A B.C , D A B CD

4» La droite qui joint les pAles sur doux arêtes opposées passe par le point d'intersection des droites qui réunissent les points où le plan fixe rencontre les autres arêtes opposées. On obtient ainsi les trois systèmes de droites

/Se, «V> yT

dont les points de concours sont représentés par

A."*"Bt C» D.~°' At B. + Ct D,"^'

A, Bt Ct + Dt~^-

K» Les pèles sur les arêtes d'an sommet et les points de rencontre du plan fixe avec les autres arêtes sont dans un même plan. Car, en retranchant membre à membre les équations («), (/8)| (y), on retrouve les équations /&% t\ ^. Oli trouve ainsi les quatre groupes de six points

«^ 3j «> ^S y'* / ft *f ih «'» yS •' y» «> M> «'> /8S 5'

qui sont respectivement dans un même plan.

Ex. t. Considérons un tétraèdre ayant pour sommets les points i, 2, 3, 4, et soient

les équations des faces respectivement opposées aux points z, 2, 3, 4.

Les équations des plans polaires d*un point donné (Ai Bi Ci Di) par rapport aux diidres du tétraèdre ainsi que celles des plans qui complètent le faisceau harmonique de chaque arête seront de la forme

(13) i?) X't'^Ct'^^' (^) Ai~c; = °'

<^^) <*) 5-1 + 0; = °' ^'^ Ïïi-Di = °î

Les équations (a'), (/S') etc., représentent les plans menés par les arêtes et le point donné.

On en déduit les propriétés suivantes : i® Les pians polaires par rapport aux dièdres d*un sommet rencontrent les faces opposées de ce dièdre suivant trois droites situées dans un même plan. Ainsi, les quatre systèmes de droites.

//A, yC, |SD, 8 A, yR| «D, SAf ^B, «C,

où fiB désigne la droite d'intersection des plans (/x) et fi, etc., appartiennent respectivement aux plans définis par les équations

ri+Ci+5;=°-

Al Bi Ct

2^ Les plans polaires par rapport aux dièdres opposes du tétraèdre se coupent sui?ant trois droites situées dans le plan

3« Les plans menés par le point fixe et les arêtes d'une face rencontrent les plans polaires par rapport aux dièdres des arêtes respectivement opposés en trois droites situées dans un même plan. Ces plans ont pour équations

At Bi"^C,+Dt~"°' A^ B^C^ D

» La droite d'intersection des plans polaires relativement k deux dièdres opposés et les droites d*intersection des plans passant par le point fixe et les autres arêtes opposées sont dans un même plan. Ces plans sont représentés par les équations

5^ Les plans polaires par rapport aux dièdres des arêtes d*une face ainsi que les plans menés par le point fixe et les autres arêtes se rencontrent en un même point. Il est Tisible, en effet, que les équations (£'}, (f'), (/) proviennent par soustraction des équations(«), (/S), (y).