Théorème de Poncelet. — Gomme pour l'ellipse

218. Le produit des distances des deux foyers à une tangente à l'hyperbole est constant et a pour valeur — b-.

On trouve ici le signe — , en faisant le calcul, parce que toute tangente coupe l'axe transverse en un point situé entre les foyers réels.

219. Application. — Lieu des foyers des coniques tangentes à quatre droites.

Soient

a ^ 37 cosa -f-^ sina — p = o,

6 ^ a; cos^ -f-^ sin j — yp' = o, c ^ X cosY -^y si" Y — P" = o, d^x coso -^ y sin8 — />'"= o

les équations des quatre droites données.

En considérant x^y comme les coordonnées de l'un des deux foyers d'une conique tangente à ces droites, les expressions a, 6, c, d représenteront les distances de ce foyer aux quatre droites dont il s'agit, et, en nommant ai, 6i, Cl, dx les valeurs que prennent a, 6, c, d lorsque l'on remplace x^y par les coordonnées a?i, ^i du second foyer de la conique, on aura

(i) aai = èè[ = cci = c?ûfi ;

d'où

a(a7i cosa -Hj'isina — /j) = b{xi cos^ -\-y\ sin^ —

b{Xi cosP -+-/i sin ^ — p' ) = c{xi cosy -+- /i siny — p' c{xi cosY ■+- y\ siny — p") = d{xi cosS -\- yi sinS — p")

L'élimination de x\ tly\ entre ces trois équations conduit à l'équation cherchée. (Cette solution, doané3 par M. G. Lippraann, l'éminent physicien, au-

jourd'hui professeur à la Sorbonne, est extraite des Nouvelles Annales, t. VI, 2* série; 1867.)

Autre calcul, — H y a, entre «i, ôj, Cj, di, une relation linéaire et homogène

A «1 -t- B 61 + C Cl + D (il = o ;

donc l'équation du lieu est

Cette équation représente une cubique.

Cette solution élégante est due au professeur Salmon.

Parabole.

220. En regardant la parabole comme limite d'ellipse ou d'hyperbole, on peut trouver aisément les propriétés focales de la parabole.

Ainsi, par exemple, la tangente en un point d'une ellipse fait des angjes égaux avec les rayons vecteurs 5 l'un des foyers F' s'éloignant indéfiniment dans la direction de l'axe focal, le rayon MF' devient la parallèle à l'axe de la parabole menée par M : donc une tangente à la parabole fait des angles égaux avec le rayon vecteur du point de contact et avec l'axe. Le théorème de Poncelet se conserve de même en remplaçant l'un des rayons vecteurs issus du point de concours P de deux tangentes, par la parallèle à l'axe menée par P.

Mais il convient d'établir ces propositions directement. \

Nous rappellerons d'abord que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un point soit extérieur à une parabole est la suivante : Si l'on nomme u sa distance au foyer et v sa distance à la directrice, il faut et il suffit que l'on ait m > p, et pour qu'un point soit intérieur, il faut et il suffit que l'on ait u <iv.

La démonstration géométrique est facile et bien connue.

La vérification par le calcul ne présente aucune difficulté, pourvu que l'on ait soin de poser p— — {x-\--\ quand on suppose x <.— ~ et v ^^ x -^ —

si a: > — — •