OX'Y'Z

de l'espace qui correspondra & un système de valeurs positives ou nëgatives des coordonnées x, y, z. En désignant par a, 6, e les distances absolues OA, OB, OC, les signes des coordonnées du point H pour une position quelconque seront données par le tableau suivant :

xs= — a, y«= — 6, z = — e.

Le système de coordonnées que nous venons de définir est le système des coordonnées obUquêM. Lorsque les plans fixes sont perpendiculaires, les coordonnées sont dites reeton^tilatres; dans ce système, les coordonnées sont les distances orthogonales du point aux plans fixes, ou les projections orthogonales du rayon OM sur les droites fixes.

Les plans fixes XOY, XOZ, YOZ se nomment les plans des coordonnées ou simplement plans coordonnés} le premier est dit le plan des xy, le second le plan des xz^ et le troisième le plan des yz. Les droites fixes XX% YY' ZZ' sont les axes coordonnés; la première est l'axe des x, la seconde Taxe des y, et la troisième l'axe des z. Le point 0 est l'orgine des coordonnées ou simplement Vorigine,

Remarque I. Les coordonnées x, y, z sont variables avec la position du point M; elles peuvent prendre toutes les valeurs comprises entre — 00 et -|- 00 . Un point situé dans l'un des plans coordonnés a toujours une coordonnée qui est nulle. Ainsi {fig. 4)

Pour le point P, x s» a, y = b, je = o; » Q, x«a, y = o, z = c;

Deux coordonnées sont égales k zéro pour un point appartenant à l'un des axes. Ainsi {fig. 4), on a

Pour le point A, x = a, y = o, z=oy » B, x = o, y = 6, z==o;

L'orgiafl ut le seul point de l'eipace où les trois coordonna sont nulles.

RpuiQCi 11. Pour obtenir le contour polygonal renfermant les coordonnées d'un point en grandeur et en signe, on mène (fig. i) par ce point une parallèle k l'axe des z, et, par le point de rencontre P avec le plan des xy, une parallèle k l'axe des y ; la ligne polygonale OAPH renfermera les trois coordonnées. D'après cette construction, il est visible que la coordonnée^ sera positive ou négaUve, suivant que le point H est & droite on k gauche du plan YOZ; la coordoouée y est positive ou négative, suivant que le point H est avant ou derrière le plan XOZ; enfin, la coordonnée z est positive ou négative, suivant que le point M est au-dessus ou au-dessous du plan XOY.

RuiBQSE III. Les points P, Q, R sont les projections du point H sur les plans coordonnés; les coordonnées « et y sont les mêmes pour les points H et P; en général, un point de l'espace a toujours deux coordonnées communes avec sa projection sur l'un des plant coordonnés.

S. Trouvtr Uê eoordonnitt du point qui divùe un segment dont un rapport donné.

Soit AB un segment donné, et C un point tel AC m

Représentons par x*, y', z'; x", y'\ t" les coordonnées des points A et B, et par x, y, z celles du point C. Si on projette A, C, B sur le plan des xy suivant A', C, B', il est évident qae l'on aura les égalités

AC A'C m "••'• CH~CB'~tt '

D'un autre cAté, les coordonnées x etydu point C étant les mêmes qae celles du point C, on doit avoir

mx"-)-wx' iny" + «y'

*"" m-J-» *~ m-l-ii En projetant les points A, C, B sur le plan des yz, on trouverait ausai wy" -f- ny' mï"-|- nz'

" m -I- tt *n-4- ff

Posons A =— ; les coordonnées du point C seront

Dans le cas où le point de division serait sur le prolongement de AB, il faudrait changer le signe de A dans ces formules. En regardant les segments comme ^positifs ou négatifs suivant qu'ils sont dirigés dans un sens ou dans le sens opposé, les formules (i) donneront les coordonnées du point de division où A représente le rapport positif ou négatif des deux segments qu'il détermine. Pour le point milieu de AB, on aurait

Ex. 1. Trouver les coordonnées du point qui divise dans le rapport de 3 à z, la droite qui réunit le sommet d*un tétraèdre au centre de gravité de la base opposée.

Soient (a^iyt'i)» ('tVi^i)* («syi^s)> («4^4^4)1 les coordonnées des sommets d*an tétraèdre 1234. Les coordonnées du centre de gravité de la face 254 sont

ai+«» + *« y% + yi + yi ii + ^iH-^-i

xs^ ! : f y = 9 z=. •

Celles du point demandé seront de la forme

»i-|-aPi + «8 + «4 yt + Vt+y^ + yi ^ *i-*-«i + *» + «4

Ex. t. Les droites qui joignent les milieux des arêtes opposées d*un tétraèdre se coupent en un point qui a pour coordonnées les expressions (a) de Tex. i.

Ex. S. On a un système de m points Pi, F,, Ps*... dans Tespace; on divisa la distance Pi Pi en deux parties égales par le point Ai ; on joint ce dernier au point Ps et on divise la droite PsAs en trois parties égales. Soit Ai le point de division voisin du point Al ; on joint de nouveau ce point avec P4 et on divise AflP4 en quatre parties égales, etc.; trouver les coordonnées du dernier point ainsi construit.

af,4-»,-f ...-♦- af|» Vt + yi ■+-••• + y» »i-f ifi + — + :»«i

Ex. 4. JËtant donné le même système de points, 00 prend sur PiPt un point G tel

que-^ = —; sur CP,, un point C» tel que 7777-= T — i *"' ^Ai ^

i.i'i mi LjPs fWt -|- fiit

ce m

point Cl tel quer7^= ^ ; et ainsi de suite. Les coordonnées du point

Lir4 fîii + nii -j- wij

ainsi obtenu seront

I x^^ " « y ""* 9 z ss I ^^■^— •

»i| -|- wii -f- ••• -|" ^m w»i "h •• • "h "*«» *•! "h ••• H" *'*iii

— iî -

•■ TVowver l'espramn de ta ditiance de deux points donnée.

Soient (fig,6) M' {x'y'x% M" {cc"y"z") les points donnes; i par chacun d'eui des plans parallèles eux plans fixes ; on formera un parallëlipipide dont Mil" est une diagonale, et en désîgnantparj),f,r les arêtes, on aura arec des axes rectrangulaires

Hais, le calé p est II différence des distances des points au plan desjz, et ,par suite, p-^x" — x'; de même ç=y" — y',r=2" — z'. En posant M'M"=d, il vient pour la formule cherchrie

(,) «•(."-«')'+(j,"rt-+(,"^'.

On en déduit pour la distance d'un point M' (x'^z') à l'origine

Lorsque les axes sont obliques et font entre

enx tes «ngles X, (i, v, on doit prendre la formule

M'M"'s=p' + 9' + r» + 29rcoB X + 2»7»cosfi + 2p5cosw

qui devient, en remplaçant p, 9, r par les différences x" — x',y" — y*,

(3) a- = (X" -xr+(y"-yT+(^"-^T+2{y"-y') (z" - «') m X

+ 2 (x"— xO («" —2') cog (* 4- 2 (i" — se') (y" —y') cos v. En posant x" = y" ■= z" = o, on aura, pour la distance d'un point H' (x'y'z') i l'origine,

a* — x'* + y" + x" + ay'2' cos X + 2x'z' cos fx + 2x'y' cos v. El. 1. Exprimer qae le point H(i, y, >) eit i lue diïUnee ^gtle ■ 3 du point (3> - I. I)

Ez. I, Trouver le centre de le ipliire qui ptiM per les poiols (o, o, o), (o, 3, o), (r.o, o).(o,o,3).

llbalrAondreleiéqiielioos

"■ + ir' + (»-ï'=- + 0r-2)' + ''i

— iZ —

Ex. 8. La dîitanee da sommet d'an tétraidre aa point de coneoan des droites qni passent par les milieux des c6tés. Tant les */4 de la dîstanee de ce sommet an eentre de ipravité de la base.

Un appelant 2 et D ces distances, on a

M ( «t + gt + gs + giV , ^ . ^ ,

B'oûPon tireS=:^D.

Sx. 4. TrouTor les coordonnées d'an point sitaé à égale distance des peiqts (I, - 1, 2), (— 1, 1, 3)*

Il 7 a ane infinité de points qai répondent à la question^ leurs coordonnées satisfont \ réquation 4* — 4y — 2^ + 5 = 0.

m. CowionniM polaires. Un point quelconque M de l'espaee est complètement déterminé, si on connaît sa distance p = OM & l'origine, ainsi que les angles a, (3, y du rayon OM avec les axes. Les quantités P» Af j3* y sont les coordonnées polaires de ce point; elles sont liées par la relation eos*a-\-cos*^-\-eos*y = it et, par suite, la valeur de l'un des angles est une conséquence des deux autres. En désignant par x, y, z les coordonnées rectangulaires du point M ou les projections du rayon vecteur sur les axes, on aura pour les formules de transformation

dc =1 p cos a, y = p cos |3, z = p cos }^.

La distance entre deux points donnés (^ cl' ^' /), (p^' a" p' y") aura pour expression dans ce système de coordonnées

d« = p't ^ p'^t 2p' p'' cos (p' p").

Elle se déduit de la formule (2) en posant x' ^^ p' cos a', y' =» p' cos |3% x'ssp'cosj/y x" s=> p'' cos a'', etc., en se rappelant que l'angle des rayons vecteurs a pour valeur

cos (p' p") =3 cos a' cos a" -|- cos P' cos P" -f- «os / cos j/'.

It. Coordonnées sphiriques. Dans ce système, on prend préalablement {fig. 7) un point fixe 0, une droite ZZ' passant par ce point et un plan fixe ZOX mené par la droite ZZ'. Soit M un point de l'espace, p le rayon vecteur OM, 6 l'angle MOZ et f l'angle que fait un plan mené par OZ et le point M avec le plan ZOX. Les trois variables p, 0 et 9 sont les coordonnées spbériques du point M.

En aapfount que la droite OX est perpeadiculiire à ZZ', et la droite OY perpendicuUire au plan fixe ZOX, on aura un systiroe d'axe* reclangulairea ayant pour origine le point 0. Menons les coordonnas x, y, z du point H; la figure conduit aui relations X = OP cos ;p, y «a OP sin ^ , z ^ p cos 8, OP = psin 9, Il s'ensuit que les coordonnées rectangulaires et Bphériques d'un point de l'espace sont liées par les formules

x^psiaBtosf, y^psindsin^, x^^pcosO.

"!■ '■ L'angle <f se compte à partir de OX en allant

vers OY et varie entre les limites o* et 360*; J'angic B peut prendre une

valeur quelconque entre 0° et 180'. Ce système de coordonnées est

surtout employé dans l'astronomie sphérique.

% 3. TaiKSFOniiTION OSS COOSnOHNËBS.

19. Le problème de la transformation des coordonnées consiste li exprimer les coordonnées z, y, z d'un point rapporté à trois axes OX, OY, OZ en fonction des coordonnées x\ y', z' du même point par rapport i trois axes nouveaux. Nous allons examiner le cas où l'on change l'origine en conservant la même direction des axes, et celui où l'origine est la même, tandis que les directions des axes sont différentes.

Supposons en premier lieu {fig. 8) que les axes nouveaux soient parallèles aux axes primitifs; '**• *■ appelons p, q, r les coordonnées de la nouvelle

origine. La figure conduit immédiatement aux relations

(i) x = p + i', y = ï + y', z = r-\-z'. Il est facile de vérifier que ces formules sont générales. On en déduit les formules inverses

x' = x — p, y' ■= y — q, c' = z — r, qui serviront i passer du second système au premier.

Considérons, en second lieu, deux systèmes d'axes issus de la même origine et dont les direcUons sont différentes. Menons (fig, 9) les coor-

données d'no point H par rapport aux deux systimes d'axes : oo aura X = OP, y = PQ, r =s MQ ; at' = OP', y* = P'Q', ■ c' = MQ*. DéatgnoDB par a, a', a" les cosinus des angles de OX' arec OX, OY, OZ, et par 6, 6', 6", c, c', c" les quantités analogues pour les axes OY', OZ'. Enfin, soient i, [i, V les angles des axes primitirs YOZ, XOZ, XOT, X', il', t/ ceux des axes nouveaux. On obtiendra immédiatement trois relations entre les coordonnées des deux sysièmes, en projetant les contours OPQH, OP'Q'M, qui ont la mjise résulUnte OH, sur les axes OX, OY, OZ : ce n,. ».

qui donne les équations

X -{-y cos V + j cos (Il => «x' 4" W + "' J (a) I cos w -|- y -)- z eos i = «'x' -^ 6'y' -{- «'•ï' : accosf/-|-ycosX-|-* = ""*' + ^"y ' 4" *'"' ■ De même, en projetant les deux contours sur OX', OY', OZ', on aura aussi

i'-j-y'co9*'-|-2'cosf/' =oa: •\-a'^-\-o."x\ (a') ar'cosv'+y' -[-«'«>s V => 6x + 6'y + *"« ; a/cosp'-[-y'cos "i^-^-x' ^tx-\-t!^-\-c"z. Les équations (2) résolues par rapport à x, y, x donneront les formules générales pour passer d'un système quelconque (A, fi, v) à un autre système quelconque (>', p', v') ; elles seront du premier degré en x', y', V. Si on tire des équations (3') les valeurs de x', y', z', on arrJTcra aux formules de la tranarormation inverse, celles qui conviennent au passage du système (A', ^', v*) au système (A, fi, v). Ces formules sont rarement employées dons toute leur généralité; nous allons en déduire d'autres d'un usage plus fréquent.

\%. Passage Sun syttème (Caxes rtetangulairet à un lyitime d'axes obliqueM, et réciproquement. Si les axes primitifs sont rectangulaires les quantités co9X,cosfi,cosvsoDl nulles, et les formules(2)prennent la forme » ^ 01' -^ fiy' -4" cz', (3) y =s a'x' + by -\- c'a'.

Les formules inverses (a') ne changent pas, II existe en outre trois relations entre les constantes, savoir :

chacune d'elles exprime que la somme des carrés des cosinus des angles de l'un des axes OX', OY', OZ' avec trois axes rectangulaires est égale k l'unité.

14. Pasêage JCun tystème d'axes rectangulaires à un autre système d'axes rectangulaires. Dans cette hypothèse, les cosinus des angles des axes sont nuls, et, par suîte^ les formules de transformation seront

X = ax' -|- by' -}- cz\ (4) y = aV + 6Y + cV.

z = a"x' + by + c"z',

avec les six relations

at -f a'« + a"« = i , a6 + o'6' + a"6" == o ,

Les formules inverses prennent la forme

x' ssax + a'y-^ a"«, (4') y'=6x + 6'y + 6'%

-:' = ex 4- c'y -|" ^"^>

et on a aussi les relations suivantes :

a«4.6«+c«=» I, aa' + 55' + ce' = o,

(a')o'*+5'«+c'«=(, (P') aa"+55" + cc"=o,

a"« + 5"« + c"* « I, oV + 5'5" + cV == o;

elles expriment la même chose que les équations (a) et (|3), c*est-à-dire que les deux systèmes d*axes sont rectangulaires; Tun des deux systèmes d'équations étant donné, Tautre en découle nécessairement.

On peut déduire des équations précédentes, plusieurs autres relations entre les cosinus; nous allons en tirer quelques-unes qui sont utiles à

connaître. Les deux premières équations (P'

6'e"— e-t" e6"-V te'-eS' (/ (fe"— c'6")'+(e6"-6«")' + (6e'— *)•

Hais, la dernière fraction est ëgale à l'unité ; car on sait que (i'e"— c-tT-Hcô"— ic")"+(6e'— c6')"=(6M*'+*""Xc'-H"+c"')— ('«+''«'+'"«'1-' Donc, on a les trois relations

o — ±(6V'— c'//'), o' — ±(e6"— 6c"), o" — ± (6c' — e»'). Les mêmes équations (^) conduisent encore aux égalités

.■c"eV' ~c<i"oc"~oc'-co' ~ ^(.V— c'a")'+(co"-oc")'+(oc'-caT

-éV 6o"-afc" abf~ba- j/(a'6"-6'(.")'+(6a"-a6")»+(«ft'-^T

ei, par suke, il vient

6 = ±(o'e" — c-o"), fc' = i: (ca" — oc"), 6" = ± (ac' — e<0 ; c = ± (o't" - fc'o"), c' = ± (6a" — a6"), c" = ± (06' — 60'). 11 en résulte «ussi que le délerminsal \a, h, c = a (Vc" — c'y) + a' (efc" — 6c") + a" (htf — ci')

a' f e' 1 a" fc" e" des équations (3) est égal è ± i .

IS. Formule» ttEuler. Le passage d'un système d'axes rectangulaires i nn autre exige l'emploi des formules (3) renfermant neuf oonstantes liées par six équations de condition, et il suffirait de connaître les valeurs de trois d'entre elles pour en déduire toutes les autres. Euler a donné des formules qui ne renfermPDt que le nom' bre minimum de quantités nécessaires pour fixer la position des nouveaux axes. Ces quantités sont : 1° l'angle 9 que fait l'axe Fi'S' «>■

primitif OX avec la trace 0X| du plan x'y' avec xy; 2° l'angle <f de l'axeOX'

avec la trace OXi; 3^ Tangle d'iacliaaison 0 du plan oc'y' sur xy, ou l'angle ZOZ\ Ces trois constantes suffisent pour fixer les nouveaux axes; nous admettrons que les angles 9 et '| se comptent, le premier à partir de OXy le second à partir de OX^ en allant vers Taxe OY.

Cela étant, nous allons passer du système primitif OXYZ au système OX'Y'Z' par trois rotations successives :

i^ Faisons tourner l'axe OX d'un angle 9 de manière qu'il vienne coïncider avec OX4; l'axe OY tournera du même angle et viendra se placer quelque part en OY4 dans le plan ay. D'après les formules de la géométrie plane, on doit avoir les relations

x =s xi cos 9 «- yt sin 9, y =^Xi sin 9 -{- yi cos 9

Xi et yt étant les coordonnées d'un point comptées sur OXi et OYi ;

^ Conservons le même axe OXi et faisons tourner l'axe 0Y| avec l'axe OZ d'un angle 0 dans le plan YiOZ; l'axe OYi prendra, je suppose, la position OYs dans le plan x'y', et l'axe OZ coïncidera avec OZ'. Ce changement donne lieu aux égalités

y^ z=s y, COS 6 — ij' sin 6, z = yi sin B-\- z' cos 9

yt et 2' sont les coordonnées relatives aux axes OYt, OZ';

3^ Enfin, si l'nxe OXi tourne d'un angle v|/ pour venir se placer sur 0X% Taxe OYs ira coïncider avec OY', et, après cette dernière rotation, on arrive au système d'axes OX'Y'Z'. On aura encore les relations

X4 ^^ x' cos vp — y' sin vp, yj = x' sin 'j' -|~ V' ^^^ ^'

L'élimination des quantités auxiliaires Xi, yi, yi, conduira aux formules d'Euler qui expriment les coordonnées x, y, z en fonction de x', y', z\ On obtient ainsi :

x=3x^(cos9COs4^--sin9sinv|;cos9)— y'(cos9sini{f+sin9COsv{/cos9)+z'sin6sin9 (5) y===x^(cos^sin9-f sinv{/cos9Cos9)-fy'(sin9$in^— co39cosv{/cos9)^2'cos9sin9 jc=x' sin ^siu 6-|-y'cosvpsin9+z'cos9.

En comparant ces valeurs avec les équations (3), on en déduit pour les constantes a, 6, e, a' etc., les expressions suivantes :

a=s cos9cos^ — sin9sin^cos9, a' =3 cos^sin9-f'Sin v{;cos9eos9 b =^cos9sin4' — sin 9 cos v|/ cos 9, 6' =— sin 9sin 4^ -f- cos 9 cos i{; cos 9 c = sin9sin9, ' c'=— cos9sin9

o" = sin ^ sin 9, 6" = cos ^ sin 9, c'' = cos 9.

D'où, on tire encore

taiigç = — -, tang4; = — .

Dans le cas particulier où l'axe des x' coïncide avec 0X«, ^»o, et les formules (5) deviennent

X = r' cos cp — (y' cos 9 — z' sin ô) sin 9,

(6) y = x' sin 9 -}" (ï' ^^^ 9 — z' sin 9) cos 9, ic = y' sin 9 -4- z' cos 9.

1ê. Formules pour la détermination de V intersection d'une surface pur un plan. Il est souvent utile en géométrie analytique de déterminer la nature de Tintersection d'une surface par un plan. On verra bientôt qu'une surface est représentée, en général, par une équation à trois coordonnées f (oc, y, z) = o. Cela étant, si on mène un plan sécant par Forigine, on peut rapporter la courbe d'intersection & deux axes OX', OY' choisis dans ce plan, le premier étant sa trace sur XY et le second une perpendiculaire à OX'. En y ajoutant un troisième axe OZ' perpendiculaire aux deux autres, l'équation de la surfiice pour le système OX'Y'Z' s'obtiendra en remplaçant x, y, z par les expressions (6). L'équation de la courbe d'intersection par le plan sécant, qui est ici le plan des x'y', sera l'équation transformée où s' = 0; mais, il est visible qu'on arriverait au même résultat, en posant, avant la substitution, z' =s o dans les formules (6). Donc, les formules cherchées seront :

X ^=: x' cos 9 — y' sin 9 cos 9, (7) y = x' sin 9 + y' cos 9 cos 9, jr=y'sin9;

c'est-i-dire, qu'étant donnée l'équation f (x, y, z) = o, en y substituant les valeurs (7), on aura une équation en x', y' qui représentera la courbe d'intersection avec la surface d'un plan passant par l*origine, cette courbe étant rapportée à deux axes du plan sécant dont l'un OX' coïncide avec sa trace sur le plan des xy. Lorsque le plan sécant passe par l'axe des x, 9 = 0, et les équations (7) se réduisent à

xeax', y = y' cos 9, jc = y'sin9.

Si le plan passe par l'axe des y, 9 = 90*; il vient alors

x = — y' cos 9, y = x', z = y'sin9.

§ IV. INTBRPRfiTATION DBS AQDATIOHS KN X, y, Z. CLASSIFICATION DBS SURFACES.

17. Considérons, en premier lieu, aac équation qui ne renrerme qu'âne coordonnée. Soit d'abord l'ëquatton du premier d^gré (i) A» -|- D ^ o, ou X = o,

en posant a = — ■- ■ Prenons sur l'a» des x {fig. Il) une longueur

OA — a, et menons par ce point un pian P parallèle A yt. Le point A, Ainsi qu'un point quelconque du plan P, est k une distance a du plan des y;, et répond k l'équaiion. D'un talfe côté tout point en dehors du plan P a pour coordonnée x une valeur différente de a ; donc IVquation proposée représente un plan parallèle h celui des ys mené à une distance a de l'origine. Fi,. <i. De même, l'équation

By + D = o ou y = 6, représentera un plan parallèle à xz, et l'équaiion Cjî~}-D=o ou t^c un plan parallèle à xy- Une équalion du degré m en x, par exemple,

peiil se ramener i la forme

et, par conséquent, elle est satisfaite en posant

On doit donc regarder l'équation (i') comme représentant un système de m plans réels ou imaginaires parallèles i YOZ.

Donc, louEe équation qui ne renferme qu'une coordonnée repréienle un ou plusieurs plans partMèles d celui des coordonnées qui n'entrent pat dans l'équation.

Deux équations simultanées de la forme

repi^MoteroDt une droite parallèle i l'axe de« z, la droile d'interseetion des plans qu'elle* dëfinissent prises isolément; car, ce sont les seuls , points de l'espace dont les coordonnées peuvent satisfaire à la fois aux deux équations.

Enfin, si on prend simultanément les trois équations

il n'y a plus qu'un seul point de l'espace qui leur corresponde; c'est le point d'înterseclion des trois plans qu'elles représentent prises séparément.

1S. Soit, en second lieu, uneëquationrenfermant deux variables a; ety %,ï)-o.

Die représente dans le plan où se comptent les coordonnées x et y {fig. 13) une certaine ligne BIQ; mais, si on mène parles différents points de eetle ligue des parallèles à OZ, on formera une surface cylindrique dont tous les points répondent i l'équation; car tout point H de celte surface a le mime x et le même y que le point Q de la courbe appartenant h la parallèle passant par le point H, et ses coordonnëos satisferont i l'équation, quel que soit z. nestTiaible que tout point de l'espace extérieur au cylindre ne saurait se projeter sur la courbe HIQ; par conséquent, \'x et \'y de ce point ne véri6eront pas l'équation; celle-ci représente donc un cy- m. ti.

liodre indéfini parallèle aux z.

On verrait semblablemeat que le lieu des points de l'espace qilï vérifient les équations prises isolément

forme une surface cylindrique indéfinie; la première est parallèle à l'axe des y, la seconde b l'axe des x.

Donc, toule équation à deux coordonnéti reprftenle, en yinéral, un cylindre indéfini paralUle à ta toordonnée qui ne t'y trouve pat. Kl. ■• Qoi lignifienl Im ^oiliooi

Biles représentent trois surfaces cylindriques : U première est elliptique et ptrtUèle aux s; la seconde, hyperbolique et parallèle aux y; la troisième, paraboUque et paraUèle aux««

Ex. t. Les équations

représentent trois plans respectivement parallèles à Taxe des s, des y et des «. Ex. S. Les équations

— fr=o, -+-=0, |4--=o

au a c o e

définissent trois plans passant respectÎTement par Paxe des j, des y et des «. Ex. J. Que représente Péquation homogène

Un système de m plans passant par Taxe des 2 ; car, elle peut se ramener à la forme

(y — a«) (y — bst) (y — te) = o.

!•• Deux équations simultanées à deux variables, par exemple,

sont satisfaites en même temps par les coordonnées des points communs aux cylindres qu'elles définissent isolément; elles représentent donc une courbe, la ligne d'intersection de ces surfaces cylindriques. L'élimination de la variable x donnerait une certaine équation 9 (y, is) = o qui doit être satisfaite en même temps que les précédentes; ce sera celle d'un cylindre parallèle aux x et passant par la courbe de Tespace.

Souvent, on fait abstraction des cylindres qui projettent la courbe sur les plans coordonnés pour ne considérer que leurs traces qui sont définies par les mêmes équations. On regarde donc une courbe de l'espace comme déterminée^ si on connaît ses projections sur deux plans coordonnés. 11 suffit, en effet, d'imaginer deux surfaces cylindriques ayant pour bases ces traces et parallèles & deux axes pour trouver la position et la forme de cette courbe dans l'espace.

Ainsi, les deux équations simultanées

ax -f- fty = d. ax-\-cz = d

représentent une droite dans l'espace provenant de l'intersection des deux plans qu'elles déteripjnçnt. On pept aussi pon^idérer ces équations

prises séparément comme étant celles des projections de la droite sur les plans des xy et des xz,

SO. Considérons, en dernier lieu, une équation à trois variables

fix,y,z) = o.

Si on donne aux coordonnées x et y les valeurs particulières Xi» yi qui correspondent à un point M| du plan xy, Téquation f (xi, yi, 2) = o résolue par rapport k z donnera une ou plusieurs valeurs pour cette variable; en portant sur une parallèle à l'axe des z menée par le point Mi des longueurs positives ou négatives égales aux racines réelles, on obtiendra généralement un ou plusieurs points qui répondent à l'équation donnée. Pour un autre système de valeurs x%^ yi, on aurait de nouveau un ou plusieurs points sur une autre parallèle à Taxe des z ; et ainsi de suite. Tous ces points ont des positions bien déterminées et doivent se suivre dans l'espace suivant une certaine loi; le lieu de ces points sera une surface dont la forme et la position dépendra de la nature de la fonction donnée.

Deux équations du second degré prises simultanément

f («f y, «) = o, F (x, y, x) = o représentent une certaine courbe dans l'espace, la ligne d'intersection des surfaces qu'elles déterminent prises isolément; car ce sont les seuls points dont les coordonnées peuvent satisfaire à la fois aux deux équations. En éliminant l'une des variables x, y, z, on obtiendrait l'équation de la projection de la courbe sur l'un des trois plans coordonnés.

Donc, toute équation à trois variables représente^ en général, une surface courbe , et un système de deux équations en x, y, z définit une certaine courbe dans Pespace.

91. Classification des surfaces. Les surfaces algébriques, comme les courbes planes, se partagent en différents ordres suivant le degré de leurs équations. Ainsi une surface est dite de Tordre m, si elle est définie analjlîquement par une équation du degré m en x, y, z. Les formules de la transformation des coordonnées sont du premier degré par rapport aux coordonnées nouvelles, et une équation du degré m en x, y, z le sera aussi relativement à x', y', z\ Donc, l'ordre d'une surface est indépendant du choix des axes auxquels on la rapporte.

L'équation générale du degré m peut se mettre sous la forme

-|- 0|X -]- a\y -|- asz

+ anix» + flM«y' 4" ««»«' + oiM3p*y + ansx*? + ««ly'x + OMBy'a;

La première ligne renferme un terme; la seconde, — -^ termes; la

troisième ^^9 la quatrième ^^9 et ainsi de suite. La somme des termes

sera 1.2

Si, dans cette équation, on pose 2 = o, il restera une équation en x et y au plus du degré m qui représentera la courbe d'intersection de la surface avec le plan des xy\ comme ce dernier peut être un plan quelconque, il s'ensuit qu'titie surface de l'ordre m ne peut être rencontrée p^run plan suivant une courbe d'ordre supérieur à m.

En posant y = z = o^ l'équation en x qui en résulte sera au plus du degré m; les racines correspondent aux points de la cuirface situés sur l'axe des x; celui-ci pouvant être une droite quelconque, on en conclut qu'tine surface de l'ordre m ne peut être rencontrée par une droite en plus de m points.

99. Les courbes de l'espace qui proviennent de l'intersection de deux surfaces sont appelées gauches lorsque tous leurs points ne sont pas dans un plan.

L'ordre de la courbe est déterminé par le nombre de points suivant lesquels elle peut être rencontrée par un plan quelconque. La courbe d'intersection de deux surfaces dont l'une est du degré m et l'autre du degré n, est en général de Tordre mn; car un plan quelconque rencontre les surfaces suivant deux courbes qui ont en commun mn points puisqu'elles sont respectivement d'ordre m et n; ces mn points appartiennent i la ligne d'intersection des deux surfaces, et, par suite, celle-ci sera de l'ordre mn.