SURFACES DE SECONDE CLASSE ASSUJETTIES A CERTAINES CONDITIONS
SIS. Considérons deux surfaces de seconde classe définies par les équations tangentielles
Les plans tangents communs h ces surfaces se rencontrent successive* ment suivant des droites dont le lieu est une nouvelle surface qui les enveloppe complètement et qu*on appelle surface développable eirconécrite aux premières. Nous étudierons plus loin les propriétés des surfaces développablcs; il nous suflBt, pour le moment, de savoir que la classe d'une telle surface se désigne par le nombre de plans tangents qu'on peut lui mener par un point de Tespace. Or, si on élimine entre les équations S et S' et celle d'un point A = o, les variables u et v, on arrivera à une équation du 4« degré en w dont les racines correspondent aux plans tangents communs passant par le point A. Donc,
la développable eircotuerite d deta surfaces du second wdre est gini' rakment de la quatrième classe.
Nous verrons bientôt que la classe de la développable peut s^abaisaer d'une unité dans certains cas; c'est ce qui arrive quand les surfaces de seconde classe sont des hyperboloîdes, des paraboloïdcs ou des cônes qui ont une génératrice commune.
SI 4. Surfaces tangentes à huit plans. Si on désigne par S=so, S' sa o les équations de deux surfaces déterminées et tangentes à huit plans donnés, l'équation du second degré
où A est un paramètre arbitraire, définit une surface quelconque de seconde classe jouissant de la même propriété de toucher les plans donnés; car les coordonnées de ces plans annulent S et S' et vérifient l'équation. De plus, les surfaces S et S' sont tangentes k une même développable de la 4* classe et tout plan tangent commun à S et S' touchera aussi une surface quelconque du système. Donc, toutes les surfaces de seconde classe tangentes d huit plans sont inscrites dans une même développable.
Nous avons vu (N*" 37i) qu'en général neuf plans tangents déterminent une surface de seconde classe et une seule. Cependant, si les plans donnés étaient tangents & une même développable de la 4* classe, circonscrite à deux surfaces S et S', il y aurait une infinité de surfaces de seconde classe renfermées dans l'équation S-f-XS'=3 0 qui satisferaient à la condition de toucher les neuf plans donnés; on dit alors que ces plans ne sont pas distincts.
THÉOftiME t. Le pâle d'un plan fixe par rapport aux eur faces de eeconde clasee tangeniee à huit plané décrit une ligne droite»
Car, rëqaation du pôle d'un pian par rapport à la surface S-l-^' = 0 est de la forme
et, quel que soit 1, il se trouvera sur la ligne qui joint les points F =0, F as o.
Si le plan fixe est à Tinfini, son pôle coïncide avec le centre de la surface; donc, les centrée des eurfaoee de eeconde datée tangentes à huit plans sont sur une même droite,
9, Les droites conjuguées d'une droite fixe par rapport aux surfaces de seconde classe tangentes à huit plans sont sur un mêtne hyperboloîde.
En effet, les pôles de deaz pltns passant par la droite donnée ayant pour équations
P + AP' = o, Q4-iQ'=o.
la droite qui les joint engendrera la surface PQ' ^ QP' =r o.
S. Lô plan polaire d*ttn point fiae par rapport ans êurfaeeê iangenteg à hnit plam enveloppe une turfaet développable de la S* elatêe,
4. les plane diamétraux eot^u^nèe d'une même direction dane les eurfacee tangeniee à huit plane enveloppent une enrfaee développable delaZ* elaeëe,
SI 6. Surfaceê tangentes à sept plans. Soient
S = o, S' = o, S" = o les équations de trois surfaces tangentes à sept plans donnés. L*équation
S + ÀS' + fjiS" = o
où A et |ui sont des coefficients indéterminés représentera d'une manière générale toutes les surfaces de seconde classe tangentes aux mêmes plans, puisque leurs coordonnées annulent les polynômes S» S' et S'' quels que soient A et [x. Mais les équations du second degré
donnent en général huit solutions communes; il en résulte que toutes les surfaces du système ne touchent pas seulement les sept plans donnés, mais encore un huitième plan fixe. Donc, toutes les surfaces de seconde classe tangentes à sept plans touchent un huitième plan fixe.
D'après un théorème démontré précédemment (N^ 288), les huit plans étant partagés en deux groupes seront les faces de deux tétraèdres conjugués à une même surface du second ordre.
TaioaiMB. 1. Le pôle d*un plan fiae par rapport au» eurfacee de eeeonde elaeee tangentee à sept plane décrit un plan fiae. Car Téquation du pôle est de la forme
et, quelles que soient les valeurs des paramètres, ce point reste dans le plan passant par les points P = o, Q = o« R = o.
t. Le$ centres dee surfaceê de seconde classe tangentes à sept plans sont dans un même plan '
s. Le pkm polaire d'un point fime par rapport aum eurfaeee de êecondt ekuëe tangenteê à eept plane enveloppe une eurfaee de 3« elaeee. En effet, si on élimine > et /« entre les équations
P' + Xy + /«R' = 0, F' + )Q" 4- mR" = o, P"' + IQ"' + pW" = o
qoi représentent les pôles de trois plans passant par le point fixe, on arrive i réqnation du troisième degré
4. Lee plane diamétraum confuguée d^une même direetion dane lee eurfaœe de eeeondê elaete tangentee à eept plane enveloppent une eurfaee de troieième elaeee,
•!•• Si dans l'équation S-{*AS'=io, la surface S' se réduit à l'ensemble de deux points AB = o, il yient
S + AAB = o.
Dans cette hypothèse, la développable circonscrite à S et S' se réduit au système de deux cènes circonscrits et ayant leurs sommets aux points A =3 o, B sa o. L'équation précédente est satisfaite quel que soit A par les coordonnées des plans tangents à S passant par les deux points A et B; elle définit une série de surfaces de seconde classe inscrites dans les deux cônes. Les plans tangents i S et passant par les sommets A et B seront communs aux deux cônes et toucheront toutes les surfaces du système. Celles-ci sont donc doublement tangentes et devront se couper suivant deux courbes planes; chacune d'elles satisfait k huit conditions, et, par conséquent, on doit regarder l'équation précédente comme représentant en coordonnées tangcntielles une surface quelconque de seconde classe doublement tangente k S. Les surfaces représentées par les équations
S = o, S + AAB = 0, S -f fxAC = o
sont inscrites dans un même cône du second ordre dont le sommet est A=so; en les retranchant membre k membre, il viendra pour les sommets des autres cônes circonscrits aux surfaces prises deux k deux,
B a= o. C = o, XB — fxC = o.
On voit que ces trois points sont sur une même droite.
SI 7. Lorsque les sommets des cônes circonscrits aux surfaces S + ^Afi =3 o coïncident, on a l'équation
elle représentera une série de surfaces qui se touchent tout le long de la courbe de contact du cône avec S; c'est l'équation générale en coordonnées tangentielles des surfaces de seconde classe circonscrites à S, A as o étant le pôle du plan de raccordement. Les équations
définissent deux surfaces circonscrites & S suivant les coniques d'intersection avec cette surface des plans polaires des points A s» o, B &» o. En les retranchant membre à membre, on trouve
U« — uB» = o.
Cette équation représente les sommets de deux cAnes circonscrits aux deux surfaces; ces sommets jouissent de la propriété de se trouver sur la droite des points A et B, et de former avec eux un système harmonique.
118. Lorêqu^une iurfaee de seconde classe est drcanserite à un quadrilatère^ les plans tangents menés par une droite à la surface et les plans passant par cette droite et les sommets opposés forment un faisceau de six plans en involution (Foub).
Soit 0123 un quadrilatère gauche dont les sommets ont pour équations
Ao ^ o^ Ai Ks o. As = 0, As ■" o.
Là surface circonscrite est représentée en coordonnées tangentielles par l'équation
AoAt — AA1A3 B=» o.
Menons par une droite d un plan P tangent à la surface; désignons
par po la perpendiculaire abaissée du sommet o sur la droite d^ et
A par o,P l'angle d'un plan mené par d et le point o avec le plan P.
On aura
: Po sin o,r*
|/tt* 4" ^* + <*^'
De mémey
»PiSini,P, — == =ptSin2,P, z=r=p88iD3,P.
l/tï'+ï^+tr» j/m*+u*+w« (/ii«+r*+io>
En substituant dans Téquation de la surface, il viendra
A A fopt sin o,P sin 29P .
A A pifs sin i,P sin 3, P
On aura aussi pour le second plan tangent P' passant par la droite d
A A PqP% sin o,P' sin 2,P' .
pipssin i,P'sin3,P' On en déduit
sin o,P sin 2,P sin o,P' sin 2,P'
sin i,P sin 3,P sin i^P' sin 3,P' et, par conséquent, les six plans forment une involution.
S 19. Si un hexagone gauche formé de six génératrices appartenant trois à trois aux deux systèmes est inscrit dans une surface de seconde classe^ les droites qui joignent les sommets opposés concourent en un même point (Folie).
Soit 1 23456 (Fig. 56) rhexagone gauche, et
A| = o, Al ^ o, Aa = o, A4 = o, A5 = o, A6 = o
les équations des sommets. Si on prolonge le côté 45 jusqu'à sa rencontre
en a avec le côté 12, on obtient deux quadrilatères inscrits 1560, 234a qui ont un sommet commun A b= o. L'équation tangentielle de la surface sera
AAAé — |uiAiA6 = o ou iiAAj — |uiiA«A4bbo; d'où on déduit l'identité
/AAe — |xAi As ^ /lAAs — fji|AiA4.
Il en résulte que les équations
A (AAe — A1A5) =3 o, fxAiAs — /JI1A1A4 = o représentent le même lieu; la seconde est satisfaite en posant
Afsso, Ai=»o; Ab = o, A4 = o;
ces équations déterminent le point a, intersection des lignes AiAf, A4AB; elle est encore vérifiée en posant
Ai = o, A4 = o; Ab = o, At=»o;
ces équations définissent le poiot dMntersection des diagonales 14, 25, et comme il doit coïncider avec le point AAe — ^As = o de la première équation, on voit que les diagonales ont un même point commun.
190. Étant données trois surfaces de seconde classe S, Si, Si, on mène une surface Si inscrite dans la diveloppable circonscrite à S et Si; une surface s^ inscrite dans la développable circonscrite d S e( Ss; les développables respectivement circonscrites aux surfaces Si et Sf, Si et St sont tangentes à une même surface de seconde dasse.
En effet, les équations tangentielles de Si et St sont de la forme
S — kiSi = 0, S — *,Si = o ;
on en tire par soustraction
fciSi — fcjSî = o :
équation qui représente une surface de seconde classe inscrite dans la développable circonscrite à Si et St» ainsi que dans la développable circonscrite & Si et ss, puisqu'elle est satisfaite en même temps que les précédentes.
191. Étant données trois surfaces de seconde classe S, Si, S — kSi inscrites dans une mime diveloppable^ et une autre surface diterminie 8 =3 Oy on mène deux surfaces Si et St, l'une inscrite dans la dtvelop^ pable circonscrite d s e< S, l'autre dans la diveloppable circonscrite à s 6( Si, les divdoppables respectivement circonscrites à Si et St> s et S — tôi, touchent une mime surface du second ordre.
En eflfety si on retranche membre à membre leè équations des surfaces #1 et $%
après avoir multiplié la seconde par it» il Tient
S — ifcSf — (*i — kkt) s — o.
Donc, etc.
S }. DÉVBLOPPABLB CIRCONSGRITB A DEUX SDRFACBS DB 8EG0NDB CLASSB.
SM. Soient les deux surfaces de seconde classe représentées par les équations.
R =3 aiiU* -f- Oh»' + CssiD* + «44r* + aanuu + zaï^uw + zauur
-f- aanvw + 201 iVr + aawirr = o,
S = oiiii' + aitv* -f- Osa*;* + o^V* + so/tu» + aoisuu? + 20 uur
+ 20tsVti; + 2auw + 2084trr = o.
Les lettres «, v, tv, r peuvent aussi désigner les coordonnées tétraédriques. L'équation
R + fjtS = o,
dans laquelle (i est un paramètre arbitraire, définit un système de quadriques ayant les mêmes plans tangents communs que les deox premières; elles sont inscrites dans la développable circonscrite & R et S. Dans ce système, il y en a quatre qui se réduisent à des coniques planes ; car, si on exprime que Téquation représente une conique, on a les relations (N<» 373)
(p) R;+pis;=o, R;+fxs;=o, R;+f*si=o, R;+ps;=o,
et, en éliminant les variables, on trouve
oii+fjtoii, ati-\'iMili9 Oi»+/xo/i, Oi4+fx»44 =0. o«4 + ftoii, au +f*«««> an+iiaizi 014 +fxot4
«51 +1^151, Ojt +/^05î, 05» 4"/^*"> *»♦ + f^^»*
04I+|U1041, 04t+fJl04t, O43+PO4J, 044+fX044
ou bien, en développant,
d + Jtfx + i /jx» + if fji» + dy — o.
Les coeffidento d et éP sont les discriminants de R et de S; les coefficients k, k^ et /"s'obtiennent par l'opération indiquée précédemment pour 0, 6' et cp. Cette équation du quatrième degré étant résolue» on substituera chaque racine dans les relations (p) pour en déduire les coordonnées du plan de la conique correspondante. Ainsi, il exisUt en général^ quatre coniques inscrites dans la diveloppable eirconserite d deux surfaces de seconde classe. On les appelle souvent lignes de striction ou lignes nodales de la développable.
SM. Les plans des cofiiques inscrites dans la diveloppable forment un tétraèdre conjugué à toutes les surfaces du système.
L'équation du pôle d'un plan {u' t/ w' r') par rapport à la surface R ^ |iS = o est de la forme
Or, si le plan {u' v' uj' r') coïncide avec celui de la conique quf correspond i une racine fxi, on a :
R^ + i^iSi» = 0, Ri» + fXiSj» = o, Ri^ + (iiS^ = o, Rî* + f*«SJ* = o,
et l'équation précédente se réduit à
(fx — fxi) [mS^. + «Si» + irS,;. + rS;-] = o,
ou bien
tis^. + «s;» + ti?si. + rs;» = o
qui représente un point fixe. On démontre aussi que, réciproquement, si un plan a pour pôle un point fixe par rapport k toutes les surfaces du système, il coïncidera avec l'un des plans des coniques inscrites dana la développable.
De plus, le pôle du plan {u'v'u/r') est le point d'intersection des plans des trois autres coniques. En effet, pour les coniques correspondantes aux racines /uii et fxi, on a :
Rn' + f**si' — o, Ri.+^is;. = o, Rif+inSi^ = o, r;. + juiis;- =» o,
Ri"+fAïSi"s=o, Ri"+fxtSi"==o, Ri"+fXfSi" = o, RJ"+|ui«S^»«=Q.
Multiplions les premières égalités respectivement par u'\ v'% w"^ r'' et faisons leur somme; de même, multiplions les autres par ti', v% w\ r' pour les ajouter ensuite membre à membre; en retranchant les deux sommes ainsi obtenues, on trouve
(fx, — fx,) (tt"S;. + t;"S; + w'^S;^ + r"S;) = o :
relation qui prouve que le plan u"j v", w'\ r" passe par le pAle du plan (tf'y v'f to'f r',). On démontre de la même manière que les autres plans passent par le même point; donc le pâle d'une face du tétraèdre des plans des coniques est le sommet opposé et ce tétraèdre est conjugué k toutes les surfaces du système.
194. La détermination des coniques de la développable et celle des cônes passant par Tintersection de deux quadriques dépend de la même équation du quatrième degré. En effet, nous avons vu que, pour les surfaces
R = anX* + a%^* + = o,
S = a4i x' + atij' -)- =0,
réquation du quatrième degré en A est :
d+ ei + i (fi* + e'A» + d'i* = o,
d et 3' étant les discriminants de R et de S, et les coeflScients 0 et 0' ayant pour expressions
ô = rtiiAii -|-oitAit +
â' = au Ail 4" ûnAit +
Enfin, le coeflBcicnt 9, d'après son origine, est le produit des déterminants du second ordre que Ton peut former avec les coeflScients de i par les déterminants analogues mais complémentaires de d\ Ainsi, on a
Cela étant, considérons les équations en coordonnées taugentielles des mêmes surfaces
Antl* -|- AmW' -}- • • • • • =0 A|iM* + A',tw* + =0,
€t formons réquation en [i pour celles-ci. Ce sera
Les coeflScîents d et d' sont les discriminants des équations précédentes ou les déterminants réciproques de S et de 3\ En vertu d^une propriété de ces déterminants, on aura
Le coefficient k s'obtient en multipliant A/i, Att etc. par les premiers mineurs de d qui ont pour valeurs au$*j au^* etc.; il vient donc
k = 3*(ai4A/i + awAf', + • •) = ^'(î'.
On aura de même, k' =» ^^'^
Enfin, le coefficient /* est une expression de la forme
f= (AhA„ — Al.) (AijA;* — AiJ) + ...,
ou bien, en remplaçant les seconds mineurs des réciproques par leurs valeurs
/•=r W [{aizau — as*)* (a/iaii — ait)* -] ]
c'est-i-dire
f= (fdd'.
En substituant ces diverses valeurs, Téquation en (a devient :
Or, si Ton pose : fi = -r- » on retrouve Féquation du quatrième degré
en >. Donc, connaissant les racines de celle-ci, on aura immédiatement, par la relation précédente, les racines de l'équation en fx, et, par suite, les coniques planes de la développablc circonscrite aux deux quadriques.
SS5. La discussion faite dans le chapitre précédent sur la nature des cônes et de la courbe d'intersection de deux surfaces du second ordre s'étend d'elle-même aux coniques planes et à la développablc de ces surfaces définies par des équations tangentielles. Ainsi :
i<* Lorsque les racines de V équation en /ji sont réelles et différentes^ les plans des lignes nodales sont toujours réels et si les coniques qu'ils renferment sont réelles^ la développahle circonscrite est réelle; il n'arrive jamais que les quatre coniques sont imaginaires; si deux d'entre elles sont réelles seulemenfy la développablc circonscrite est imaginaire.
3^ Lorsque l'équation en fx admet deux racines réelles et deux racines
imaginaires^ il existé seulement deux plans rieh renfermant deux lignes nodales réelles^ et la divetoppable circonscrite est toujours réelle.
3® Lorsque Inéquation en (Jl a quatre racines imaginaires^ les lignes de striction sont imaginaires, mais la développable circonscrite est toujours réelle.
S96. La développable circonscrite à deux quadriques est de la qua^ trième classe et du huitième ordre.
Pour le démontrer, soient
les équations des surfaces. Si on les combine avec celle d'un point quelconque
o'a -f- t'o + c'ii? + d^r = o,
on trouvera quatre solutions communes; par suite, il exisle, en général, quatre plans tangents passant par ce point, et la développable est une surface de la quatrième classe.
De plus, toutes les quadriques inscrites dans la développable sont données par Téquation
(ail + /^an)«*' + («M + fJta«i)w* + = Oi
ou bien, en coordonnées ponctuelles.
an 4-fJUï/i ûti -j-f^aii «51 + (^aii
an 4" Fû««
«Si 4" /^^»«
an-^ixalz au -f- iJ-aiz
at4 + F«
«55 + fJtajj 034 -|- fJta «45 + paij 044 + iJia
La surface développable doit être considérée comme Tenveloppe de ces surjhces. Or, si on cherche la valeur du déterminant, on arrive à une équation du troisième degré en ^ de la forme
a/ui' -j" frf^' -j- C|ui -|" ^ = o où a, b, c, d sont des fonctions du second degré en x, y, z, t. Posons
f(^) Ess au^ -f" V -hci^-^-d
et donnons au paramètre /x un accroissement très petit A. Pour deux aiirfaeea infiniment voisines^ on aura
d'où on déduit, en faisant tendre A vers zéro,
7îf^+A)-/ï^y
lim . 0
ou bien, ^ = o. Ainsi, à la limite, quand la courbe d'intersection des surfaces appartient à la développable, on a :
En éliminant u entre ces égalités, on obtiendra l'équation ponctuelle de la développable. Le calcul d'élimination se simplifie en rendant la fonction homogène. On pose
cette équation peut se remplacer par la suivante :
et, X et jx étant en général différents de zéro, si ffi = o, on doit aussi avoir /> = o. L'équation de la développable s'obtiendra donc en éliminant 1 et /x entre les équations dérivées
3afx* + 26/xX + cA* = o,
ôfx* 4- 2CfxA + 3dX* = o .
Il vient ainsi :
ou bien, en développant,
{hc — gorf)» = 4 (6« — zac) («• — 36^).
La surface développ
able est donc, en gêné
irai, du huitième ordre.
S97. On peut considérer les différents cas particuliers signalés dans le chapitre précédent, en supposant que les équations renferment les
coordonnées tangentielles; on en déduira sans peine la nature de la développable. Ainsi, par exemple, les équations
fwB* + nC* + 2rAD = o, m'B«+n'C«+2r'AD=o
définissent deux surfaces qui se touchent en deux points; les faces a^ et i^ sont des plans tangents ayant le même point de contact sur les deux surfaces. Il y a une racine double et la ligne nodale correspondante se réduit & deux points. Les plans tangents communs devant passer par Tun de CCS points, la surface développable circonscrite se composera de deux cdnes du second ordre.
Les équations
mB« + nC« + 2pBD + 2rAC = o, m'B«+n'C*+2p'BD+2r'AC=: o
donnent lieu à deux racines doubles pour l'équation en /x. Les surfaces ont une génératrice commune, puisque les équations sont satisfaites en posant B = o, C = o; tous les plans passant par |3y sont des plans tangents communs. Les lignes nodales sont représentées par
(wf — rm*) B* + {nt' — rn!) C« + 2 (pr' - rp') BD = o, {fw! — fwp) B*+ {;pn' — np') C« + 2 {ipr' — rp') AC = o.
En divisant par pr' — rp', ces équations peuvent se ramener & la forme
P' + 9^^ + 2BD = o, *B«+AC« + 2AC = o, ou bien
5C« + B(/B + 2D) = o, fcB« + C (AC + 2A) = o.
Posons : A' = AC + 2 A, D' == /B + 2D ; il viendra
jC» + BD' = o, *B« + CA' = o.
Rapportons les surfaces au tétraèdre A', B, C, D'; en supprimant les accents, il faudra déterminer la classe et l'ordre de la développable ayant pour lignes nodales
yC«4-BD = o,
AB« + CA — o.
Au lieu de suivre la méthode générale, on y arrive plus simplement comme nous allons l'indiquer. Soit
AoA + BoB + CoC + DoD = o
l'équation d'un plan tangent de la développable ; ses coordonnées doivent satisfaire aux équations précédentes, et Ton aura
sc;+BoDo = o, ab; + CoAo = o.
On en déduit
MJq = — ■ 9 Kjq = — — —
Bo Ao
Si on pose : a = -- , on trouve
Bo
Co Do j Ao k
Bo Bo Bo (x.
En substituant, Téquation du plan tangent devient
AA — aB — a*C -{- ya'D = o.
Or, en remplaçant les coordonnées par celles d'un point quelconque (A'B'C'D') de l'espace, cette équation donnera trois valeurs pour a; il y a donc trois plans tangents de la développable passant par ce point, et cette surface est de la troisième classe.
Afin d'arriver à l'équation ponctuelle de la développable, rendons
l'équation du plan tangent homogène en mettant ^ au lieu de a: on aura
AP»A — «P'B — ««pC + ga^D = o, d'où résultent les équations dérivées
3Jtp«A — 2aj3B — a«C = o, — |3*B — 2aPC + 35a«C = o.
En éliminant a et /3, il vient l'équation du 4" degré
{gkgAB — BC)* =» 4(3*AC + B«) (sgBD + C«).
Ainsi, dans le cas de deux surfaces du second ordre ayant une génératrice commune, la développable circonscrite n'est plus que du 4* ordre.
Par deux points de l'espace, on peut, en général, mener six plans tangents h une développable de la troisième classe, de sorte qu'une telle surface ne peu^ avoir plus de six plans tangents communs avec une
surface du second ordre. Ainsi, toute surface de seconde classe tangente à sept plans d'une dëveloppable de la 3* classe sera inscrite dans celle-ci* Nous avons vu précédemment que toutes les surfaces de seconde classe tangentes à sept plans touchent un huitième plan fixe; dans le cas particulier où les sept plans sont tangents k une dëveloppable de la 3* classe, le huitième plan sera indéterminé et pourra coïncider avec tout autre plan tangent & la dëveloppable.
Donc, huit plans tangents quelconques d'une surface développahle de la troisième classe sont tels que toute surface du second ordre tangente d sept de ces plans touche nécessairement le huitième, et, partagés en deux groupes^ ils forment deux tétraèdres conjugués à une même surface de seconde classe.
% 3. RELATION ANALYTIQUE ENTRE DIX PLANS TANGENTS, DIX PLANS CONJUGUÉS A UNE SURFACE DE SECONDE CLASSE.
