CHAPITRE PREMIER
I NTRODUCTION.
SoHMiiM. — Prtg'aclioiu, — CoordotmétiearUiiinnet; toordonniti putairti tl ipUrigneê, — TroMformùOoH de* eoordoimdn. ~ Interpritalion iU$ iqmtiant «n m, y, z; elaui/teaUim Am turfatei.
1. Noos tTODs ilëmoatré, dans la géométrie plaoe, les formules relalives aux projectioDS de droites sur un axe dans un plan; nous alIuDS étendre ces formules au cas où les droites ne sont plus dans un mime plan avec l'aie de projection.
Soil AB une droite de longueur donnée, et XX' l'axe de projection; menons par les poinls Aet B des perpendiculaires sur XX' : la distance ab comprise entre les pieds de ces perpendiculaires est la protection ortAojoiiaJe de la droite donnée sur l'axe XX'.
Si on mène par le point B un plan P perpendiculaire i l'axe, et par le point A une '*' parallèle k XX' Jusqu'à sa rencontre en C avec P, les droites CB et C&
seront perpendiculaires à ÂC, et le triangle rectangle AGB donnera
ÂC = AB cos BAC.
Posons: p=>XC = ab; AB=3a, et BAC = a; on aura
(i) p = a cos a.
Donc, la projection orthogonale d'une droite de l'espace iur un axe est égale au produit de cette droite par le cosinus de l'angle qu'elle fait avec taxe. Lorsqu'on parcoure la droite en allant de A vers B, il faut prendre, pour Fangle a, celui qu'elle fait avec une parallèle à Taxe menée par le point A dans le sens de l'axe positif; si la droite est parcourue de B vers A, il faut mener la parallèle par le point B dans le même sens; l'angle a est alors obtus et la projection est négative. Le produit a cos a. représentera toujours en valeur absolue et en signe la projection de la droite donnée.
On démontrera, comme en géométrie plane, que la somme algébrique des projections orthogonales des côtés d'un polygone fermé sur un axe quelconque est nulle. Lorsqu'on a plusieurs droites consécutives formant un contour polygonal, on appelle ligne résultante^ celle qui ferme le contour. Soient a, 6, e, etc., les côtés et l la résultante; a, (3, y .... A les angles de ces lignes arec l'axe positif de projection; on aura pour le polygone fermé
acosa-\'bcosp-\- *'••'{' l cos l = o.
On en déduit
a cos a -|- 6 cos (3 + •••• = — /cos A.
Or, si on regarde / comme la résultante du contour, sa projection s'obtient en la parcourant dans le sens opposé à celui suivant lequel elle est parcourue, lorsqu'elle fait partie du polygone fermé; le produit — /cos X représente la projection de la résultante, et le théorème précédent peut s'énoncer d'une autre manière souvent plus facile dans les applications : La somme algébrique des projections de plusieurs droites consécutives sur un axe est égale à la projection de la ligne réstUtante. Il s'ensuit que cette somme sera maximum, si l'axe de projection est parallèle à la résultante, et nulle, si l'axe est perpendiculaire à cette droite.
S. La tomme des earrit dea projection» tf une droite lur trois axes rectangulaires ett égale au carri de celte droite.
Soient troii droites rectangulaires OX, OY, OZ issues d'uo même point 0, et OH la droite donnée. Les projections de OM sur les axes seront les arêtes OA, OB, OC du parallélipipède obtenu, en menant par le point M des plans parallèles b ceux des droites fixes. On aura
ÔM* — ^* + MD* — ÔÂ' + ÂD* + MD*.
et, finalemenl,
(a) trf+ÔB'+Ôc'=ÔM*. "'■''
CoiOLLUBB. La somme des earrés des connus dei angles d'une droite
avec trois axes recUmgutaires ett égale à l'unité. En effet, si on désigne
par a, ^, y les angles HOX, HOT, HOZ, on a, d'après la formule (i),
OA = OHcosa, OB^^OMcosp, OC^OHcos}'.
En substituant dans l'équation (2),et supprimant le facteur OM ,il vient
(3) cos' « -|- cos* P -]- cos* y = 1 . La relation correspondante arec les sinus des angles serait sin* a + sin* P -\- sin' j- = 2.
S. La tomme des carrés des projeetiont d'une droite sur troii pUms rectatyulaires ett égale au double du carré de cette droite.
Les projections de OH sur les plans rectangulaires XOY, YOZ, XOZ sont les droites OD,0E,0P. Les triangles de la figure donnent les relalioas
ÔD*=ÔM*— MD', Ôf' =. ÔM* — MF*. ÔË' =- Ôm' — ME*, et, en ajoutant membre k membre, il vient
ÔF+Ôp' + ÔË^^sÔM*— (MD'+MF' + MË*). Hais,
MD' + BF' + MË* =ÔC* +ÔB' 4-05' = Ôm'; donc, l'équation précédente se réduit k
(4) ÔD* +Ôf' +ÔË' = 2OM*.
CoEOLLiiHB. La somme des carrés des sinus des angles d'une droite avec trois plans rectangulaires est égale à Vunifé. Car, a, 6, c, étant ces angles, on aura : OD = OM cos a, OF "■ OM cos 6, OE = OH cos c ; en sobstitaant ces valeurs dans la dernière relation, on trouve
cos* a -f- cos* 6 + cos* c c= 2, ou bien,
(5) sin* a -|- sin* 6 -|- sin* c = i .
4. Le cosinus de l'angle de deux droites est égal à la somme des produits deux à deux des cosinus des angles de ces droites avec trois axes rectangulaires.
Soient OM et OM' {fig. 2) deux droites qui font respectivement avec les axes les angles «, P, y; a', jS', -/. Posons : p = OA, g = AD, r = DM,
OMss/; projetons ensuite le contour p-*]-f-f~'* ^^^^ ^ résultante sur OM'. On aura
(k) / cos S = p cos a' -(- 9 cos |3' -f- r cos )/ ,
0 étant Tangle des droites. Mais, p «= / cos a; ç = / cos |3; r *= / cos y : l'équation précédente deviendra après la substitution de ces valeurs
(6) cos 8 = cos a cos a' -|- cos |3 cos jS' -j- cos y cos /.
Si les deux droites étaient perpendiculaires, on aurait
cos a cos a' -f- cos (3 cos |3' -f- cos y cos y' = o. ' La relation (6) donne pour le sinus de l'angle des droites
sin* 9 = 1 — (cos a cos a' + cos P cos (3' -|- cos y cos y')' = (cos* a -{- cos* (3 -f- cos* y) (cos* a'-|- cos* (3' -(- cos* y') — (cos a cos a' -f- cos jS cos |3' -|- cos y cos y' )* . D'où Pon déduit
sin6=|/(cosacos^' — cosa'cos|3)*-|-(cosacosy' — cosa'cosy)*-|-(cosPcosy' — cosP'cosy)*
Remarque. — L'équation {k) est la traduction d'une règle très-utile : elle exprime que, pour obtenir la projection d'une droite / sur une autre, on peut d'abord la projeter sur trois axes rectangulaires, ce qui donne les projections p, 9^ r; on projette ensuite celles-ci sur la droite et on
fait la somme algébrique de ces nouvelles projections : cette somme sera la projection de la droite / sur la seconde.
ft. Projections obliques. Supposons» dans la fig. 2, que les axes soient obliques, et désignons par A, fi, v les angles YOZ, XOZ, XOY. La projection du contour p-^-q + r avec sa résultante / sur les l%nes OA, AD, DM , MO et OM' conduit aux relations suivantes :
p + y cos V + r cos /i = / cos a, pcosv'\-q'^rcos},=^lco8^f p cos fi 4' 9 ^s ^ +*■ = ' cos y, p cos a 4~ 7 cos j3+ rcos y = /, p cos a'+ q cos ^'-{-rcos /= l cos 8.
En éliminant p, y, r, / entre les quatre premières égalités, on trouve
I, cos y, cosjx, cos a == o, cosv, I, cos A, cos^, cos|ui, cos A, ï, cos y, cos a, cosjS, cos y, i
ou, en développant,
(i— cos'A)cos*a+(i — cos*fx)cos*l34-(i — cos' v) cos* y— a (cos A — cosvcosfi)cosPcosy
— 2 (cos fjL — cos y cos A) cos a cos y — 2 (cos v — cos fx cos A) cos a cos |3
== I — cos* A — cos* fx — cos* V -f- ^ cos A cos fA cos V.
Telle est la relation qui existe entre les cosinus des angles d'une droite avec trois axes obliques; elle se réduit & l'équation (3) si cos A = cos f6 =s cos V = o.
Si on élimine p, f , / entre les équations (a), (6), (c), (é), il vient, pour déterminer Fangle des deux droites, la relation
I cosv cosfA cos a cosv I cos A cos|3 cosfA cos A I cos y cos a' cos ^' cos y' cos 6
On en déduit, en déTeloppaot,
(l — C08' i — COS'f/ — GOS* V + 3 COS A COS fl COS v) «M 0 ï=(l — CO8*A)cOS«C0Sa'+(l — COsV)«>8PcO*P'+(l— «»'v)cC9jfC0ly'
— (cos X — COS V COS ft) (cos |3 cos y* ~|- COS ^ COS }>)
— (CO! (X — COS A C(u v) (cos y COS a' 4" «» y' COS «)
— (cos V — cos fA cos Xf (cos « coB p' -|- cos a'co» P).
En posant cos X = cos fi = cos v = o, on relrouTC la formule (6) qui a lieu pour des axes rectangulaires.
BdGd, si dans l'équation (d) on remplace cos a, cos P, coa y par leurs valeurs tirées des trois premiércR égalités, on trouve
c'est la relation qui exprime I* en fonction des projections obliquu de cette droite sur les axes.
•. Prqjectûtn d'une aire plane. ConsidéroDS d'abord un trùogle ACB à projeter sur un plan P. Ou peut toujours mener par l'un de ses sommets et dans le plan du triangle une droite parallèle au plan P; elle le décomposera en deux antres ayant une base commune parallèle i ce plan. Il nous suffit donc, pour déterminer la projection d'un triangle quelconque sur un plan donné, de considérer un triangle dont la base est I parallèle à ce plan. Soit ABC (fig. 3) un I triangle dont la base AB est parallèle au
plan P; abaissons des sommets des perpen-
"*' diculaires sur le plan de projection : le
triangle alte formé. par les pieds des perpendiculaires sera la projection de l'aire donnée sur le plan P. Les triangles ABC et abc ayant des bases égales, sont entre eux comme les hauteurs OH etck; mais, si on mène par le point H une parallèle k ch, elle sera perpendiculaire à AB, et fera avec CB un angle égal à celui des deux plans. En désignant cet angle par 7, on aura
abc ck CH cas <p âbc^ch'^ ch =*"'*?> d'où
<Jic =m ABC cos f.
Si l'aire donnée est polygonale, on peut la partager en différents triangles T» T', V , dont les projections seront données par les formules
t = Tcos(pf <'=:T'cos(p, «" = T"cos9,
et, par suite,
I -j- 1' -| r -|- ... = (T -f. r + T" + ...) cos ?, ou bien,
p =s P cos 9,
p est la projection, et P l'aire polygonale.
Enfin, si l'aire donnée est limitée par une ligne courbe, on lui inscrira un polygone pour lequel la formule précédente aura lieu quel que soit le nombre des côtés; elle sera encore vraie à la limite, c*est-i-dire pour la surface curviligne. Soit S celle-ci, et s sa projection; on aura s = S cos 9. Donc» la projection d'une aire plane quelconque sur un plan est égale d cette aire multipliée par le cosinus de Vangle qu'elle fait avec le plan de projection.
Remabqub I. Si on désigne par a, |3, y les angles d'une aire plane S avec trois plans rectangulaires, et par p, 9, r ses projections, on aura
p = S cos a, ç = S cos P, r = S cos y.
En élevant au carré, et ajoutant, on trouve
pt4-gi-}-r« = S*;
car, cos' a -\- cos* |3 -f- cos' y = i, les angles a, |3, y étant les mêmes que ceux d'une perpendiculaire au plan avec trois droites rectangulaires.
Remarque II. Soit un plan P' faisant avec S un angle 6, et avec les trois plans rectangulaires, les angles a' ^' y\ L'angle 0 est égal i celui des normales menées d'un point i ces plans ; on peut écrire
cos 9 = cos a cos a' + cos (3 cos |3' -\- cos y cos y'.
Si on multiplie les deux membres par S, il vient
S cos 6 = p cos a' + ç cos /3' + r cos /.
Donc, la projection de S sur le plan P' peut s'obtenir en projetant sur ce plan ses projections sur trois plans rectangulaire, et en faisant la somme de ces nouvelles projections*
% 2. COORDONRÉBS.
7. Dans un plan, chaque point est détermÎD^ par Ees distances parallèles ou orthogonales i deux drolLes fixes. Pour la déterœinaiioD d'un point de l'espace, on prend préalablement trois plans fixes indéfinis qui se coupent en un certain point O, et qui se rencontrent deux à deux suivant trois droites XX', YY', ZZ'. I-es coùrdonnées cartésiennes d'un point H de l'espace, sont ses distances aux plans fixes comptées parallèlement aux lignes XX', YY', ZZ'. Afin de les déterminer, menons par le point H des plans parallèles k XOY, XOZ, YOZ; ils fonneroat par leurs rencontres avec les premiers, no parallëlipipède dans lequel les arêtes MP, HQ, HR sont les distances du point H aux plans fixes. Hais, d'après la figure, on a évidemment MR = PB = OA; HQ = AP = OB; MP = BB = OC; **' ** ce sont ordinairement les longueurs OA, OB,
OC situées sur les droites fixes que l'on prend pour les coordonnées du point. On les représente par les lettres x, y, z, et on écrit : x = OA, y = OB, z = OC.
Il résulte de cette définition, qu'un point de l'espace étant donné, sea coordonnées sont complètement déterminées; mais, si on donne trois longueurs OA, OB, OC comme étant les coordonnées d'un point, et si on veut trouver sa position, il faut porter sur les droites fixes à partir du point O les lignes OA, OB, OC, et, par leurs extrémités, mener des plans parallèles aux plans fixes. Or, comme rien n'indique dans quel sens il faut porter ees longueurs, le point correspondant pourrait se trouver indifféremment dans l'un des huit angles trièdres formés autour du point 0 par les plans fixes. Pour faire disparaître toute indétermination, on adopte la convention suivante : les coordonnées x, y, z sont regardées comme positives, lorsqu'elles sont comptées sur les axes OX, OY et OZ, et comme négatives, si elles sont comptées suivant les directions contraires OX', OY', OZ'. Cette règle indique dans que) sens il faut porter les coordonnées OA, OB, OC, et par suite, il n'y aura plus qu'un seul point
Dansr
angle
irièdre OXYZ»
