I -d»^ d«^ d.^ idî. d\,-d[,d*,-dU

1 dî.-dj.dî, dî,-dÎ4

o -dU -dl,

-dUdU dU-dUdU-dl,

-dUd\,~dld\,-dUd],

Or, on sait que le volume du tétraèdre est déterminé par la relation

o d*^d\,d]^i dltO d*^d\tï dlidlt° d*^i dldl.dl.o I

o dî, dj, dl

dl-d\, dU-dldl^dl dldU^d\,-dl dl-il,

"4l"i« "4l"4» — "il "il

d.U-dl -dl, dU-dl, dU-d'u d\,-dl -d\,

Ce dernier déterminant est égal au coefficient 2R* dans l'équation (/)• D'un autre cAté, on a aussi

-rfî, dU

«*u '•is "m

si on ajoute la première colonne aux suiyantes.

En substituant, il vient finalement pour l'expression du rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre.

0 dj.dî.rfj.

rfî.o rfî.dî.

d^^d\^o dî*

rfî. rfî, d\, 0

d\Atd\, o

191. TVotiver l'équation du plan tangent d la sphère eùreanscrUe au tétraèdre.

Reprenons l'équation de cette sphère

et soit (A'B'C^D') un point de la surface. Une droite quelconque menée par ce point est définie par des équations de la forme

Substituons ces valeurs dans l'équation de la sphère : il viendra

9 (A'B') + p (kt<p\, 4- Àtcp',, -f Xsç'c, + ^49'»/) + 9*9 (^«î^*) = o.

(p'àn 9'b/9 (p'cn 9'd/9 sont les valeurs des dérivées partielles de la fonction 9 (AB) pour les coordonnées A'^ B% C, D'. Mais le point (A'BX'DO éUnt sur la surface, f (A 'fi') => o ; de plus, pour que la droite soit tangente, il faut que la seconde racine de l'inconnue p soit nulle; donc les coefficients directeurs d'une tangente i la sphère satisfont à la relation

En éliminant A|, As, As, A4, il viendra pour l'équation du plan tangent

— t89 — »u pa»t (A'B'CDO

(A - A') q>\, + (B^ V) 9',, + (C - C) (p\, + (D - DQ 9%, - o.

etr» la fonction 9 étant homogène, on a Tégalité

En substituant aux dérivées leurs valeurs, l'équation du plan tangent ' à la sphère circonscrite peut se mettre sous la forme