I -ï- oa' — aft'/t — a'bX + (i
Si on remplace les paramètres variables X et /& par leurs valeurs, on arrive à une équation du second degré.
Afin de mieux déterminer la nature de la surface, rapportons les droites i un système d'axes particuliers. Soit AB = 2d la plus courte distance des droites fixes. Plaçons l'origine au milieu de AB et prenons le plan des xy perpendiculaire k AB. Enfin, nous supposerons que Taxe des x coïncide avec la bissectrice de l'angle des projections des droites sur «y. Les équations des lignes fixes seront
£ = df ( sr = — d,
ys=mx; (y = — fiMp;
par suite, celle des plans passant par ces droites peuvent s'écrire
sr — d = >(y— >fii«), a + d = /*(y + »M'), et on aura la condition
I 4- (i — m*) >/ui = o
qui exprime que les plans sont perpendiculaires. En éliminant X et />&, il vient pour le lieu cherché
y*— inV + (i — m*)2* = d"(i — m"):
équation qui représente toujours un hyperbolofde à une nappe.
-S. Trouver le lieu des points è égale distance de deux droites. fixes. Avec le même système d'axes et les mêmes notations que dans l'exemple précédent, on trouvera
mxy + {i -\- m*) dz := o.
(Test un paraboloide hyperbolique.
4. Trouver le lieu d'un point dont la distance à un point fixe est égal à n fois sa distance à une droite donnée.
"Soft H le point fixe; prenons, pour axe des », la perpendiculaire abaissée de ce
point sur la droite D; plaçons l'origine en un point O, à une distance a du point H; enfin, prenons l'axe des z parallèle i D. L*équation du lieu sera de la forme
d désigne la distance de la droite D à Torigine. En développant elle devient
(I — «")«■ + (i — n*) y* + ** ~ ^<'« + 2«*<<« = «"d* — o", et représente une sar&ce de révolution.
ft. Trourer le lieu d'un point, tel que le produit de ses distances aux faces d'un parallélipipède qui aboutissent à un sommet soit égal à celui de ses distances aui faces qui passent par le sommet opposé.
Soient 2a, 26, 2e les longueurs des arêtes du parallélipipède oblique. Plaçons ]*origine au centre et prenons les axes parallèles aux arêtes. Les équations des faces seront
Désignons par A, yui, v les cosinus des angles des axes, et posons
it = |/l + 2Vv ->• — A*"- V*.
Les distances du point mobile aux faces du parallélipipède seront :
A^llliL., A-y:zi, *-l=l^;
yn^ yT^* VT^*
i/73ir»' Kî^^' i/r=^
L*équation du lieu s*en déduit immédiatement; on trouvera
ou bien
ayz + hxt + 9my + 06c = o ; elle définit un byperboloîde â une nappe dont le centre est l'origine des coordonnées.
•. Trouver le lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits & une surface à centre du second ordre.
Considérons l'ellipsoïde
On sait que le cône circonscrit ayant pour sommet le point (vfy^x^ est représenté par l'équation
ou bien
Pour que It surface soit de rëvolntion, il faut que l'on ait
B'B" BB" BB'
Or, si on remplace les coelBcients par leurs valeurs, on trouve
égalités impossibles et, pour que la surface soit de révolution, Tune des coordonnées y, y', g* devra être nulle afin que deux des trois coefficients B, B% B" soient égaux à léro.
Supposons d*abord is' = o; dans cette bypotbèse, l 'équation du c^ne circonscrit se réduite
Puisque B et B' sont nuls, il faut et il suffit pour que la surface soit de révolution que Ton ait
(A - A") (A' - A") = B"*, ou A"(A" — A — A') + AA' = B"«.
x" y'* Si on substitue aux coefficients leurs valeurs et si on pose i^= hTr^'i
on trouve
ou bien
Enfin, en remplaçant ir par sa valeur et faisant les réductions, on trouve, pour le lieu du sommet du c6ne de révolution dans «y, Téquation
Si on pose successivement y' = o, a' = o, on arrive, par des calculs semblables, aux équations
Z I ^ rri ^ I —
On voit donc que le lieu des sommets des cônes circonscrits et de révolution se compose des trois coniqnes focales.
Si la surface donnée est le parabololde elliptique
le cône circonscrit est représenté par Téqnation
aî« + 2-»y + =0.
ou bien
P\9 J 9\P ) pq ^* q
On yerra que le cône ne peut être de révolution à moins que son sommet ne se trouve dans Tun des plans principaux. En posant «' = 0 et appliquant la condition
A" (A" - A' - A) + AA' = B"«, on arrive à l'équation
Enfln, dans le cas où y* = 0, on trouvera
Ce sont les lignes focales du paraboloîde .
•• Trouver le lieu des centres des surfaces du second ordre tangentes à sept plans donnés.
Soient
Ai = /t« + m^y + ntZ — pj =: 0, Aj = Ux + tn^y + n^t — p^ = o, As = o, A4 = o, A5 = o, As = o, A7:=o,
les plans donnés; x, y» 2 les coordonnées du centre et a, 6, c les demi-axes de la surface. On sait que le carré de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan
tangent à Tellipsoîde -i-4-T-j|+*7=i a pour expression
a* cos" «4-6* cos* /3 + c" cos* y,
a, ^, y sont les angles de la normale au plan avec les axes.
Si on désigne par «i/Sr/j, «t^iy,, a^^m les angles directeurs des axes de la sui*face tangente aux plans donnés, on aura
cos a = /i«i + ifii/9i + nr/i, COS ^ = /la, + ffitjSi + n,/«, cos y = l^oLz + nix^z H-ni/s ;
par suite, l'expression da carré de la perpendiculaire abaissée du centre sur le premier plan sera
De sorte que les coordonnées du centre devront vérifier les égalités
(/t« + «iV -h ntz — pi)« = a» (/lai + mijSi + niyt)" + 6" (/i«i + mi/9, + Ht/») •
+ c* (^«5 + mi/85 + «iyj)«,
+ c" (/i«i + Wi/9i + n,yi)",
(/t» + »hy + ni^r — p,)« = o* (ZtKi + ffh^i + nTVt)* + 6* (^«1 4- »»7^i + «7yt)'
Il faut éliminer a, 6, c et les neuf cosinus directeurs des axes. On y parvient focile-
ment en désignant par >t) ^1 ^7 des coefficients dont les rapports sont déterminés
par les équations
>Wi" + >i'i* + + hii* = o,
hni* + =0,
ViWi + >i^ifWf + • • • -\-X^t^m^ = Of
Wi«i+ =0,
Si on multiplie les équations précédentes respectivement par ^i, Xt ^ti et si on
les ajoute membre à membre, il viendra une équation du premier degré qui représente le lieu des centres des surfaces tangentes aux plans donnés. Le lieu cherché est donc un plan.
•• Trouver le lieu des centres des surfaces tangentes à six plans et dont la somme des carrés des demi-axes est constante.
En conservant les mêmes notations que dans Texemple précédent, il faudra éliminer a, A| e et les cosinus directeurs des axes entre les équations
(liX + iwiy + niz — pi)* = o« (^«4 + «i/Si + fiiyiY + 6* (/la, + m,^, + «iv,)«
+ c* ('««a 4- wie^s + n,ys)*,
Si 00 pose
>ini*+ =1,
MiWi+ +V6m, = o,
V»wi+ =0,
^•iWtWi + =0,
les équations précédentes, multipliées respcctirement par >i, )| >, et ajoutées
membre à membre, conduisent i une égalité où le premier membre est une fonction du second degré ne renfermant pas les rectangles yz, xz^ xy\ de plus, les coefficients des carrés s', y\ 2' sont égaui et le second membre se réduit à a* -f* ^' + (^* = A*. Le lieo des centres est donc une sphère.
•. Le lieu des sommets des trièdres dont les faces sont parallèles à un système de plans diamétraux conjugués d*un ellipsoïde (a, 6, e) et tangentes à un autre ellipsoïde (o', b\ c'] est la surface représentée par Téquation
»* w* z* /oc^ â* v*\ /a'« â'« v'«\
a^y, a'^V, a"/i"y" sont les angles des axes o', 6', e'avec les axes a, 6, e.
f •. Trouver le lieu d*un point dont les distances à deux droites fixes non situées dans un même plan sont dans un rapport constant.
il. Trouver le lieu d*une droite qui reste tangente à une surface du second ordre et qui glisse sur deux autres droites fixes tangentes à la même surface.
tt. Etant donnés un point et deux plans rectangulaires, trouver le lieu des points tels que la distance de chacun d*eux au point fixe soit moyenne proportionnelle entre ses distances aux plans fixes.
IS. Trois droites rectangulaires issues d'un même point rencontrent une surface du second degré en trois points ; le plan qui passe par ces points enveloppe une surface de révolution lorsque les droites tournent autour du point fixe.
14. Par un point fixe on mène trois droites parallèles à trois diamètres conjugués quelconques d*une surface à centre, et, aux points où elles rencontrent une autre surface du second ordre, des plans tangents à cette surface ; trouver le lieu du point d^intersectien de ces plans.
ift. Trouver TenTeloppe du plao passant par les extrëmités de trois diamètres conjugués de i*eIlipsoîde.
!•• Trouver le lieu des centres des surfaces représentées par Téquation
** + y* " ** -f" ^P^^ + ^y^ — *•* ^ 26y -|- 3«» = o dans laquelle a, 6, c sont des constantes données, p et 9 dos paramètres arbitraires.
flV. Quel est le lieu des intersections des plans tangents à un cône du second ordre suivant deux génératrices rectangulaires?
19. Trouver le lieu des intersections des plans tangents à un cône du second ordre et perpendiculaires entre eux.
L On donne trois points fixes A, B, C; trouver le lieu d*un point P de Pespace tel que Pon ait : PA» + PB» = PC».
••. (Joe sphère mobile reste tangente à deux lignes droites rectangulaires qui ne se rencontrent pas ; montrer que le centre de la sphère décrit un paraboloîde hyperbolique.
tfl. Trouver le lieu des sommets des cônes circonscrits à Tellipsoîde suivant des ellipses d*aire constante.
tt. On mène un plan par les extrémités d*un système de diamètres conjugués d*une surface à centre; trouver le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur ce plan.
IS. Montrer que le lieu des diamètres de rellipsoîde
qui sont parallèles aux cordes divisées en deux parties égales par les plans tangents
X* y* z* du cône -j^ -j ;y ^= ^9 ^^^ '® ^^^ représenté par l'équation
ir + 'br'"ér=o.
•4. Trouver le lieu des perpendiculaires abaissées de l*origine sur les plans tangents au cône
o»" -f" *y' + ^^* + 3'»'y« + 2b' gx -t- Zc'xy = o.
tft. Sur chaque rayon d*un ellipsoïde de centre C, on prond un point H tel que TcAGM est Paire de la section centrale perpendiculaire à CM ; montrer que le lieu du point M est représenté par Téquation
a*bh*
