L'identité

2ÎA.PÎ=o

exprimera que toute surface du second ordre passant par les huit premiers points passera par le neuvième. En effet, on a les dix conditions

Si on exprime que la surface renferme les neuf points, on a les neuf égalités

aaj + a'yî+ — i=o,

aaj-|- — i = o,

oxj + o'yj + — 1=0.

Multiplions les équations (a) respectivement par a, a% a"^ 26,...., — i, et ajoutons-les membre à membre; il viendra

+ ^9 («î + «'yî 4 i) = o.

En supposant que les quantités a, a* soient les coefficients de

l'équation d*une surface dn second ordre quelconque qui passe par les huit premiers points, la relation précédente montre qu'elle passera aussi par le neuvième; donc, etc.

Réciproquement, si neuf points de l'espace sont tels que toute surface du second ordre menée par les huit premiers passe par le neuvième, on aura les équations (a') et aussi la relation (^) quelles que soient les valeurs des paramètres; en égalant à zéro les coeflScients de a, a' etc., on retrouve les conditions (a) qui expriment que l'identité 2ÎX|P; = oalieu.

On démontrera de la même manière que, si on a l'identité

entre huit points de l'espace, toute surface du second ordre menée par sept de ces points passera par le huitième; réciproquement, si huit points sont tels que toute surface du second ordre menée par sept d'entre eux passe par le dernier, on aura l'identité précédente.

S09. Lorsque dix couples de points

p,p/ = o, P«Pi'=-o, , P,oP/o = o

sont conjugués d une même surface du second ordre, il est toujours

possible de déterminer des constantes A|, >t de manière d avoir

l'identité l\%V,Vl = o.

Réciproquement, si on a l'identité précédente entre dix couples de points de l'espace, ils seront eorgugués d une même surface du second ordre (P. Sbrrbt).

En dki, A on eifrime que dix couples de points (o^iyiZi), xlyUl), ete.| sont conjugués par rapport à la surface

il vient les dix égalités

axixi + o'y lyi + a"zizl + 6 (y< zi + «ly /) -|oxsxt + a'ytyi + a"ztzi + 6 (yizi + «iy«) +

+ c(ai + x/)+ . • = !, = 1,

axiox/o 4" a'yioyio + a^Ziozlo + 6 (yioi/o + «loy/o) + • « D'un autre côté, pour que Tidentité

2* ^Ai (iut;i + «yi + ^^t — i) (««/ + ^y* + tozi existe, on doit avoir

l^x^x{ + A,y,yi +

^ly^yi + ^«y«yi + ^i(yi«/+«*yO+

"{" A|oX|oX4«

• Aïoyioy/o

• A|oZZi04 0

Si on a la condition

X|X4 XtXi

XioXio

yizl + Zij/i

le système d'équations (d) donnera des valeurs déterminées pour les coeflBcients ùy a', a" etc., et le système {d') admettra aussi une solution

commune pour les constantes Ai : Ai : As II en résulte que si les

points sont conjugués & une même surface, il existera un système de valeurs pour A| : At.... : Aio donnant Tidentité 2}%PiP/^o, et réciproquement.

110. Les théorèmes qui précèdent conduisent à des conséquences nombreuses et importantes; elles ont été développées par M. P. Sbrrbt dans un ouvrage remarquable : Géométrie de direction. Nous allons en donner quelques applications, afin de montrer avec quelle facilité on peut déduire plusieurs théorèmes des identités fondamentales. D*abord, si on décompose la relation identique ^iX^P'^o en deux équations équivalentes

2ÎA,PÎ = o, 2?X,PÎ = o,

elles doivent représenter la même surface du second ordre qui sera conjuguée & la fois aux deux tétraèdres PiPiPsP4 = 09 PsPePiPs^o. Donc, huit points de l'espace^ tels que toute surface du second ordre menée par sept de ces points passe par le huitième, étant partagés en deux groupes de quatre points^ seront les sommets de deux tétraèdres conjugués à une même surface du second ordre.

Réciproquement^ étant données les deux dernières équations , on en déduit l'identité primitive; par suite, si deux tétraèdres sont conjugués d une même surface du second ordre^ toute surface menée par sept sommets passera par le huitième.

Si les sommets i et 5 des deux tétraèdres 1234, 5678 coïncident, on aura six droites 12, 13, 14, 16, 17, 18 issues d'un même point; cinq d'entre elles suffisent & la détermination d'un cône du second ordre ayant pour sommet le point i, car un plan rencontrera ces droites en cinq points qui déterminent une conique appartenant au cône mené par les cinq droites. Il en résulte que si deux tétraèdres ont un sommet commun et sont conjugués à une même surface du second ordre, les six arêtes qui aboutissent au sommet commun appartiennent à un même cône du second ordre.

Ce dernier théorème a lieu si le sommet commun est au centre de la surface, et si les six arêtes forment deux systèmes de diamètres conjugués. Quand la surface est une sphère, trois droites rectangulaires quelconques issues du centre forment un système de diamètres conjugués. Donc, deux systèmes de droites rectangulaires issues d'un même point appartiennent toujours à un cône du second ordre.

SU. L'identité 1^\^\ = o conduit encore aux équations

iJA.PÎ = o, \?l + A,P? + A,PJ == o

qui définissent le même lieu. La seconde représente une conique dans le plan 678 et conjuguée au triangle qui a ces points pour sommets; la première indique que cette même courbe doit être con« juguée au pentagone plan formé par les traces du plan 678 sur les plans des angles du polygone gauche 12345. D'après une propriété d'une cubique gauche, huit points de cette courbe donnant lieu a ndenUté

on peut énoncer le théorème suivant : Le triangle ayant pour som'^ mets les traces d'un plan sur une cubique gauche et le pentagone formé par les intersections de ce plan avec les plans des angles d'un pentagone gauche inscrit dans la courbe sont conjugués d une même conique.

La conique étant déterminée par la condition d'être conjuguée à un pentagone, la troisième trace d'un plan qui passe par deux points a et 6 d'une cubique gauche s'obtiendra en déterminant le pôle de la droite ab par rapport à la conique.

Zt%, Les sommets des douze cônes passant par les intersections de trois surfaces du second degré appartiennent à une même surface du second ordre.

Soient S, S^ S" les trois surfaces ; PiPtPsPi = o, les sommets des cônes passant par la courbe d'intersection de S et S'; PsP6P7P8 = o, PftPioPiiPit = o, les sommets des cônes passant par l'intersection de S et S'', S' et S", La surface S étant conjuguée aux deux premiers tétraèdres, on aura

{d) 2ÎA,PÎ = o.

De même, la surface S' étant conjuguée au premier et au troisième tétraèdre, on peut écrire l'identité

(e) 2îf^.PÎ + 2lVoPÎ=o- Enfin, on aura aussi la relation

if) 2i»v.p;=o,

qui exprime que la surface S'' est conjuguée au second et au troi-

sième tétraèdre. Éliminong Ps et Pu entre (d), (e), (/): il viendra une nouvelle identité renfermant les points 1234, 5^7* 9» ^^f et 11; donc ces dix points sont sur une même surface du second ordre* Mais toute surface qui passe par les sommets 1234567, 1234, 9, 10, 11 de deux tétraèdres respectivement conjugués à une même surface du second ordre renferme le huitième; par suite, les points 8 et 12 doivent appartenir à la même surface du second ordre que les autres sommets.