AB'+ BA') + ^(AC +CA') + ^ (AD' + DA')+ ^ (BC'+CB

+ ^ (BI>' + DB') + ^ (CD' + DC) = o.

En particulier, les plans tangents aux sommets du tétraèdre seront

ht As /I4

/^ 1^ /i- A| As A4

rf' rf* rf- A| Af A4

rf* rf* d*

A| At As

1 M. Sphère conjuguée au tétraèdre. Cherchons les valeurs qu'il faut attribuer aux coeflBcients /, «n, n, p, pour que l'équation (3) ne renferme plus que les carrés des coordonnées. Si on égale k zéro les coeffieieiils des rectangles des variables, on trouve les relatimis

Ai&i"''Ai'^A.""°' M;"'"A5^A,'^°' A.A4'^A4"nr.**^*

M;"r'A,"'"Â."~°' M4"*"Â:"^Ât""°' Â;Â:"*"A4"r'Â;~'''

Ainsi les paraihètres I, m, n, p doivent satisfaire à six équations

distinctes; donc, en génëral, il n*est pas possible de faire disparaître les rectangles. Si on avait, entre les éléments du trétraèdre de référence, les relations

Ék^^, f*'^Ék, lî*=i!lL,

A|Af hjht AiAs At»4 »l"4 nthz

les équations précédentes donneraient les égalités

Ljl1—-a.L

i tP m .H

En substituant dans l'équation (3) les rapports - » — » - » dëterminés par ces égalités, elle se réduirait à la forme

(s) «I I A* + at,B« + an(? + a^^ — o.

Or^ si on applique la méthode du numéro précédent pour trouver le plan tangent en un point (A'B'G'D'), on obtiendra

kr,, + BF'., + CF'c + DF», = o,

F désignant le premier membre de l'équation précédente, F'a„ FV» F'c/, F'p,, les valeurs des dérivées partielles de F quand on y substitue les coordonnées du point de contact. En remplaçant les dérivées par leurs valeurs, le plan tangent sera représenté par

aiiAA' 4- astBB' -f- agsCC + a44DD' = o.

Cette équation définit aussi le plan polaire du point (4'B'CD'), lorsque ce dernier est un point quelconque de Fespace. Supposons que ce point soit le sommet i du tétraèdre; on aura B'b=C'k==D'bso, et, par suite, le plan polaire correspondant sera ahAA' bb o, ou A b» o. On verrait semblablement que le plan polaire des sommets, 2, 3, 4 sont respectivement les faces 6 = 0, Gbso, D = o. Donc, la sphère représentée par Téquation (5) est telle que les sommets du tétraèdre

sont les pôles des faces opposées. On dit alors que la sphère est eonjugt$ie an tétraèdre.

Comme il n'est pas toujours possible de ramener IVquation d*ane sphère à la forme (5), il n'existe pas en général de sphère qui soit conjuguée à un tétraèdre donné. On sait que le pôle d'un plan se trouve sur le diamètre perpendiculaire k ce plan, de sorte que, si un tétraèdre et une sphère sont conjugués, les hauteurs du tétraèdre doivent se couper en un point, centre de la sphère.

§ 4. ÉQVknon de la sphèrb en coordonhébs tangentielles.

IM. Soit une sphère de rayon r rapportée à des axes rectangulaires; «, 17 et w les coordonnées d*un plan tangent à la surface; a, 6, c les coordonnées cartésiennes du centre. Inéquation de ce dernier point étant

au -f- 617 -f< cu) — 1 = 0,

on sait que l'expression

au'-^bv-\'cw — I

mesure la distance du point défini par l'équation k un plan quelconque (if, Vf i&). Or, un plan tangent k la sphère étant toujours k la ifistance r du centre, ses coordonnées satisferont à l'équation

a« 4- 6» + cw — I — = r.

|/tt' + »• + »• En élevant au carré et transposant, elle peut s'écrire sous la forme (x) (au + bv-^-cw — i)* — r* (u* + v* + 1©') = o, ou bien

(i') (o* — r') u* 4" (6« — r*) »• + (c* — r*) w* -)- 2ahuv + 2Qeuw -{-zbevu) — 2(aU'{-bV'^ef(f)'\'ï =0.

Cest l'équation tangentielle de la sphère.

Comparons l'équation générale du second degré en u, v et ir

Aw« + AV + A"tc* 4- 2Buv + 2B'uw + 2W'vw 4» 2Cu

-|-2C'v + 2C"w4-F=ro,

avec 1* préeëdente : il viendra, en égalant les coefficients des mêmes puissances,

En ëliminant les quantités a, 6, c, r, on trouve les égalités