SPHÈRE
Sommaire. — Equation de la sphère un coordonnée» cartésiennes; sphères assujetties à eeriaines conditions, — Cône circonscrit ; plan tangent et plan polaire, — Équation de la sphère en coordonnées tétraédriques et tangentietles,
% i. ÉQUATION DE LA SPHÈRE EN COORDONNëBS CARTÉSIENNES.
10S. L'ëquation de la sphère s'obtient immédiatement en exprimant qoe le carré de la distance de Pun de ses points au centre est égal au carré du rayon. Soient ao, 60, Co, Vo les coordonnées du centre et le rayon d'une sphère rapportée à troig axes rectangulaires : l'égalité
(i) (a: - ao)* + (y - 60)» + (2 - co)* = ro«
sera vérifiée par les coordonnées d'un point quelconque de la surface, et^ par conséquent, ce sera Téquation de la sphère en coordonnées cartésiennes.
En développant, et posant
, . G =a — ao, H = — 60, K = — Co,
^^^ L = ao* + 60* + Co* — r oS
l'égalité (i) peut s'écrire
(2) a:« + j/* + z« + 2Ga: + 2% + 2K2 + L = o.
Ainsi l'équation la plus générale de la sphère en coordonnées rectangulaires est du second degré; elle ne renferme pas les rectangles des coordonnées,, et les coeflScients des carrés des variables sont égaux. Lorsqu'une sphère est définie par une équation de la forme (2), le calcul
des coordonnées du centre et du rayon se fait par les relations {a) : les quantités ao, bo, Co sont les denii*coefIîcients de x, y, z changés de signe, tandis que le rayon a pour valeur
ro = =b |/G« + H« -f K« — L.
L'équation de la sphère n'est qu'un cas particulier de l'équation générale du second degré.
(3) Ax*+Ay+A'';:«+2%z+2R'rr£-|-2B''.ri/-f-2Cx+2r/t/+2C'';r+F=o, celui où l'on
car, daos cette hypothèse, l'équation précédente se réduit &
A (x« -|- y» -f 5«) + 2Cx 4- 2C'y + 2C"« + F = o
qui est de la forme (2) en divisant les deux membres par A, Il s'ensuit que les relations (|5) sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation générale du second degré représente une sphère.
Enfin, nous ferons remarquer que si l'origine des coordonnées est sur la surface, l'équation de la sphère 6st de la forme
et, si l^origine coïncide avec le centre,
104. Considérons maintenant une sphère de centre C (ao 60 Co) et de rayon ro rapportée à des axes obliques : son équation sera
(4) (x — ao)*+(j/— 6o)*+(«— Co)*+2(y— 6o)(«— Co)cosA+2(«— Co)(x — ao)cosfx
+ 2 (X — Co) (y— 60) COS V = To^.
Développons le premier membre, et posons
M = — (ao + 60 cos V + Co COS |ui), N = — (fco + Co cos X -j- ao COS v), P = — (co + ao cos p 4" ^0 cos A),
Q = ao* + 60* + Co* + 260 Co cos 1 + 2Co ao cos yi» + 2ao 60 cos v — ro'.
— U9 — L'ëquation (4) prendra la forme
(5) X* -[-y* -}- «' + 2yz cos A -j- 2zx cos (z -j- 2xy cos v + 2Mx 4- 2Ny + 2Pz + Q = o.
Ainsi l'ëquation de la sphère en coordonnées obliques est du second degré; les coefficients des carrés des variables sont égaux à l'unité tandis que les coefficients des rectangles des coordonnées sont les cosinus des angles des axes multipliés par 2.
En comparant l'équation (4) avec l'équation générale du second degré, on voit que celle-ci définit une sphère en coordonnées obliques avec les conditions
A = A' = A" B = AcosA, B' = Acosfji B''e=Acosv;
car elle se ramène alors & la forme
A(x' + y' + ^' + 2yz cos A -|- zzx cos /ix -|- 2xy cos v) + 2Cx + 2C'y + 2C"z + F = o
ou & la forme (4), après avoir divisé le premier membre par le coefficient A.
Lorsqu'une sphère est définie par l'équation (5), les coordonnées du centre satisfont aux équations
^ + y cos V -f- z cos (z = — M, y -[- « cos A -|- X cos V = — N, 2 + X cos p. + y cos A = — P,
qui représentent trois plans dont le point d'intersection est le centre de la sphère. Ils rencontrent respectivement l'axe des x, des y, et des z aux distances — M, — N, — P de l'origine. De plus, les traces du premier sur les plans des xy et des xz sont les droites
X + y cos V = — M, X + jï cos p = — M
perpendiculaires à l'axe des x, et^ par suite, le premier plan est perpendiculaire à cet axe. On verrait de même que les deux autres sont respectivement perpendiculaires à l'axe des y et des z. Donc, le centre d'une sphère définie par une équation de la forme (5) est le point d'intersection de trois plans perpendiculaires aux axes, menés aux distances — M, — N, — P de l'origine.
— ISO —
I0{(. Signification du premier membre de l'équation de la sphère» Soient x, y, z les coordonnées d*un point M de l'espace, et
réqtiation d'une sphère en coordonnées rectangulaires ayant pour centre le point G(aoboCo). Menons par le point M une tangente à la sphère; T étant le point de contact, le triangle rectangle MTC donnera la relation
MT S5= MG — r^ • Mais la distance du point M an centre a pour expression
MC* = (X - ao)« + (y ^ 6o)' + {z- c,Y; par conséquent 9
MT» = (x - a,y + (y - b,y + (z - Co)» - rj. Si les axes sont obliques, on aurait aussi
MT'=MC*-r; =(x - ao)«+(y-6o)«+(«- Co)«+2{y-. 6o)(z- c,) cos A + 2(z — Co) (x — Co) COS |:a + 2(x — tto) (y — 60) cos V — rj.
Ainsi le premier membre de Téquation d'une sphère où x, y, z sont les coordonnées d'un point de l'espace représente le carré de la tangente menée de ce point à la sphère. Le carré de la tangente MT se nomme quelquefois la puissance du point M par rapport à la sphère. En particulier, la puissance de l'origine est représentée par
ou bien par
Q = a* + 6; + cj + 260C0 cos l -\- 2C^a^ cos p. -j- 200^0 <^os v — rJ, suivant que les axes sont rectangulaires ou obliques.
106. L'équation générale d'une sphère renferme quatre paramètres arbitraires; il faut donc, en général, quatre conditions géométriques simples donnant lieu chacune à une relation entre les paramètres pour
que la surface soit complëtement dëterminée. Assujettir la sphère définie par réquation (2) à passer par un point M (xi yi z«) donne lieu à la relation
Xi* 4" y*' + ^<* + 2Gxi + 2Hyi + 2KZi + L = o;
quatre équations analogues détermineront un seul système de valeurs pour les coeflBcients inconnus G, H, K, L. Donc, par quatre points de l'espace, on peut, en général, mener une sphère et une seule.
Assujettir une sphère h avoir pour centre un point donné équivaut k trois conditions simples; car, si, dans l'équation
(X - aoY + (y - boy + (z - CoY = ri
on connaît les quantités ao, 60, Co, il ne reste plus qu'un seul paramètre arbitraire. Cette équation représente alors toutes les sphères en nombre infini qui ont pour centre le point fixe (aoboCo)-
Lorsqu'une sphère est seulement assujettie à satisfaire à un nombre de conditions inférieur à quatre, il ne sera pas possible d'éliminer de réquation générale tous les paramètres. Il y aura une infinité de sphères qui peuvent satisfaire aux conditions données, et l'équation qui les représente devra encore renfermer au moins un coeflBcient indéterminé. Nous allons donner quelques exemples de sphères assujetties à certaines conditions.
107. Équation générale des sphères passant par deux points donnés. Une sphère quelconque est représentée en coordonnées rectangulaires par l'équation
x* + y* + ^* + 2Gx + 2Hy + 2K;2 4- L = o,
et, pour ses points de rencontre avec les axes, on aura
x' + 2Gx + L = o, y« + 2Hy + L = o, z* + 2Kz + L = o.
Cela étant, si les points donnés sont sur l'axe des x, aux distances a et a' de Torigine, on peut poser
X* + 2Gx + L =» (x — a) (x — a')}
d'où G = — (a — o'), L = an', et l'équation
x« + y« -f z« — (a + a') X + 2Hy + 2Kz + a«' == o
représentera une sphère quelconque passant par deux points de Taxe des or. De même, les équations
x«4.y« -f-z» + 2Gx — (6 + 6')y + 2Kz + 66' = o, X* -}-f/* + 2" + 2Gx + 2Hy — (c -|- c') « -|- ce' = o
définissent : la première, des sphères menées par les points (o, 6, o), (o, 6', o) de Taxe des y; la seconde, des sphères passant par deux points de Taxe des z, aux distances e et c' de l'origine.
Enfin, si les points donnés ne sont pas sur les axes, et ont pour coordonnées Xj^iZi, Xs^sZt, Téquation
(x—x.) (x— x,) + fy— j/i) (y— y*) + (z—Zi) («— t*) 4- [(a?— «i) (y— yi)
— (X —X,) (y — yO] — 1[{X — X|) (Z — Zt) — (X — Xt) (Z — Zl)]
+ »«[(y — y') (- — -*) — fy — yO (« — «»)] = o
représentera une sphère quelconque passant par les deux points {x%yiZi) (xît/tZt). En effet, si on effectue les multiplications, elle se ramène à la forme (2); de plus^ elle est satisfaite par les coordonnées des points donnés, et, comme elle renferme deux constantes arbitraires / et m, elle définit une sphère quelconque qui passe par ces points. En développant, l'équation précédente peut s'écrire
^' + y' + -* — ['I + ^i + y* — y I + Hz* — z,)] x — [y, + yi +xi — xj
+ m [zi—zi)] y — [5i + ^« + '(-^1 — -^0 + *'*(y« — y*)] ^ +^ia:i+yiyj + ZtZi -|- (xif/t — Xiiji) + l(xiZi — XiZj) -f- m (yiZi — y^zt) = o.
Les coordonnées du centre satisfont aux égalités
2x = X, + Xî -f- y« — y« + ' (^* — ^<)»
2y =yi + yî + afi — xi + m(z8 — zj),
2z=zi+^«+»« (yi — yi)+ 1 {xi — xi).
Pour obtenir le lieu des centres, il suffit d'éliminer les paramètres / et m; on trouve ainsi l'équation
qui représente un plan perpendiculaire à la droite des points (xiyiZi), (xsytZs)et passant par leur milieu.
•t#S. Sphère tangente aux plans coordonnés. Si» dans Tëquation
on pose successivemcnl z = o, j/ = o, x = o, il vient
x' -f-y* + 2Gx -|- 2Hy + L = o, x« + «« + 2Gx 4- 2Kz 4- L = o, i/« + z« + 2H// + 2Kz 4- L == o;
ces équations rcprëscntent les cercles d'intersection de la sphère avec les plans coordonnés. Or, si la surface est tangente à ces plans, chacun d*eux doit se réduire à un point. En exprimant que les rayons des cercles sont nuls, on arrive aux égalités
d'où on tire Gs=H=:K, L=:2G*. Le rayon R de la sphère sera déterminé par la formule
R = t i/G»+ H*4- K* — L = db g.
Il en résulte que la sphère tangente aux plans coordonnés aura pour équation
Lorsque les axes sont obliques, le rayon mené au point de contact étant perpendiculaire au plan tangent, il est facile de vérifier que les coordonnées du centre ao, 60, Co ont pour valeurs
sin a sin b sin c
a, 6, c étant les angles des axes OX, OY, OZ avec les plans ZOY, ZOX, XOY. L'équation de la sphère tangente sera donc
\ sin a/ * V smJ/ \ smcj y sinb/\ sine/
