma =
- ajant pour limite o. Donc, on obtient, à la limite, l'équation de la
tangente à la parabole
p Y = mx -h -i—' i m
EXERCICES
1. D'un point A d'une parabole, on mène les normales AB, AG dont les pieds sont les points B et G; former l'équation de BG; trouver le lieu du point de rencontre de BG avec la tangente ou avec la normale en A, quand le point A décrit la parabole donnée.
2. On décrit un cercle sur une corde principale AB d'une parabole; ce cercle coupe la parabole en G et D; prouver que la distance des droites AB et GD est égale à 2/> et que le sommet de la parabole est le pôle de GD par rapport au cercle.
3. Mener d'un point une droite faisant avec la tangente en l'un des points où elle rencontre une parabole un angle donné. Prouver qu'il y a trois droites répondant à la question et que le cercle passant par les points de contact des tangentes correspondantes passe par l'extrémité du diamètre faisant avec la tangente à cette extrémité un angle égal à l'angle donné.
4. On mène d'un point P trois normales à une parabole; lieu du point P tel que la somme des carrés des cordes ayant pour extrémités les pieds de ces normales soit constante.
5. Lieu des points tels que deux des normales qui en sont issues aient des directions conjuguées par rapport à une conique donnée.
6. On considère une parabole : par son sommet 0 et par un point fixe A pris sur la tangente au sommet, on fait passer un cercle G : former l'équation de la seconde parabole P passant par leurs points communs : i° lieu du sommet de P; '1° lieu de son foyer; 3° on mène la tangente en O au cercle G : lieu du point de rencontre de cette tangente avec la parabole P; 4° 'ieu du point de rencontre de la tangente en O à la parabole P avec le cercle G; 5° lieu du point de rencontre de la normale en O à la parabole P avec le cercle G; 6° lieu du point de rencontre de cette normale avec le cercle G', symétrique de G par rapport à l'axe de la parabole donnée.
7. Trouver la plus petite corde normale à l'une de ses extrémités à une parabole.
8. Lieu des sommets des angles constants circonscrits à une parabole.
9. Lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point P sur les normales à une parabole. Gas où le point P est le foyer.
234 CHAPITRE XIY.
10. On mène une tangente à une parabole et, par les points où elle rencontre deux tangentes fixes, des parallèles à des directions données : lieu de leur point de rencontre.
11. Une parabole de grandeur invariable se meut en restant tangente à deux droites fixes; trouver le lieu d'un point lié invariablement à la parabole.
12. Lieu d'un point M tel que l'une des tangentes menées à une parabole par ce point fasse un angle donné a avec MF, F étant le foyer.
13. On mène par le sommet d'une parabole un cercle de rayon constant; lieu du point de concours des normales aux points d'intersection de ce cercle avec la parabole, autres que le sommet.
14. On considère une parabole P; par un point M et par le sommet de la parabole on fait passer un cercle mobile G qui rencontre la parabole en trois autres points A, B, G; les normales en ces points se coupent en un point N : 1° lieu de N; ce lieu est une droite A; 2° enveloppe de A quand le point M décrit une circonférence ayant son centre au sommet de P ; 3° lieu des points M pour lesquels A est tangente à la parabole ; 4° si l'on considère deux des points A, G, lieu des pôles de la corde correspondante.
15. Etendre à la parabole les propriétés relatives aux normales à l'ellipse proposées dans le Ghapitre XI.
16. Enveloppe de la corde commune à une parabole et à l'un de ses cercles osculateurs. Combien passe-t-il de ces droites par un point donné?
Ellipse.
203. Soient F et F' les foyers réels d'une ellipse, M un point quelconque pris dans le plan de cette ellipse. Si l'on pose MF = u, MF'= v, la condition
nécessaire et suffisante pour que le point M soit extérieur à l'ellipse est
ii -f- (^ > la.
La condition pour que le point M soit intérieur est
M -4- t^ < aa,
ia désignant le grand axe.
La démonstration géométrique n'offre aucune difficulté; nous renvoyons le lecteur aux Cours de Géométrie élémentaire.
En imitant la démonstration donnée n" 62, Tome I, on vérifie aisément que l'inégalité
entraîne
rt^ b-
204. Théorème. — La tangente en un point M d'une ellipse est également inclinée sur les rayons vecteurs du point de contact; dUine manière plus précise, la normale est la bissectrice de C angle FMF', F et F' désignant les foyers réels.
En effet, l'ellipse étant rapportée à ses axes de symétrie, soient x^y les coordonnées du point M et N le point où la normale en M rencontre le grand axe. On voit facilement que
FN=— -p, FN=îp',
p et p' désignant les rayons vecteurs MF, MF'. Le rapport -3=- étant négatif, le point N est situé entre les deux foyers; en outre, l'égalité
NF MF
FW ~ MF'
prouve que MN est la bissectrice de l'angle FMF'.
Remarque. — On vérifie que la tangente fait avec les rayons vecteurs des angles égaux et de signes contraires en remplaçant, dans la formule,
tangV = ;,
H- mm.
, — h^x . y y m par — , — j et m successivement par —^ — et —
20S. Corollaires. — i° Le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée d^ un foyer sur les tangentes à une ellipse est le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre ; 2° le lieu du symétrique d^un Joyer par rapport aux tangentes est le cercle ayant pour centre V autre foyer et pour rayon ia.
Démonstralion géométrique immédiate.
Démonstration analytique. — L'équation de la podaire relative au fojer (c, o) s'obtient en éliminant m entre les deux équations
(1) y = tn X -\- )J a'^ vi- ^ b"^ ,
(2) niy -\- X — c =: o.
On trouve
En transportant l'origine au foyer considéré, cette équation devient
ou
{x'^-\- y^){x^-\-y'^^ 1CX — 62) = o.
La podaire se décompose donc; on devait s'attendre à trouver les droites isotropes, puisque les tangentes issues d'un foyer se confondent avec les perpendiculaires qu'on leur mène par ce foyer; le cercle qui compose réellement la podaire, rapporté aux axes primitifs, a
pour équation
c'est le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre; on le nomme cercle principal.
Rembarque. — En écrivant ainsi les équations (i) et (2),
Y — nix = v^a2 m- -\- b- ,
my -\- X =■ c,
et faisant la somme des carrés, on obtient
La solution m'^-+- 1 = o donne
en supprimant m^-\-\, il reste
206. Le lieu du symétrique de F par rapport aux tangentes s'obtiendra en remplaçant x et y par -? — dans l'équation
ce qui donne ou
a"2-|-^2-f-4car — 4 62= o {x -\- c)2-i-jk2= 4a2.
Celte équation représente le cercle directeur de centre F'.
Il résulte de là que le lieu des points également distants d'un cercle et d' un point intérieur à ce cercle est une ellipse.
207. Problème. — Mener, par un point donné P, une tangente à une ellipse dont on connaît les foyers et le grand axe.
1° Le point P est sur l'ellipse, c'est-à-dire PF+ PF'= id\ dans ce cas, il suffît de joindre le point donné P à l'extrémité du rayon OM du cercle principal qui est parallèle à F'P et de même sens.
2° Le point P n'est pas sur l'ellipse.
Supposons le problème résolu {^fig. i52) et soit PM une tangente à l'ellipse donnée. Le point G, symétrique du foyer F par rapport à cette tangente, est sur le cercle directeur ayant pour centre F'; il est aussi sur le cercle décrit de P comme centre avec PF pour rayon. Je dis que réciproquement à tout point G commun à ces deux cercles correspond une tangente issue de P. En effet, remarquons d'abord que F'F=2C et F'G = 2a; donc F'F<;F'G, ce qui
prouve que F et F' sont d'un même côté de la perpendiculaire abaissée de P sur FG et qui passe au milieu de FG, tandis que G est de l'autre côté, d'où il résulte que cette perpendiculaire rencontre F'G en un point M situé entre F' et G et par conséquent tel que
F'M + MG = 2a; donc MF'+ MB' = 2a. Le point M est un point de l'ellipse donnée et PM étant la bissectrice de l'angle FMG est la tangente en M. Le problème a donc autant de solutions que les deux cercles que nous avons tracés ont de points communs. Or les conditions pour que ces deux cercles se coupent sont les suivantes :
2a<PF-+-PF', PF <PF'-i-2a, PF'<PF + 2a.
La première condition exprime que le point P doit être situé à V extérieur de l'ellipse donnée; je dis que cette condition est suffisante. En effet, supposons-la vérifiée et soit, pour fixer les idées : PF^PF'; la seconde inégalité est alors vérifiée; quant à la troisième, si le point P n'est pas sur l'axe focal, le triangle PFF' donne PF'<PF + 2C< PF H- 2a; et si le point P est sur l'axe focal, étant extérieur à l'ellipse, il ne sera pas entre F et F' et, par suite, on aura PF' — PF= ic, et, par conséquent, l'inégalité sera encore vérifiée. On voit enfin que, si le point M est sur l'ellipse, les deux cercles sont tangents et les deux tangentes se confondent en une seule.
208. Mener à une ellipse une tangente parallèle à une droite donnée. — Le symétrique d'un fojer par rapport à une tangente parallèle à la direction donnée est à l'intersection du cercle directeur ayant pour centre l'autre foyer et de la perpendiculaire à la direction donnée menée par le premier foyer. Ce cercle et celle perpendiculaire se coupent toujours en deux points, d'où l'on conclut que le problème est toujours possible et a deux solutions. On vérifie aisément que les points de contact des tangentes obtenues sont diamétralement opposés.
209. Problème. — Déterminer les points d' intersection d'une droite et d^ine ellipse dont on connaît les foyers et le grand axe.
Soil{fig. 1 53)Mun point commun à la droite A et à l'ellipse donnée. Le cercle qui a pour centre M et qui passe par un foyer F passe aussi par le symétrique G de ce foyer par rapport à A. Si l'on prolonge
Fie. i53.
F'M d'une longueur ML -.= MF, on a F'L = 2 a, et le cercle directeur de centre F' sera tangent en L au cercle précédent. Réciproquement, le centre de tout cercle passant par F et par G et tangent au cercle directeur de centre F' sera un point commun à l'ellipse et à la droite A; on est donc conduit à construire un cercle passant par deux points F et G et tangent au cercle directeur de centre F'. Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit, comme l'apprend la Géométrie élémentaire, que les points F et G soient dans une même région par rapport au cercle directeur considéré; le point F étant à l'intérieur de ce cercle, il faut et il suffît que G soit aussi à l'intérieur. Si le point G se trouve sur le cercle directeur, les deux points d'intersection de la droite A et de l'ellipse sont confondus, et cette droite est tangente à l'ellipse.
210. Théorème de Poncelet. — Les tangentes menées par un point extérieur P à une ellipse donnée sont également inclinées sur les rayons allant du point P aux deux foyers de l'ellipse.
Cette propriété est une conséquence immédiate de la propriété fondamentale de la tangente. Soient {Jig. i54) PM, PM' les tangentes issues du point P, G le symétrique de F par rapport à PM, G' le symétrique de F' par rapport à PM'. Les triangles PGF', PFG' sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux, ce qui démontre l'égalité des angles FPG', F'PG et, par suite, celle des angles FPG et F'PG' ou de leurs moitiés FPM, F'PM'.
On en déduit encore que si PM est tangente à l'ellipse donnée, et si l'angle F'PM' est égal à l'angle FPM, PM' est aussi tangente à cette ellipse.
Enfin les angles M'FP et MGP étant égaux, on en conclut immédiatement que FP est la bissectrice de l'angle MFM'.
NiEWENGLOWSKi. — G. an., II. i5*
24o CHAPITRE XIV.
II convient de remarquer encore que, si G] est le symétrique de F par rapport à PM', G et Gi appartenant au cercle directeur de centre F', la perpendiculaire élevée au milieu de GGj passe par P et F'; on en déduit aisément une nouvelle démonstration du théorème de Poncelet.
En appelant 6 l'anjïle MPM' et en posant PF ^ /■, PF'= r', on a
r^ -s^r'^ — H a2 cosO — — ■ -, -;
si G = 90°, on a donc r^-\- r''^ = ^a^. On retrouve ainsi que le lieu du sommet d'un angle droit circonscrit à une ellipse est un cercle.
Nous connaissons déjà une démonstration analytique du théorème de Poncelet; nous en donnerons une nouvelle, à titre d'exercice.
Soient m, m' les coefficients angulaires des tangentes issues du point P(iPo, yo), et soient [i. et [jl' les coefficients angulaires des deux droites PF et PF' respectivement. Il s'agit de prouver que
m — fi. iJ.' — m'
