A, SB I

- Ct — C|

. Di — Di

d étant la distance des deux points. Or, les coordonnées tétraédriques peuvent se calculer d'après les coefficients des équations données (N"" 92), et la distance d, par la formule (III) du N<^ 63; donc, on peut considérer la question comme résolue.

Lorsqu'on connaît les cosinus directeurs de deux droites^ on peut en déduire l'expression du cosinus de l'angle qu'elles forment entre elles ainsi que la condition de perpendicularité de ces droites.

•S. Trotit^er ^expression de la distance du point

Bo ht

i «M plan domé (A'B'C'D').

Soit P la distance cherchëe; menons par le point un plan parallèle au plan donné : ses coordonnées seront

et, par suite on aura la relation

En se rappelant la relation T--l-r- + r- + T- = — 'i on en déduit pour la distance cherchép

Lorsque le point est rcprésenlé par une ëquation de la forme /A + mB-t-»C + pD = o,

, . „ , ,j A« B„ Co D.

il. faut remplacer dans 1 expression precédenlc yi -j- > 7- > -r- '

par leurs valeurs (N° 93); on trouvera ainsi pour la distance de ce point

au plan donné

Ik' -\- mB' 4- nC -\- pD'

§ 3. RAPPORT ANUAnilOIirQUE ET HARMONIQUE ; FOLB d'uH PLAN PAR RAPPORT A DEUX points; plan polaire d'un point par RAPPORT A DEDX PLANS.

se. Le rapport enharmonique de quatre points a,b,p,q situés sur une même droite est l'expression

aq' bq

lorsqu'on considère a tl b, p cl q comme n,. Il, associés ou conjugués.

Soient

^' (6) A — XB = o, (q) A — aB==o,

les équations de ces points; A et B sont des poIynAmes du premier degré en ti, V et 117 de la forme fu -f- mi> + nu? — i. Le coefficient A représente le rapport des perpendiculaires abaissées des points a et 6 sur un plan quelconque passant par le point p; mais ce rapport est égal et de même signe à celui des segments ap et bp^ positif si le point p est sur le prolongement de a6, négatif dans le cas contraire. On aura donc

bp

De même, u =--? ; par suite.

^ hq

A (^p ^aq «P . 6p

fA bp' bq aq' bq

Ainsi, le rapport anharmonique de quatre points définis par des

équations de la forme (i) est égal &- •

Supposons que les points soint représentés par les équations

(a) A~>.B = i, (6) A-pB = o, ^f (p) A — A'B=o, (q) A--p'B = o.

On peut les ramener k la forme précédente, en posant A — AB = A', A — fiB = B'. En exprimant A et B en fonction de A' et B' les équations (2) peuvent s'écrire

. Il en résulte que le rapport anharmonique du système (2) aura

pour valeur

•T. Lorsque les Irllres A et B sool des faoctions du premier dtgré eo x,y, z de la Torme xgosk +ycos|3-|-«co8}' — ir, tes ëqualions (i) reprësentent un système de quatre plans pnssant par une mime droite. Nous les daignerons (Fig. 33) par A, B, P, Q. Menons une transversale qui les rencontre aux pointe a, b, p, q : le rapport anbarmonique des points d'inlerseclton sera constant quelle que soit h direction de la sécante. En effet, la constante À représente le rapport des perpendiculaires abais-

I sées d'un point quelconque du plan P sur les

Pis. a. deux autres A et B; ce rapport est égal k celui

des sinus des angles du plan P avec A et B. Il en résulte qu'en appelant a et p les perpendiculaires issues du pointp, on aura

sin(A,P)

De même, si on représente par a' et ^ les perpendiculaires abaissées du point q sur A et B, on aura aussi

a' bin (A. Q) '*"|3'^sin(B, Q)'

On en déduit

Ji « p sin (A, P) sin (B, P)

sin(A,Q)*sin(B,Q)

il est facile de voir qu'au rapport des perpendiculaires, on peut substituer eelui des segments et écrire

X ap bp sin (A, P) sin (B, P) fx aq' bq sin (A, Q) * sin (B, Q)

Le rapport des sinus étant constant, il en sera de même du rapport anbarmonique des points d'intersection. C'est pour ce motir que l'on

prend pour le rapport anharmonique d*an faisceau de quatre plana, celui des points où ils sont rencontrés par une transversale quelconque.

n suit de ce qui précède que - représente le rapport anharmonique

du système de plans définis par des équations de la forme (i). Pour le faisceau de quatre plans représentés par les équations {2), le rapport anharmonique aurait pour valeur

fX — V II — II'

•S. Bapport harmonique. On dit que quatre points d'une droite forment un système harmonique, lorsque leur rapport anharmonique est égal à — I. Les points

^ ^ (p) A — AB = o, (q) A — fxB = o

jouiront de cette propriété, avec la condition

-= — I ou A + U = 0.

Si on remplace lelfi par les rapports des segments qu'ils représentent, la relation précédente devient

bp * bq

L'un des points p ou 9 devra se trouver entre a et 6, afin que l'un des rapports soit négatif; si le point p occupe le milieu de a6, le premier rapport est égal à — i, et, par suite, le point q sera à l'infini. Ainsi, deux points quelconques, leur milieu, et le point à l'infini forment toujours un système harmonique.

Lorsque les points sont définis par des équations de la forme

. (a) A— AB=o, (6) A — fxB=o,

^ ^ Ip) a— i'B = o, {q) A — fx'B = o,

ils forment un système harmonique, si on a Ist relation

ou bien

••• Un faisceau de quatre plans est dit harmonique^ lorsque leur rapport anharmonîque a pour valeur — i. La condition nécessaire et suffisante pour un système harmonique de quatre plans passant par une m^mo droite sera

OU

suivant que leurs équations sont de la forme (i) ou de la forme (2). La première équation revient à

sin(A,P) . sin(A,Q)^ sin(B,P)"'"sin(B,Q) ^^

A elle exige que l*un des plans P ou Q soit dans Tangle dièdre AB. Lorsque

A le plan P est bissecteur de Tangle AB, le premier rapport a pour valeur

— i; par suite, le second doit être égal à -{- i» et le plan Q sera bissecteur de Tangle adjacent. Ainsi, les faces d'un dièdre et ses plans bissecteurs forment toujours un faisceau harmonique. Toute transversale rencontrera les plans du faisceau en quatre points harmoniques; dans le cas particulier d'une sécante parallèle au plan Q, le segment intercepté par les plans A et B sera divisé en deux parties égales par le plan P, puisque le quatrième point harmonique est à Tinfini.

100. Faisceau in involuiion. Considérons le système de six plans passant par une ûiéme droite et représentés par les équations

. A = o, A — AA' =0, A — fjiA' s= o,

^^^ A' = o, A — ;/A' = o, A — fx'A'=o.

Les lettres A et A' désignent des polynàmes de la forme

X cos a -|-y cos P + z cos }/ — tt.

On dit que ces plans forment un faisceau en involution» lorsque le rapport anharmonique de quatre plans appartenant à trois couples est égal à celui de leurs conjugués.

Pour abréger^ nous désignerons par A, B, G, A', B', C les plans donnés; A et A^ B et B\ G et G' étant les plans respectivement conjugués.

On démontrera comme pour un système de six points en géométrie plane :

i* Que la condition nécessaire et suffisante pour que les plans définis parles équations (i') forment un faisceau en involution est

ou bien, en remplaçant les coefficients par les rapports des sinus qu'ils représentent

sin (AB) » sin (ABQ sin (AC) > sin (ACQ sîn (A'B) . sin ( A'B') "~ sln^Â^cr. sin (A'G') *

2^ Lorsque six plans

A = o, B = A — AA' = o, G = A — fjiA' = o,

A' = o, B' = A — A'A' = o, • G' = A — fA'A' = o ^

forment un faisceau en involution, il existe des constantes /, m, n qui donnent la relation identique

MA'4-t«BB' + «CG' = o;

réciproquement, si les équations de six plans passant par une droite conduisent à cette identité, ils formeront un faisceau en involution. S^" Les plans

A — JA' = o, A — iJ.iV =0, A — vA' = o, A — i'A' = o, A — .u'A' = o, A — v'A' = o

sont en involution, si on a la condition

— liO - 4* Sii plus passant par une même droite et représentés par des équations de la forme

A — o, B — o, CnO, mB — nC c=3 o, nC — lA » o, tK — mB ■> o, forment un faîseeau ea involution. On en déduit

jt gin (A'B) / sin (B'C) m ain (C'A) m™§in(A'C)' n™ sin (S'A)' ("'8in{C'B)' et, par soite,

sin (AC) • BJn (BA') ■ sJn (OB')

sin (AB') ■ si» (BC') ■ sin (CAO "" ' '

5" Les faisceaux faoDH^p!«phiqueg se définissent comme dans le plan.

f •!. PAte (Tun ptan par rapport à deux pçintt fixai. Soient a et 6

daûx points (Fig. 23} et P un plan fixe qui rencontre la droite 06 au

point p.

Menons la droite quelconque D dans le plan P, et désignons par A et B les plans passant par D et les points a et b. Enfin loit Q le quatrième plan harmonique des trois plans A, B, P. Si la droite D se déplace dans le plan fixe P, le plan Q conjugué harmonique de P tournera autour d'un point fixe q de la droite 06; car, les plans formant toujours un faisceau harmonique quelle que Boit D, la transversale a( rencontre les plans suivant un syslime de points harmoniques, et comme a, b, p sont des points fixes, il en sera de même du point q. Ce dernier ee nomme \epôUda n,. c. plan P par rapport aux points donnés.

Supposons que les points a et 6 soient définis par les équations (o) A = o, (b) B = o.

Appelons Ai Bt, les valeurs des polyuAmes A et B quand on y substitue les coordonnées du plan fixe ; l'équation du point p sera

A — AB — o, avec la condition A< — >Bi ^ o. fin éliminant 3, le point p sera représenté par

— Itl —

L'équitîoD du pdls q se prëseDIen sous la Torme

<'' T+W.—" pnbqu'O ost le conjugué barmoniqDe da point p.

IM. Pltm polmre d'un point par rapport à deux plant. Conaidérons doux plans A et fi {Fig. 34), et un point fixe p. Menons par ce dernier une Innsversale qui rencontre les plans aux pointa a et b. Soit q le quatrième point harmonique du système a, b,p: le lieu du point q conjugué de p lorsque la sécante tourne autour dn point fixe sera un plan Q passant par la droite dlnlersectioa des plans A et B. Bn effet, soit P le plan mené par la droite d et le point p. Les trois plans A, B, P avec le plan Q mené par le point q et la droite d formeront un faisceau harmonique, quelle que soit la direction de ta traus- Torsale; les trois premiers étant fixes, le point f décrira le plu Q passant par la ligne d'înterseetioD des autres. Ce plan s'appelle le plan polaire du point p par rapport à A et R .

Si

A s= o, B = o, sont les équations des plans A et B, celle du pi^if.

plan P sera de la forme

Al et Bi sont les valeurs des poIynAmes A et B pour les coordonnées cartësiennes du point fixe p. Le plan polaire étant le conjugué harmonique de P aura pour équation

Il est facile de vérifier qu'un point quelconque du plan P a le même plan polaire que le point p, Soil, par exemple, p' {xt y, z,) un point du plan P. pour lequel les fonctions A et B prennent les valeurs Ai et Bt. Le plan polaire de ce point est représenté par

Mais, le point p' appartenant au plan P, on doit avoir

et, par suite, l'équation précédente peut s'écrire

c'est précisément celle du plan Q.

Réciproquement, un point quelconque du plan Q aura pour plan polaire par rapport à A et B le plan P. Soit q*{x'y' z') un point du plan Q; le plan polaire de ce point est défini par l'équation

A' et B' étant les valeurs de A et B quand on y substitue les coordonnées x', y, 2'. Le point 9' étant dans le plan Q, on a la relation.

Il s'ensuit que l'équation précédente équivaut à

A, B.""^ qui représente le plan P.

Exemples.

£x. t. Appliquons les principes qui précèdent au tétraèdre dont les sommets sont représentés par les équations

Soient Ai, fit, Ci, Di les coordonnées d*un plan fixe; les équations des pôles de ce plan sur les différentes arêtes ainsi que celles des points où il rencontre ces droites seront de la forme