C — AF C« -^ AT C^^' — A^T
pï p5 pi
Si la sphère est tangente aux plans coordonnés, les quantités a, è, c sont égales au rayon^ et l'équation (r') se réduit à la forsie
2r' (ut> -|- m*? + tou) — 2r (ti -f- 1) -+- K?) -|- I = o. Enfin, si l'origine est au centre de la sphère, on aura simplement
194. Trou^>er téqvation du point de contaei d'un plan ian^fent à la
sphère H (û* + r* + **'') — i ■= o.
Soient (u'v'u)')f (u"v' V) deux plans quelconques se coupant suivant une droite D.Ils sont définis en coordonnées cartésiennes par leséquations
ti'x + u'y + w^z — I = o, m"x + t?"y 4" ^^'^ — I =» o. Un plan quelconque mené par D et représenté par l'équation
aura des coordoonées de la forme
u' + Ail" V' 4- ic" w' 4- Au^'
Exprimons que ces râleurs satisfont h Féquatioa de la sphère. Il viendra, en développant, l'équation du second degré en A
C'A» + 2P'A + C =- o, d'oi^
C " = r* (ii"« + u"* + tt?"*) — I , C'« = r« («'• + »'• + u;'«) — i ,
EUe donnera deux racines pour A, et, par suite, on peut par la droite D mener deux plans tangents à la sphère. Cependant, si on a la condition
les racines sont égales et les deux plans tangents se confondent en un seul : ce qui exige que la droite D soit tangente i la sphère en un point du cercle d'intersection du plan (u'v'w') avec la surface. Remplaçons u''fV'\tt/' par les variables UfV,fo; la relation précédente pourra s'écrire
(k) [r* (iim' + vv' + ww') — i]* — [r* («« + »• + w^) — i]
[r* (ii'« + 17'« 4- w'«) — i] = o.
Cette équation sera satisfaite par les coordonnées d'un plan quelconque passant par une tangente au cercle d'intersection du pian (ttVtc/). Mais, si ce dernier est un plan tangent, on a
r« (tt'« + v'^ 4- fv'*) — I = o, et l'égalité précédente se réduit à
r» (tttt' 4" ^^' + "^"^') — I = o :
équation qui sera vérifiée pour les coordonnées d'un plan quelconque rencontrant {u't/w') suivant une tangente a la sphère, c'est-à-dire, pour les plans passant par le point de contact de ce plan. C*est l'équation demandée.
Si on applique la même méthode k la sphère définie par l'équation
(au '\-bv-\-cu> — i)* — r» (u» 4" ^* 4" ^* *=" °»
on trouvera, pour celle du point de contact d'un plan tangent u' f/ m/), {au -{- bv '\- ew — i) (au'+ *«>'+ en/— i) — r*(iiii'+ w'+ ^f^) = o.
195. Trouver Inéquation du pôle é^un plan {u' v^ 10') par rapport d la epkère r* (ti" -f- v* + w'*) — 1 =« o.
La relation (ft) est vërifiëe par les coordonnées des plans passant par une tangente quelconque du cercle suivant lequel le plan (ii'v'io^) rencontre la sphère; parmi ces plans, ceux qui sont tangents a la sphère ont des coordonnées qui annulent le polynôme r* (ti* -^ v* -{~ ^*) — ' 9 ^^^^ satisfont par conséquent & Téquation
r* (uu' + m' + %oU)') — I =a o
qui représentera un point commun à tous les plans tangents à la sphère suivant le cercle d'intersection du plan (u' v' u/) ou le sommet du cdne circonscrit qui touche la sphère suivant ce cercle; c'est le pôle du plan (11 Vu/).
196. Équation en coordonnieê tHraidriquee tangentieUeê. Considérons maintenant une sphère de rayon R rapportée & un tétraèdre dont les sommets sont : U = o, V = o, W = o, T »» o. Soient A, B, C, D les coordonnées d'un plan tangent, et
f -|- fitB 4- 9iC -j- pD = o,
l'équation du centre de la sphère, La distance de ce point à un plan (A, B, C, D) est exprimée par la fraction (N"* 95)
/A + wB-f-iiC+pD
et, par suite, en égalant cette quantité à R, il viendra pour l'équation Ungentielle de la sphère
fA + wB + wC + pD l + tn + n + p
Élevons les deux membres au carré, et rendona l'équation homogène par la relation fondamentale entre les coordonnées tétraèdriques (N* 90); on aura
(2) aA, 6B, cC, rfD • «^( —7^, 1^ r-^— ) •
Afin de simplifier, posons
l ÀR tu pR
n vR p ttR
l + m'\-n + p 3V' l'\-m'\-n'-\-p 3V L'équation de la sphère en coordonnées tangentielles prendra la forme (2O j oA, 6B, cC, dD Y = (XA + fxB + vC + 7rD)« ; celle du centre sera
XA-f-fAB + vC 4- ttD » o, tandis qne le rayon R aura pour expression
197. Sphère inscrite au tétraèdre. Lorsque la sphère touche la face da tétraèdre qui renferme les points V, W, T, l'équation précédente doit être satisfaite en posant B = C=sD = o; ce qui exige que l'on ait a'A' = À*AV ou A = a. En exprimant que les coordonnées des autres faces satisfont i l'équation, on trouvera aussi fx = 6, v =a c, tt s=a d. Il en résulte que la sphère inscrite au tétraèdre aura pour équation
I aA, 6B, cC, dD j* « (aA + 6B -f cC + dï3)\
Si on développe cette égalité, on verra que les carrés des coordonnées vont disparaître de l'équation; de plus, le coefficient du rectangle AB sera
lah) — 2a6 [cos (06) + 1] s= — 406 cos* — ;
ceux des autres produits AC, AD etc. se trouvent de la même manière. L'équation précédente pourra se mettre sous la forme
a6AB cos» ^ + ocAC cos» ^^ + adAD cos« ^ + 6cBC cos« ^ a 2 ' 2 2
+ 5iffiD cos* ^-^ -h ce/CD cos* ^ = o. * 2 2
Le centre sera le point aA + bB -f- cG + dO =— o, et le rayon aura pour valeur
19S. Sphère conjuguée au tétraèdre^ Après avoir développé Féquation (2'), on verra facilement que lés rectangles disparaissent avec les conditions
^ = — ab coB {06), Av = — oc cos (ac), Air = — ad cos {adj, p = — 6c cos (6c), jUTT = — - 6d cos (6rf), vtt = — cd cos (eti).
En général» il ne sera pas possible de déterminer les paramètres A^^yV^ir de manière à ce que l'équation (2') ne renferme plus que les carrés des coordonnées. Avec les conditions
h ^ cos {ab) cos (ed) = cos (oe) cos (6d) »- cos {ad) cos (6c),
on aurait pour les paramètres les valeurs
. a* cos {ab) cos (ae) cos {ad) . 6' cos (ab) cos (6c) cos (M)
, c* cos (gç) cos (6c) cos {cd) ^ d* cos {ad) cos (6d) cos (cj)
