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la relation à vérifier est rendue évidente.
On peut encore démontrer par le calcul d'une manière très simple que FP est la bissectrice de l'angle MFM' {/l^'- i54).
En nommant x, y les coordonnées de M, les paramètres directeurs de FM
X C y , ,„ , Xn — c Yo ,,
sont .,., et 7T7T et ceux de bP ont pour valeurs — j-r; — et ^^r:* Pai' conse- FM FM ' FP FP
quent
cos(FP, FM)= ^■"-'^if'-'^'^-'''; V ) / FM.FP '
en tenant compte de la relation — -^ + "—^ = i, on obtient
a — ■ — • cos(FP, FM) = — pp-^ = cos(FP, FM').
211. Théorème. — Deux tangentes fixes déterminent sur une tangente mobile d'une ellipse un segment vu de chaque joyer sous un angle constant.
Démonstration analytique au moyen de l'équation focale (I, 504); la démonstration géométrique est immédiate en s'appuyant sur le corollaire précédent.
212. Théorème. — Le produit des distances des deux foyers réels d'une ellipse à une tangente est constant et a pour mesure b^.
On le vérifie en calculant les distances des points (c, o) et ( — c, o) à une tangente définie par l'équation
y — mx -H )/a^in^-\- b-.
Démonstration géométrique simple en s'appuyant sur le théorème de Poncelet ou en considérant les distances d'un foyer à deux tangentes parallèles.
Hyperbole .
Les propriétés de l'ellipse que nous venons de rappeler s'appliquent à l'hyperbole avec de très légères modifications; nous nous contenterons d'énoncer celles qui se démontrent de la même manière.
213. En nommant u e\, v les distances d'un point M aux deux foyers réels d'une hyperbole dont l'axe transverse est égal à 2 a, la condition nécessaire et suffisante pour que le point M soit extérieur à V hyperbole est
\u — v\<, ia, et la condition nécessaire et suffisante pour que ce point soit in-
NlEWENGLOWSKI. — G. ait., II. i6
2/j2 CHAPITRE XIV.
térieur est
214. Théorème. — La tangente en un point M d'une hyperbole dont les foyers sont F et F' est la bissectrice de l'angle FMF'.
Corollaires. — i° Le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un foyer sur les tangentes est le cercle décrit sur l'axe transverse comme diamètre (cercle principal).
'1° Le lieu des symétriques d'un foyer par rapport aux tangentes est le cercle de rayon ia ayant pour centre le second foyer (cercle directeur).
Chaque branche d'une hyperbole est le lieu des points situés à égales distances du foyer intérieur à cette branche et du cercle directeur dont le centre est le second foyer.
3° Les asymptotes sont les perpendiculaires élevées au milieu des tangentes menées d'un foyer au cercle directeur correspondant à l'autre foyer.
215. Connaissant les foyers et la longueur de V axe transverse d'une hyperbole, mener à cette hyperbole une tangente passant par un point donné ou ayant une direction donnée.
Même construction que pour l'ellipse.
Si la direction de la tangente est donnée, il s'agit de trouver l'intersection du cercle directeur de centre F' et de la perpendiculaire à cette direction menée par le foyer F. Pour que ce problème soit possible, il faut que la parallèle à la direction donnée, menée par F', ne soit pas à l'intérieur de l'angle TF'T', T et ï' étant les points de contact des tangentes menées par F au cercle directeur dont F'est le centre; en d'autres termes, l'angle aigu que la direction donnée fait avec l'axe transverse doit être plus grand que celui que chaque asymptote fait avec cet axe; résultat connu. Si cette condition est remplie, le problème a deux solutions; il n'en a plus qu'une si la direction donnée est celle d'une asymptote, et c'est cette asymptote elle-même qui est la tangente cherchée.
216. Intersection d'une droite et d'une hyperbole. — Même solution que pour l'ellipse. Si l'on ne peut mener à l'hjperbole aucune tangente parallèle à la droite donnée, il y a deux points d'intersection, un sur chaque branche. 11 n'y en a qu'un seul si la droite donnée est parallèle à une asymptote. Enfin, si l'on peut mener des tangentes parallèles à la droite donnée, celle-ci ne doit pas être tracée entre ces deux tangentes, et alors il y a deux points communs à cette droite et à l'une des deux branches de l'hyperbole.
