ABC
lorsque le coefficient D est nul, et, par suite, l'équation
Am + Bw + Cti? = o, doit être regardée comme représentant un point h l'infini sur la droite
Enfin, l'équation
0 = 0 ou o-u-f-o*v + o»tt? + D = o
définit le point : a:=^» J'^S' ^"^5' c'^s^"^"^'^^» Torigine dei5 coordonnées*
81 . Point situé sur une droite pcasant par f origine. Désignons par Xo» jfoy Zo les coordonnées cartésiennes d*un point d'une droite issue de l'origine et faisant les angles a, |3, y avec trois axes rectangulaires. L'équation de ce point sera
Xqu -[- yot? -|- ZoW — 1=0.
Mais, p étant la distance de ce point h l'origine, on a :
oco = p cos a, yo «=3 p cos |3, Zo Bs p cos y.
En substituant, l'équation précédente devient
u cos a -{-v cos ^-^-U) cos y = 0.
Réciproquement, toute équation de la forme
u cos a -j- v cos ^-^-wcosy — p = o
représente un point dont les coordonnées cartésiennes sont :
cos a cos 8 cos y x = t t/ = -9 z=. -f
et, par suite, il est situé sur une droite issue de l'origine ayant pour équations
cos a cos |3 cos y
89. Point situé dans un plan donné (tia» Vo, u*o)* L'équation d'un point quelconque
Am + Br + Cm? + D = o
est satisfaite par les coordonnées de tous les plans qui passent par ce point, et la relation
Atio + Bt?o + Cwo -J- D = o exprimera que le plan donné renferme le point qu'elle représente.
Retranchons ces équations niembi*e & membre pour éliminer la constante D; il viendra
A (u — Wq) + B (v — Vo) + C (tt? — itq) == o :
équation qui est satisfaite par les coordonnées du plan donné quelles que soient les valeurs de A, B et G; elle définit donc un point quelconque de ce plan.
Supposons que le plan donné soit défini par les trois points
xqU '^yoV-\- zoW — I = o, XiU -^-ytv-^ZtW — i =o, XiU-^-ytV-^ziW'^ i =o,
et soient fco, kty kt trois constantes arbitraires. Un point quelconque de ce plan sera donné par l'équation
fto(^oM+yot>+^oU? — i) -j- *i {xiu + j/i V + ZiW — i)-{'ki{xiU +yft; +ziw — i) = o.
En effet, elle est du premier degré en u, v et tr; de plus, elle est satisfaite par les coordonnées du plan des trois points, car celles-ci annulent les polynômes qui multiplient A^o, ki, kt; donc, quelles que soient les valeurs des constantes, le point défini par l'équation appartient au plan donné. Les coordonnées cartésiennes de ce point seront
koXo-\-kiXi -j-A:«Xi koyo-^kij/t-^kiZi koZo-^kiyi'\-ktZi
^ *o + *, +*, ' * ~ ko-^-ki^ k^ ^ M- *i + A-i
Représentation de la ligne droite. Une droite est complètement déterminée par deux points; il s'ensuit que deux équations simultanées du premier degré de la forme
/a + wv "l" «M? — I = o, /'tt -j- m'v -J- n'w — i = o
peuvent être regardées comme la définition analytique de la droite qui réunit les points qu'elles représentent prises séparément. Les coordonnées cartésiennes de ces points étant l m n, V m' n', il viendra, en désignant par d leur dislance,
tandis que les cosinus directeurs auront pour expressions
/ — /' - m — m' fî — m' cos a = > cos p = — - — > cos y -^ —
Si on prend pour déterminer une droite, ses traces sur les plans xz et y«, ses équations peuvent s'écrire
u=^au)'{-py i> =3 6ir -j- qr.
Les coordonnées cartésiennes des traces sont :
On en déduit
cos a = — , cos fi = ^ , cos v = P ~ ^^ .
p« ' (jd ' pqd
Enfin, si on regarde la droite comme déterminée par l'intersection de deux plans donnés (wi Vi ic,), («i, Vi te?,), on aura d'abord les relations
En retranchant ces équations des précédentes, il viendra w — !/, = a (m; —- îe?,), v — i?i = 6 (u? — Wt). De plus, le plan (u* Vs tc?^) passant par ses points, on doit aussi avoir Ui — Vi = a (u?« — wi)f Vi — t?i = 6 {w% — Wi).
L'élimination des coefficients a et 6 donnera pour les équations de la droite
n — Ut w — tci V — Vi II? — ti?i
W« — W| Wi — Wi Vt — Vi Wi — Wi
ou bien
{wt — tu,) ti — (i/j — m) w -^WiUt— Ui Wi = o, (i«?ï — Wi) r — [v% — Vj) n? -|- %o% v% — v\W% = o.
Si on pose : A= =fc i/(i'«u?< — witt'»)*+(tiitt;j— ti7|Mt)'+(t?!W2— WiVi)*, on aura pour les cosinus directeurs
cos a = > cos p = -r > cos y = -r •
S4. TVotfver l'angle de deux droites données. Soient
lu +niv -^-nw — 1=0, i pu -^qv -\'riv — i = o, /'a + m'i? -|- w'i« — I = o, ( p'u + q'v + r'w? — i = o,
les équations des droites données. D'après le numéro précédent, on aura
cosa = — r—» cosp = j — > cosy= — j — >
cosa' = '— —!-, cosp' = ^.^, cos/=— -— ,
où les quantités d et d' sont déterminées par les formules
rf = ifc (/(/ — /')« + (m — m'Y + (n - n')',
En substituant ces valeurs dans l'expression
cos cp = cos a cos a' + cos (3 cos j^S' + cos y cos y', il viendra pour calculer l'angle cherché
cos 9 = di
^/{l-iy+{m-^m'f+{n-n'Yy/(p-p'YMq~q'Y+[r-r'f
On en tire, pour la condition de perpendicularité des droites, ^^ /') (p p') + (,„ „,') (, ^/) + („ „') (r - r') = o;
et, pour celle du parallélisme,
ou bien
[il-l'){q-q')-{m-m') (p-p')]* + [(/-/') (r r')-(n-n')(p- p')]* + [(m - m') (r - .•') - (n - n') {q - ?')]* = o.
Cette équation exige que l'on ait les relations
Lorsque les droites données ont des équations de la forme
u = aW'^Pt ( M = a'w -^ ;>', V = 6î(7 + 9, { V = b'w -|- q\
on trouve facilement pour cos 9 l'expression
ç^^ ^ PP' + 7?' + (^7 - ^'P) {^'n' — ^'P')
Dans ce cas, il vient pour la condition de perpendicularité,
PP' + 77' + («7 — M ( «'7' — '''p') = o-
S5. Déterminer l^angle (futie droite avec un plan donné (uj, Vi, ti7i). Une droite définie par des équations de la forme
lu -|- mv -f- «te? — I = o, /'w -)- m'i? + n'u? — 1=0
fait avec les axes rectangulaires des angles qui satisfont aux relations
cos a
cos j3 cos y I
D*nn autre côté, les angles a', (3', y' d'une normale au plan
U4X -j- Viff -|- u?iz ^1=0,
sont déterminés par les égalités
cos a' cos |3' cos -f
L*angle <p que fait la droite avec le plan étant complémentaire de Tangle de cette droite avec la normale, on aura
sin 9 = cos y. cos a' -}- cos [3 cos /3' -|- cos y cos y'.
En substituant, on (rouvc, pour déterminer l'angle cherché,
(/ — /') uk + (m — m') ui + (/i — n') W\
sm (p
/(/ /',î 4 („i ^ ,„')' + (« - //')* |/«î + rî + <
Il en résulte que la condition du parallélisme de la droite et du plan sera
{i — C) ui + (mi — m') i>i -f- (/i — n') M7i = o;
et, pour que la <lroite soit perpendiculaire au plan, il faut et il suffit que Ton ait
[(/ ^ /')i + („ - niT + {n - ny\ \u\ + 1;^ + ti;?] — [(' — '') «« + 0» — »»') vi + (w — '*') «?i]' = o, ou bien,
[(/ — V) Vi - (m - m') iii]« + [{/ ~ /') w, — (n — n') u,]« + [(m — m') tt?i — (n — n') i?j]* = o :
équation qui sera satisfaite, si on a
Ut Vi Wi
Quand la droite est représentée par des équations de la forme u — au? — p = o, V — bw — 7 = 0, la condition du parallélisme devient
çri/i — pvi + {bp — aq) Wt = o,
et celle de la perpendicularité
96. Trouver l'expression de la dislance d^un point Iii*|-mo-{-nti7 — i=o à fin plan donné (ui Vi Wi).
Les coordonnées cartésiennes du point donné étant
sa distance au plan représenté par Péquation
Uix -|- Viy -j- WiZ — I = o, aura pour expression
lUi + mt?i + nWi — I
On en déduit celte règle importante : Si on divise le premier membre
de l'équation lu-\-mv-{-nw — i = o par |/t<*-}~^' + ^*> ^^ obtient une quantité positive ou négative qui mesure la distance du point représenté par V équation au plan {u, v, te).
S7. Trouver l'équation du point d'intersection de trois plans donnés
{Ui Vi W,), (Ut Vi Wt), (W3 Vi Ws).
Soit
Am -|- ]^v + Cw 4- D = o
réquation du point cherché. Comme les plans donnés renferment ce point, leurs coordonnées doivent satisfaire à Téquation, et on aura les relations
Aui + Bv^ + Cti?i + D = o,
Aiii + Bt?î + Cu?i + D = o,
Aus + Brs + Cu73 + D = o.
L^élimination des paramètres donne pour rëquation cherehëe
lll Vi Wi I
Us V% Wi I
fis Vs w% I
Il en résulte que la condition nécessaire et suffisante pour que quatre plans se coupent en un même point sera
Uo Vo Wo I
ti| Vt Wi I
Ut Vf Wt I
Us Vs tt's I
SS. Trouver la condition pour que les points
U = Am 4- Be; -f Cu? + D = o,
V = A'îi + Wv + Cw -f D' = o, W == A"m + B"i; + C"ii7 + D" = o,
soient en ligne droite.
Les points donnés seront sur une même droite, si on peut trouver trois constantes A, p, y de manière à avoir Tidenlité
(a) AU + |wV + vW = o.
En effet, les coordonnées d'un plan quelconque qui passe par les deux premiers points annulent U et V^ et comme cette relation a lieu quelles que soient les valeurs des variables, elles devront aussi annuler le polynôme W; les plans qui renferment les deux premiers points passent par le dernier, et les trois points seront en ligne droite.
Réciproquement, si trois points sont en ligne droite, il sera toujours possible de trouver des constantes, A, |ui, v qui donnent la relation identique (a). En effet, l'équation AU -|- /^V s=s o représente un point quelconque situé sur la droite des points U &== o, V :^ o; mais, le troisième
point étant en ligne droite avec les deux autres, on pourra déterminer A et fx de manière que la fonction AU -f- |^V soit identique à — vW, et, par suite, on aura Tidentité (a).
99. Trouver la condition pour que quatre points appartiennent d un même plan.
Soient
U = o, V = o, \V=o, Tc=o,
les équations de quatre points, U, V, W, et T étant des polynômes du premier degré on u^ v et w; ils seront dans un même plan si on a l'identité
((3) AU + pV-|-vW + pT=o.
Car, les coordonnées du plan passant par les trois premiers points annulent U, V et W^ et, en vertu de cette relation identique, elles doivent aussi satisfaire à l'équation T <= o : donc, ces points sont dans un même plan, le plan déterminé par les points U^ V et W. Réciproquement, si quatre points appartiennent à un plan, on peut toujours déterminer des constantes telles que l'on ait l'identité (jii). En eCFet, Tcquation
représente un point quelconque du plan déterminé par les points U, V et W; comme ce dernier passe par le point T = o, le premier membre doit pouvoir devenir identique à T par des valeurs convenables de }., /x, V, c'est-à-dire^ que l'on pourra écrire une relation identique k (|3).
I. Transformation des coordonnées. Supposons d'abord que l'on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point
pu -j- 7» -|- rw — I = o.
L'équation
MX -|- uy -j- w;z — I = o
pour la nouvelle origine deviendra
ou bien,
Mx' -{- vy' 4" ^^* — ( ï — pw — çy — rw) = o.
Si OQ désigne par ti% v', w' les coordonnées du plan par rapport aux axes nouveaux, on aura les relations
I — pu — qv — rw
I — pu — qv — rw w
I — pu — qv — rw
Lorsqu*on change la direction des axes en conservant la même origine, l'équation tix + t7y + ti;z — i<ao devient, en supposant les axes rectangulaires,
ti(air'+6y'+cj5')+f(aV-|- 6Y + cV)+a?(a'V+6'y+c"z')— r*=o,
ou bien
(aw+a'i>-|-«"t«?)^' +{bu + b^v + b'^w)y^'{'{cU'{'&V'{-&'w)z' — i=o.
Il en résulte que les formules de la transformation des coordonnées seront
ti' = au 4- a' 0 -)- o"w)> t?' = bu + b'v + 6"its M?' == CM + e'v -+• r"w,
§ 2. COORDONNÉES TÉTRAÉDRIQUES TANGBNTICLLES ; ÉQUATION DU POINT;
91. Considérons quatre points fixes de Tespace représentés par les équations
(i) U = XoU + yov + ZoW — 1=0,
(2) V s= XiU + ytv -\- ZiW — 1=0,
(3) W = XfUr{^ yiV -j- ZtW — 1=0,
(4) T = XzU + ystJ + ZiW — 1=0.
Un plan quelconque peut être déterminé de position dans l'espace par ses distances aux points fixes. Si on les désigne par A, B, C^D, on aura (N"* 86)
A = db— — n = dz
De plus, ces distances sont liées par la relation (N® 66)
o*A«+ 6«B«+ c«C«+ cPD» — 2a6 AB cos (a6) — 2ac AC cos (ac) — 2arf AD C08(arf) — 26cBCcos(6c)— 26dBDcos(6d)— 2crfCDcos(cd)=9V«
que nous écrirons pour abréger
jaA, 6B,cC,dD|« = 9V«;
o, 6, Cy if sont les aires des faces du tétraèdre qui a pour sommets les points fixes; Y désigne le volume de ce solide; cos (a6) représente le cosinus de l'angle des faces a et 6, etc. Il suffit donc de connaître les rapports de trois de ces distances à la quatrième pour en déduire leurs véritables valeurs.
Toute équation homogène, telle que F (A, B, C, D) &» o, équivaut à la relation homogène F (U,y, W,T)bsso, c*est4-dire à une certaine équation entre les coordonnées du plan i«, v, te?. Si on fait varier A, B, C, D de manière à satisfaire à la relation précédente, les plans correspondants détermineront par leurs intersections successives une certaine surface. LVquation
sera, en coordonnées tétraédriques, Viquation tangentielle de cette surface, tandis que les variables A, B, C, D seront les coordonnées iéîrai* driques tangentielles du plan mobile. Ces nouvelles coordonnées du plan ne sont qu'une généralisation des coordonnées ti, v et w, de même que les coordonnées tétraédriques d'un point sont une généralisation des coordonnées cartésiennes x, y, z.
Nous représentons les coordonnées tangenlielles par les mêmes lettres que les coordonnées tétraédriques d*un point, afin d'avoir plus d'uniformité dans les équations. Le signe des quantités A, B, G, D se détermine suivant la direction des perpendiculaires à partir des points fixes ou points de référence.
%%. L'équation homogène du premier degré
(i) /A + mB + nC + pD = o
sera aussi du premier degré par rapport à u, v et tr, si on remplace A, B, G, D par leurs valeurs : elle définit donc un certain point de Tespace.
Désignons par Ao» Bo, Go, Do les coordonnées distances de ce point par rapport au tétraèdre qui a pour sommets les points de référence. Nous savons que l'équation d'un plan en coordonnées tétraédriques peut se mettre sous la forme
opiA + 6psB + cpsC + dpj^ = o,
pi,pt, ps)P4 étant les perpendiculaires abaissées des sommets du tétraèdre sur ce plan, c'est-à-dire, ses coordonnées tangeutielles. Exprimons que le point (AoBoGoDo) appartient à ce plan : il viendra
apiAo + 6pîBo -f- cpsGo + dpiDo = o.
Cette relation sera satisfaite par les coordonnées tangenlielles d'un plan quelconque passant par le point (AoBoGoDo); c'est l'équation tangentielle de ce point où (pipipspO désignent la même chose que A, B, G, D dans l'équation (i). En identifiant les deux égalités, on arrive aux relations
aAo 6Bo cGo cIDo .
en vertu d'une propriété des fractions égales^ chacun de ces rapports est égal a
aAo + 6Bj+cCo + dDo 3V
/-f-w-j-n + p /4-wt + n-j-p
D'où on tire, pour les coordonnées tctraédriqucs du point représenté par l'équation (i),
a{l-\-tn-\-n -}-p)
3Vp
mht
m + fi
nhz
m + fi
phA
Ces valeurs conduisent aux égalités
Ai ht As A4
/ ni n p Ao Bo Co Do
et^ par suite, l'équation (i) peut s*écrire sous la forme
Cm particuliers. Sip = o dans l'équation (i), elle se réduit à
IX + mB + nC = o, ou bien
et représente un point situe dans la face 125 du tétraèdre de référence. En général, toute équation à trois ternies définit un point appartenant à l'une des faces du tétraèdre.
Soit l'équation à deux termes
/A + mB = o ou nj + *»V = o.
Elle est satisfaite en posant U = o, V » o; ce qui a lieu pour tous les
plans passant par l'arête 12^ et, par conséquent, elle représente un point situé sur cette arête.
On en tire
— = — j- a= constante.
Il en résulte que le rapport des perpendiculaires abaissées des points I et 2 sur un plan quelconque passant par le point que l'équation représente sera constant; ce rapport est négatif, si le point est situé entre les points I et 2, et positif dans le cas contraire. En particulier, les équations
ou bien
représentent : la première, le point milieu de l'arête 12; la seconde, le point à l'infini de cette droite.
Il est facile de vérifier, qu'en général, toute équation à deux termes représente un point situe sur l'une des arêtes du tétraèdre de référence.
!. Trouver l'équation du point d'interseetion de trois plans donnés.
Soient AiBiCiDi, AsBsCtDt, AsBsCsDs les coordonnées tangentielles des plans données, et
/A + mB + nC + pD — o
l'équation du point demandé. On a les conditions
/Al -|- mBi -|- nCi +pDi •=* o, IA% 4" »wBf + fiCt + pDi =« o, /As + *^Bj + nCs 4- pDs = o.
L'élimination des coefficients /, m, n, p donnera pour l'équation du
point d'intersection des plans
A, Bi Cl D, A« B« Cs Di A, B, C, D5
Il en résulte que la condition pour que quatre plans se coupent en un même point sera
Ao Bo Co Do =<>• A, B, Cl D, A« B, C, Di
A3 B3 Cs D5
•4. Trouver les coeinus directeurs de la droite définie par les points /A + mB-l-nC + pDBO, /'A + m'B -f n'C -f- p'D » o.
Soient AiB|CtDi, A«BtCtDf les coordonnées tétraédriques des deux points donnés, et A|, ^s» hf A4, les cosinus qu'il s'agit de déterminer. On a
^ Al — Al
Bf — Bi
