j-eA+i (pA« + e'A»+(îa* = o
3 et d' sont les discriminants de R et de S; les coeflicients 9 et 6' sont donnés par les formules
dan ' dan '
On les obtient donc en multipliant les coefficients de l'une des surfaces par les dérivées du discriminant de Tautre prises par rapport aux divers coefficients qu*il renferme.
Enfin la valeur de 9 s'obtient aussi en répétant une opération semblable sur 6 ou sur 6'. Ainsi, par exemple, pour les surfaces
ax* + ^y' + <î^* + di* = o, a'x* + by + c'z» + d'i* = o,
on aurait : d «= obcd, d' =» a'b'e'd'. Ensuite
a'bcd + 6'acd + c'abd + rf'aftc,
a6'c'rf'-|- ôo'c'd'-h co'6'rf'+ do'6'c'.
EnfiOi on trouvera pour 9 :
«= 2 Ia'6'cd + o VM + a'd'6c + b'&ad + 6'd'ac + c'd'a6].
Toutes ces quantités sont des invariants simultanés des formes R et S, et une transformation des coordonnées ne changerait pas les racines de l'équation en A. En général, celle-ci n'a pas de racines nulles ou infinies : pour qu'il en soit ainsi, il faudrait que d ou d' soit nul; mais alors l'une des surfaces devrait se réduire à un cône; ce qui est contre notre hypothèse.
Après avoir résolu Péquation du quatrième degré, on substituera successivement les racines dans (3) et on obtiendra les équations des quatre cdnes passant par l'intersection des surfaces du second ordre RetS. Soit A| l'une des racines; le sommet du cône correspondant sera déterminé par
Rj;-f- AiSi = o, Ry"f-AiSy = o, Ri-{-^iSi = 6, RJ-]-AiSJs=o.
Ces équations du premier degré représentent quatre plans qui se coupent en un même point. Les sommets des cônes seront réels ou ima-* ginaires en même temps que les racines de l'équation en A.
SOS, Le tétraèdre dont les sommets coïncident avec les sommets des cAnes passant par l'intersection de deux surfaces du second ordre est conjugué par rapport d toutes les surfaces qui passent par cette courbe*
En effet, le plan polaire d'un point {x'y'z't') par rapport à la surface R-^ AS = o est représenté par l'équation
(P)x(Ri + AS;.) + y(R;. + AS;0 + z(R; + AS;.) + <(R'f + AS9 = o.
Mais si le pôle coïncide avec le sommet du cône qui correspond à la racine A|, on a les relations
Ri' + AjSi' = o, Ri^' + AiS;. = o, Rt + AiS;. = o, R'f 4-.A|Sf = 0;
par suite, l'équation précédente se réduit à
(A — Al) (xsî. +ys;' + «s;. + tSi) = o
ou
xs'^ + ys;. + zs;. + IS9 = o.
Cette dernière définit un plan fixe; c'est le plan polaire du sommet du cdne par rapport à la surface S; ce sera en même temps le plan polaire du même poiat par rapport & toutes les surfaces du système. Les autres sommets des cAnes jouiront évidemment de la même propriété.
Réciproquement, si un .point de l'espace a le même plan polaire relativement aux surfaces R -j- ^S =» o, il doit coïncider avec Tun des sommets des quatre cônes passant par Tintersection de R et S. Car, pour que réquation (P) représente le même plan quel que soit A, on doit avoir
et, en éliminant x', y\ z\ V entre ces égalités, on trouve que la quantité k doit vérifier l'équation du quatrième degré en A; par suite, le point {x'y'z'f) sera l'un des sommets des quatre cônes dont on a démontré Texistence.
Enfin, nous allons voir que le plan polaire du point {x'tfz'i') est celui qui passe par les sommets des autres cônes. Multiplions les égalités
Ri'+^iS«'=o, r;.+Ais;'=o, r; + /is;.=o, R^+iiSt^-o,
^vt x*\y"i zf'jt" et faisons leur somme; multiplions de même les équations
Ri" "f" ^fSi" ="0, Ry" -j- A«S^" = o, Ri'» -|- ?.iSi" = 0, Rf' + /iSf = o, •
par x', y\ z', f et ajoutons-les membre à membre ; en retranchant les sommes ainsi obtenues, il viendra
en observant que dans les expressions
on peut échanger les accents sans changer leurs valeurs. Donc, si Xi et 1% sont des racines dififérentes, le sommet (x'y '«"<") se trouve dans le plan polaire du point {x*y*z'i'). On verrait de la même manière que les deux autres sommets des cônes appartiennent au même plan. Le tétraèdre des sommets est donc conjugué à toutes les surfaces du système.
S94. Lorsque les racines Ai, Ai, As, A4 sont réelles et distinctes, en
rapportant les surfaces R et S au tétsraèdre conjugué, leurs équations seraient de la forme
/A« + fwB* 4- mC« + pD« = o, /'A« + m'B» + n'C* + p'D^ = o,
A = o, B = o, C==o, D = o étant les équations des faces. L'équation en A rte réduit alors à
dont les racines sont :
et les cônes correspondants seront représentés par
(wt/' — /fïi') B« -f (w/' —/n') C« + (pP — /p') D«==o, {/m' — ml') A» + (nm' — m/i') C« -f- (pm' — mp') D« = o, (/„' ni') A« + (mw' — wm') B« + {pn' — iip') D« = o, (/p' — p/') A« + (wip' -pm') B» + (/ip' — pn') C« =o.
Pour que l'un de ces cAnes soft réel, il faut que son équation renferme au moins un terme négatif; on peut vérifier ici en attribuant différents signes aux coefficients /, /' etc. qu*il y a toujours au moins deux équations représentant des cônes réels. La courbe d'intersection des surfaces ne peut être réelle que si les quatre cônes le sont; car, dans l'hypothèse de deux cônes imaginaires, si cette courbe était réelle, en joignant ses points aux sommets des cônes, il en résulterait nécessairement quatre cônes réels»
Avant de considérer d'autres cas, il est bon de remarquer que le cône correspondant à une racine imaginaire de l'équation en A est lui-même
imaginaire. Posons, en effet, Ai = a + pj/ — i; le cône correspondant sera défini par
ou
R + aS + (3j/— i.S = o;
les coordonnées d'un point réel yérifiant cette égalité devraient satisfaire h In fois aux équations R =: o, S = o qui représenteraient ainsi un seul et même cône*
Suppofloas que rëquation en A ait deux racines réelles et deux racines imaginairesi et prenons pour les équations des surfaces
an A* -{- atiB* -|- osbC -|- q^aD* + aaisAB-^- aoisAG + aaiiAD + aotiBC
-}- 2ai4BD -|- 2a54CD = o,
a/iA* 4- ot'iB» -j- o»',C« 4- aUD* + aa/tAB + 2a/»AC + 2o;4AD + 2aflsBC -{- 2a«4BD + 2as4CD = o.
Aux deux racines réelles correspondent deux sommets réels a et |3; les deux autres sommets des cônes sont imaginaires conjugués et la droite qui les réunit est réelle. Soient y ei d deux points de cette droite; rapportons les deux surfaces au tétraèdre a^. Un point quelconque (Ao Bo o o) pris sur a^ admet un plan polaire passant par yd) or, l'équation de ce plan pour la première surface est :
Ao (an A + aiiB -l" a^C + auD) + Bo (anA + ottB + a^C + af4D) = o,
et pour qu'elle ne renferme que les coordonnées A et B on doit avoir
ûi8 = o, a«4 = o, a%z = o, ai4 = o.
En exprimant ensuite que le plan polaire du sommet a passe par |9» on trouve encore ait«=o; il en résulte que les équations des surfaces rapportées au tétraèdre a^yi seront de la forme
/A* + iiiB» + nC« + pD« + 2rCD = o, /'A« + m'B« + fi'C» +p'D« + 2r'CD = o.
Cherchons encore les coordonnées des sommets imaginaires des eAnes situées sur yd. Les plans polaires d'un point (o o Co Do) de cette droite sont définis par
C (nCo + rDo) + D (pDo + rCo) = o,
C (n'Co + r'Do) + D (p'Do + r'Co) = o.
Pour les sommets des cônes ces plans doivent coïncider et, par suite, on doit avoir
nCo + rPo pDo -f- ^ n'Co +r'Do "~p'Do + KCo
ou, en développant et supprimant les indices,
(it) (nr' — rw') C« + (np' — pn') CD + (rp' — pr') D* — o.
D'un autre cAtë les points dlnlevseolion de la première surftioe avee la droite Py satisfont à Téquation
»C* + pD* + 2rCD = o;
ces points sont harmoniquement conjugues par rapport aux sommets imaginaires. Si on exprime que les plans des deux dernières équations forment un système harmonique, on trouve :
np' — pn'esso, ou bien. -; = -^.
Eu égard à ces relations, Téquation (k) se réduit k
«C* — pD" =» o.
Ces points devant être imaginaires, il faut que n etp soient de signes contraires; en choisissant convenablement les sommets y ei d sur la droite yi^ on peut encore poser n = — p. Diaprés cela les équations des surfaces peuvent s'écrire
/A« + mB« + Il (C» — D«) + 2rCD = o,
r A« + rn'B* + n' (C« — D«) + 2r'CD =« o.
Dès lors réqualion en A se réduit à
(/ + II') (m + Am') [(n + An')' + (r + Ar')'] = o,
et les cônes qui correspondent aux racines réelles :
seront représentés par
{mV - Im') B« + (w/' — In') (C« — D«) + 2 (W — Ir') CD = o, {ml' — Im') A« + (iwn' — nm') (C« — D«) + 2 {mr' — rm') CD «= o.
Enfin, si on divise par ml' — /m% les équations des cônes se présenteront sous la forme,
B« -f it (C* — D«) + 2ACD = o, A« + A' (C« — D«) + 2A'CD = o.
Ces cônes sont réels; car, si keik' sont positifs, en posante es o, leurs équations donnent des plans réels qui rencontreront le plan C suivant des droites réelles appartenant aux cônes, et les points d'intersection de ces droites seront des points réels de la courbe commune aux
deux quadriques; on arrive au même résultat pour D s»o, lorsque k et A;' sont négatifs. Si k et A' sont de signes contraires, on posera G e=s -^ D lorsque h et h' sont positifs, et G = D lorsque h et A' sont négatifs; enfin, si X; et k' sont de signes contraires ainsi que h et A', en posant G &= pD on vérifie encore qu'il est toujours possible de déterminer p de manière h obtenir des plans réels. Donc, lorsque l'iquaHon en la deux racines réelles et deux racines imaginaires la courbe d'intersection des surfaces est toujours réelle.
Enfin, lorsque l'équation en A admet quatre racines imaginaires, les cAnes sont imaginaires, mais leurs sommets étant des points imaginaires conjugués, on pourra construire les droites qui les réunissent deux-àdeux. Soient D et D' ces droites; en menant par D un plan quelconque, il rencontrera les cônes qui ont leurs sommets sur D suivant des droites imaginaires; or les deux droites d'intersection du premier cône étant respectivement conjuguées aux droites analogues du second cône, elles se rencontreront en deux points réels. Par conséquent, lorsque Féquation en A a quiUre racines imaginaires^ la courbe d'intersection des deux fuadriques est toujours réelle.
SOft. Gonsidérons maintenant quelques cas exceptionnels où l'équation en X admet une racine multiple. Soient, en premier lieu, les équations
mB« + nC* -f pD« + 2rAD = o, ^*^ rn'B» + n'C* + p'D' + ar'AD = o,
qui représentent deux surfaces du second ordre passant par le sommet a du triangle de référence et se touchant en ce point; le plan tangent commun est D => o. Si on forme l'équation du 4* degré, on trouve
(r + Ar')* (m -f- hn^) (n +' An') = o ;
elle admet une racine double et deux racines simples. Le cône correspondant à la racine double est représenté par
(fwr' - rm') B» + (wr' - m') C« + (pr' — rp') D* = o.
Il a son sommet au point de contact des surfaces. Tout plan mené par a coupera les surfaces suivant deux coniques qui se touchent en ce point; ce dernier est un point double sur la courbe d'intersection du
4* ordre et ses tangentes sont les droites d'intersection du plan tangent commun avec le cAne, c'est-i-dire, les droites
D = o, {mr' - rm') B« + {nr^ — m') C« = o.
Si, dans le système (s), on pose p c=p' m o, on obtient les équations
mB* 4- nC« + 2rAD = o, m'B« + n'C« + 2r'AD = o.
Elles représentent deux surfaces qui se touchent aux points a et J du tétraèdre de référence; leurs plans tangents en ces points sont respectivement : D = o et A = o. L'équation en 1 reste la même, mais le cône correspondant à la racine double se réduit aux deux plans
(nir' — rm') B« + (nr' — m') C« = o.
La courbe d'intersection des surfaces se compose alors de deux coniques planes.
Posons encore dans le système {s) m =» ftr, m! »= kr' ; il viendra les équations
wC» 4- pD» + r (fcB« + 2AD) = o,
n'C« + p'D^ + r' (ifcB» + 2 AD) = o
donnant lieu à une racine triple : À = -' Le cône correspondant
est défini par
(wr' — rv!) C« + {fr' — rp') D« = o,
et se réduit à deux plans distincts. Les surfaces se touchent toujours au point unique a; leur courbe d'intersection se composent de deux coniques planes qui admettent une même tangente au point de contact commun, la droite d'intersection des plans G et D. Si Ton avait p = p' = o, les équations
nC« + r (ikB' + 2AD) = o, n'C* + r' (ii:B« + 2AD) = o
donneraient lieu aussi à une racine triple; mais le cône correspondant se réduit à deux plans qui coïncident, G* =» o.
Les deux coniques d'intersection se superposent et les surfaces se raccordeiit tout le long de cette conique double.
Dans le cas d'une racine triple, il pourrait aussi arriver que le cdne correspondant soit un cdne proprement dit; alors la ligne d'intersection des surfaces serait toujours une courbe du 4* ordre ayant un point double & tangente unique, c est-i-dire, un point de rebrousscment.
S06. Soit, en second lieu, le système d'équations
mB» + «C« + 2/)BD + 2r AC = o, m'B« + n'C« + 2p'BD + 2r'AC = o.
Elles définissent deux surfaces qui passent par une même droite : Boseo, Csso, et qui se touchent aux points a et d de cette droite. L'équation en X se réduit à
(r + Ar')Mp + V)' = o;
elle admet donc deux racines doubles et les cAnes correspondants sont représentés par
(wr' — m') B« + (nr' — m') C* + 2 {pr' — rp') BD = o, {mp' — pm') B« + («/}' — pn') C« -j- 2 {rp' — pr') AC = o.
Ils ont aussi la droite ad pour arête commune. En laissant celle-ci de côté, la courbe de pénétration des surfaces ne sera plus que du troisième ordre; on lui a donné le nom de cubique gauche*
Une cubique gauche provient donc de l'intersection de deux hyperbo* loïdes ou de deux paraboloîdes qui ont une génératrice commune. Elle sera représentée d'une manière générale par deux équations du second degré avec six paramètres arbitraires; car les surfaces du second ordre qui passent par une droite satisfont & trois conditions distinctes et elles ne peuvent plus être assujetties qu'à six conditions nouvelles. Il s'ensuit qu'une cubique gauche est complètement définie par six de ses points.
Deux plans ou toute surface du second ordre ne peuvent rencontrer une cubique gauche en plus de six points; par suite, une surface du second ordre qui passe par sept points de cette courbe doit la renfermer entièrement. Nous avons vu précédemment que les surfaces du second ordre menées par sept points de l'espace passent par un huitième point fixe; mais si les points appartiennent à une cubique gauche, le huitième point sera indéterminé et pourra occuper une position quelconque sur cette courbe. Il résulte de cette remarque que huit points d'une cubique gauche sont <eb, qw toute surface passant par les sept premiers passera
par le huitième et deux tétraèdres inscrits dans une cubique gauche seront conjugués à une même surface du second ordre.
P0SOQ8, mainteaanty dans le système qui précède, p = kr^ p' =a kr' ; les équations deviennent
mB« + nC« + 2r (/kBD + AC) -= o, m'B' + '^'C*-!- 2r\kBD + AC) = o.
Elles donnent lieu à une racine quadruple dont le cône correspondant se réduit aux deux plans :
{mr' — rm') B« + {nr' — m') O = o,
qui se rencontrent suivant la génératrice commune. On vérifie facilement que les surfaces ont les mêmes plans tangents tout le long de cette droite; elles se raccordent suivant la génératrice commune qui doit être considérée comme une droite double dans l'intersection. Le plan d'une section commune rencontre chaque surface suivant cette droite et une autre génératrice. Les deux surfaces ont ainsi en commun trois lignes droites. Le système suivant :
pD« + r [A (B» + C*) + 2AD] = o, p'D« + r' [k' (B» + C«) + 2AD] = o,
donne également une racine quadruple^ mais le cône correspondant se réduit a deux plans coïncidents : D' bs o.
Comme ce plan rencontre les surfaces suivant les deux mêmes droites^ il s'ensuit que l'intersection se compose de deux droites doubles, c'est-àdire que les surfaces se raccordent tout le long des droites communes.
Dans le cas où le cône correspondant à la racine quadruple serait un cône proprement dit, on démontre que l'intersection des surfaces se compose d'une droite et d'une cubique gauche qui touche cette droite.
% 3. RELATION ANALYTIQUE ENTRE DIX POINTS d'uNE SURFACE DU SECOND ORDRE, ENTRE DIX POINTS CONJUGUÉS A UNE MÊME SURFACE. APPLICATIONS.
SOT. Lorsque dix points représentés par les équations
p, =s tixi + vyi -|- trj^i — 1=0, Pj = o, , p,o = o
appartiennent à une même surface du second ordrcj on peut déterminer des constantes Ai, As ho de manière à avoir l'identité
Rëciproquement| si dix points de l'espace dtmnent lieu à ceite relation identique^ ils seront situés sur une même surface du second ordre.
Supposons que les dix points (xiyiZi), (^i^i^t), appartiennent
à la surface
ax* + a'y* + *"*' + ^^^ + • • 2c"z = i ;
on aura les dix égalités
axj -|- a'j/î + a"«î + 2by^z^ + + ^«''«i = i>
axj + a'yî + o";5Î + 26y,Zj + +2c"«, = i,
(/i)axî + o'yî + a%«H-26y,«,+ +2c''z,^i,
Pour que ces équations admettent un système de valeurs déterminées pour les paramètres, on doit avo
D'ua autre cAté, si on a l'ident
té
il faut que les coeflBcients des diverses puissances des variables u, t>, to soient nuls séparément ainsi que le terme indépendant; on aura aussi les dix conditions
/,x» + Vî -H /,«; + iio*i*o = o«
Ky\+ =0.
Viyi + V»yi+ +^io«ioyio==o.
\yt'i + =o>
Vi+^«*t+ +^10*10=0.
Ces équations admettront un système de valeurs déterminées pour les rapports X| : Ai : As, avec la condition
X| Xj X3
yî y\ yî
Cela étant, si les dix points appartiennent & une surface du second ordre, la condition (<) est satisfaite puisque les équations (A) sont vérifiées par un seul système de valeurs des paramètres; mais, la condition {$) est la même que (s'), et, par conséquent, il sera possible de déterminer des coefficients A4, A| qui donnent l'identité 2|®A^Pj = o.
Réciproquement, si Pidentité précédente existe, la condition («') sera vérifiée ainsi que la condition («); donc les équations (h) donneront un seul système de valeurs pour les paramètres et il existera une surface du second ordre passant par les dix points.
D'après la signification du premier membre de Téquation d'un point, le théorème précédent revient à dire que la condition nécessaire et suffis santé pour que dix points de f espace appartiennent à une même surface du second ordre^ c'est que le$ carrés de leur distance à un plan quelconque soient liés par une relation linéaire et homogène 2{®A^P' = o (P. Sbrrbt).
