Si dix plans

sont tangents d une même surface de seconde classe, il existe des constantes A^, P...... qui donnent la relation identique 2\^^i^\ =o.

Réciproquement, si on a, entre dix plans de l'espace, Videntitè

ces plans sont tangents à une même surface du second ordre. Considérons la surface de seconde classe représentée par

et exprimons qu'elle est tangente aux dix plans (Uii;iti7i), (tfiVit&i)

11 viendra les dix relations

awî-j-a't?î+ =1,

au\ + «I,

«uîo+ =i>

La condition nécessaire et suflBsante pour que ce système ait une solution commune pour les paramètres sera

u] V\ w] V^tV^

"îo C M^îo v.ott;,, I

D'un autre cdté, pour que Ton ait Tidentité

2l°^4 (w^x + u^y 4- tt7,jr — i)« = o,

il faut que les coefficients des différentes puissances des variables soient nuls ainsi que le terme indépendant; on aura donc les dix équations

\u]-^\vl-{- =o,

(fc) ^^t;,ii^^ + /,i;,u?j+ =0,

Elles admettront une solution commune pour les rapports

si la condition (a) est satisfaite, c'est-à-dire, si les plans sont tangents à une même surface de seconde classe; réciproquement, si les dernières équations sont vérifiées par un système de valeurs déterminées des

rapports ^1 : As : A3 Aio, la condition (s) aura lieu et les

équations (h) admettront un système de valeurs communes pour les paramètres^ a, a' etc.; doncj les plans seront tangents à une même surface de seconde classe.

D'après la signification du premier membre de l'équation d'un plan, le théorème précédent revient à dire que la condition nécessaire et suffisante, pour que dix plans soient tangents à une surface de seconde classe, est qu'il existe une relation linéaire et homogène

2;%pî=o

entre les carrés des dislances de ces plans à un point quelconque de t'espace (P. Sbrret).

S99. Lorsque dix couples de plans

p,p;=o, P,P4 = o, , P,oPio = o

sont conjugués à une même surface de seconde classe^ on a l'identité

Réciproquement, si on a l'identité précédente^ les dix couples de plans sont conjugués à une même surface de seconde classe (P. Serret).

En effet, si on exprime que dix couples de plans (uit7itc;«), {ulviwî)^ etc. sont conjugués à la surface

on obtient les dix égalités

aiiiMi +tt't?iv/ + a"u?iti?/-f-6(viu?i + U7ii7i')-}- • • • • = t> autui-\- =1.

autoUio -i- = i;

et pour que Tenait Tidentilé

2î®ii (uixH- Viy + WiZ — i) (i//x4- vîy +wiz — i) = o, on doit avoir les équations

X|ViV/+ = o,

X|tt?iU>/+ = o,

Or, il est facile de vérifier que la condition pour que ces deux systèmes d'équations admettent un système de valeurs communes pour a, a' , X^ : As • • • • : Xio est la même des deux côtés; il en résulte

que, les équations (A') étant satisfaites, il en sera de même des équations (&'), et réciproquement.

StO. On démontrera facilement (N^ 308) que le^ identités

expriment que toute surface de seconde classe qui est tangente à tous les plans moins un, touchera aussi le dernier^ et réciproquement. La seconde étant décomposée en deux équations équivalentes

2ÎA,PÎ = o, 2îA,Pj = o

conduit immédiament au théorème suivant : Huit plans de l^espace^ tels que toute surface de seconde classe tangente à sept de ces plans touche le huitièmej étant partagés en deux groupes égaux^ seront les faces de deux tétraèdres conjugués à une même surface du second ordre.

Réciproquement, si deux tétraèdres sont conjugués d une même surface du second ordre^ toute surface de seconde classe tangente à sept faces touchera nécessairement la huitième.

Si on suppose que deux faces des tétraèdres soient dans un même plan, on a ce théorème : Lorsque deux tétraèdres conjugués d une même surface du second ordre ont deux faces dans un même p/an, les six plans p<ÂSsant par le pôle commun sont tangents à un même cène du second ordre.

Si les faces communes sont à Tinfini, on aura que les six plans de deux systèmes de diamètres conjugués d'une surface de seconde classe touchent un même cône du second ordre.

Enfin> si la surface est une sphère, trois plans tangents rectangulaires passant par le centre forment un système de plans diamétraux conjugués; par suite, deux systèmes de trois plans rectangulaires menés par un point quelconque de l*espace sont tangents d un même cône du second ordre.

SS1. Les douze plans des coniques inscrites dans les développabtes ciVeonscrites d trois surfaces du second ordre sont tangents à une même surface de seconde classe.

La démonstration de ce théorème est identique à celle du N® 313.

SS9. Il résulte de Tidentité fondamentale.

à laquelle donnent lieu dii plans tangents à une surface de seconde classe, que les équations

KK + \K + ^,Pî + \n + A,p; 4- A„Pî, = o

représentent la même surface. Supposons que les plans P^ P,i P^i P4 passent par un même point. La première déGnira un cAne conjugué k Tangle solide formé par les plans P^ , P,, P,, P^, de telle sorte que les arêtes opposées sont des droites conjuguées par rapport au cône ; car, on vérifiera facilement que le plan polaire d'un point d*une arête passe par l'arête opposée. La seconde équation exprime que ce cône est conjugué à l'hexaèdre formé par les autres plans, c'est-à-dire, que les sommets opposés de ce solide sont conjugués par rapport au cône. On en déduit ce théorème :

Un hexaèdre eî un angle solide tétraèdre étant circonscrits d une surface du second ordre^ les arêtes opposées de Vangle solide et les quatre couples de droites qui joignent son sommet aux sommets opposés de tkexaèdre font six couples de droites conjuguées à un certain cône du second ordre dont le sommet coïncide avec celui de l'angle solide (P. Serret).

Dans l'hypothèse où P, == o, P, c=3 o, etc., représentent des points dont les quatre premiers sont dans un même plan, la même décomposition de l'identité fondamentale conduit au théorème suivant :

Un quadrangle plan et un octaèdre étant inscrits d une surface du second ordre, les côtés opposés du quadrangle et les traces de son plan sur les faces opposées de Voctaèdre font six couples de droites conjuguées à une certaine conique située dans le plan du quadrangle (P. Serret).

M. P. Serret a déduit de ces théorèmes la détermination des éléments principaux d'une surface du second ordre définie par neuf points ou neuf plans tangents, lorsque quatre de ces points sont dans un plan et lorsque quatre des plans tangents passent par un même point.