V --. jg , 7f j

Dans cette hypothèse, l'équation (2^) pourrait se ramener i la forme

(a) an A» + at iB" + tt»»C* + 044©» » o,

et représenterait une sphère conjuguée au tétraèdre.

Pour le démontrer, cherchons l'équation du point de contact d'un plan tangent (A'B'C'D'). Soient A"fi"C"D'' les coordonnées d'un plan quelconque; les équations des deux plans (A'fi'C'D'), {A'^WCD'') seront (N* 66)

oA' A + 6B'B + cC'C + rfD'D = o, aA"A + 6B"B + cC'C + dD"D « o.

Celle d'un plan quelconque mené par leur ligne d'intersection peut s'écrire

o(A' + AA'0A + 6(B' + XB")B + c(C' + AC")C + d(D' + AD'0D — o, et, par suite, nous pouvons prendre pour les coordonnées tangentielles

de Tua quelconque de ces plans

A = A' + U", B=B' + iB", C = C' + AC", D = D' + ÀD".

Substituons ces valeurs dans réquatioii de la sphère. Il viendra

a.iA'«+aMB'«+a,»C'*+a44D'«+2À(aiiA'A''+a«B'B''+a33C'C''+a44D'D'') 4- X«(ai.A"» + a„B"« + a„C"« + 0440"*) = o :

équation dont les racines correspondent aux deux plans tangents que Ton peut mener à la sphère par la droite d, intersection de deux plans quelconques (A'B'G'DÔ, (A''B''G''D''). Si le premier est tangent & la surface, on a Oh A'* + awB'* + «5»^'* + fl**!^'* = o; l'ëquation admet une racine nulle, et, l'un des deux plans tangents coïncide avec le plan (A'B'C'D'). Les deux racines sont égales a zéro avec la condition

au A'A" + a.,B'B" + a„C'C" + a44D'D" =: o,

et les deux plans tangents passant par la droite à coïncident avec le plan (A'B'C'D'); ce qui exige que le plan (A"B"C"D") passe le point de contact et rencontre (A'B'G'D') suivant une droite tangente à la surface. En supprimant les accents aux lettres A", B", G", D'^ il viendra l'équation

an A A' + attBB' + ajsGG' + a44DD' «» o

qui sera vérifiée par les coordonnées d'un plan quelconque passant par le point de contact du plan (A'B'G'D'); c'est donc l'équation de ce point. Lorsque A', B% G', D' représentent les coordonnées d'un plan quelconque de l'espace, l'équation précédente définit (N^ i25) le pôle de ce plan par rapport à la sphère. Or, si on a B' = G' ea D' = o, elle se réduit à aiiAA'sso, ou A = o; de sorte que le sommet As=so est le pdle de la face opposée ou du plan passant par les points Be?=o, G sa o, D => o. On verrait de même que les autres sommets sont les pôles des autres faces par rapport à la sphère. Donc l'équation, (a) représente une sphère conjuguée au tétraèdre de référence.