THÉORIE DES POLAIRES RÉCIPROQUES
SM. Lorsque deux figures sont telles qu'à un point de la première correspond un plan dans la seconde, et réciproquement, à un point de la seconde un plan de la première, on dit qu'elles sont corrélatives. Les principes de la théorie des pAles et des plans polaires permettent de construire une figure corrélative d'une figure donnée. Considérons d'abord une figure F composée de points, de droites et de plans. Déterminons les plans polaires, les droites conjuguées et les pôles des plans par rapport à une surface du second degré auxiliaire 2 : nous obtiendrons une nouvelle figure F' composée de plans, de droites et de points qui correspondent respectivement aux points, aux droites et aux plans de la figure proposée. Un système de points en ligne droite de la figure F donnera un système de plans passant par une même droite dans la figure F', et réciproquement. Enfin, d'après la théorie des pAles et des plans polaires, il est visible que si on cherche les
pAles des plans, les droites conjuguées et les plans polaires des points de la nouvelle figure F', on retrouvera la première. Deux figures qui jouissent de cette propriété ont été appelées par Pongblet, figurée polaires réciproques.
Supposons que la figure F renferme une surface courbe S de Tordre m. Menons un plan tangent P i S, et déterminons son pôle p par rapport à la surface auxiliaire 2. Si le plan P se déplace en restant tangent à S, son pôle p décrira une certaine surface S' qui sera le lieu géométrique des pôles de tous les plans tangents k S. Réciproquement» un plan tangent quelconque k S' aura son pôle sur la première surface. En effet, soient a, 6, c, trois points de S et tt le point d'intersection des plans tangents à S en ces points; a', 6', c% étant les pôles de ces derniers sur la surface S', le plan a'6'c' aura pour pôle le point ir. Supposons que les trois plans tangents viennent se confondre en un seul touchant la surface S au point n; les pôles a', 6% c' vont se rapprocher de plus en plus pour se confondre en un seul, tandis que leur plan deviendra tangent & S', et, à cette limite, le pôle de ce dernier sera toujours le point de contact n des trois plans tangents k S qui coïncident. Donc, on doit aussi regarder la surface proposée comme étant le lieu des pôles des plans tangents à S' par rapport k la surface auxiliaire. Les surfaces S et S' qui peuvent se déduire Tune de Tautre par le même procédé se nomment surfaces polaires réciproques.
La surface S peut être rencontrée par une droite en m points; par suite, la surface S' aura m plans tangents passant par une même droite et sera de la classe m. L'ordre de la surface réciproque S' sera égal au nombre de plans tangents que l'on peut mener par une droite à la surface S; car, à ces plans tangents, correspondent dans S' autant de points situés sur une même droite. C'est ce nombre de points qui détermine l'ordre d'une surface. Or, si /(x,y, x, f) = o est l'équation de la surface du degré m, le plan tangent est représenté par
xf^+yfy'-\-^fs' + lfi=^o,
comme nous le verrons plus tard. En exprimant qu'il renferme une droite x=>az~\'p^ y =^ bz -^ q^ il vient les équations
«/■^ + f>& + A- = o, pf;^ + qfi- + /■/ = o. Si on Ajoute la condition /'(x', y\ %', t') = o, on a trois équations
— un —
pour déterminer les points de contact des plans tangents à S passant par la droite; les deux premières étant du degré m — i et la troisième du degré m, on aura en général m {m — i)' valeurs pour les inconnues.
Ainsi, la polaire réciproque d'une surface de f ordre m est en général de la classe m et au plus de Cordre m[m'^ i)*.
Enfin, considérons une courbe G, intersection de deux surfaces S et 5. Le plan polaire d'un point de cette ligne sera & la fois tangent aux polaires réciproques S' et s' des surfaces S et «; il en résulte que si un point se déplace pour décrire la courbe G^ le plan polaire se meut en restant tangent aux surfaces S' et s' ; il engendrera par ses intersections successives une surface développable circonscrite à S' et s'. Lorsque les surfaces proposées sont respectivement de Tordre m et n, leur courbe d'intersection peut être rencontrée par un plan en mn points; par suite, la surface développable aura autant de plans tangents passant par un même point. Donc, la polaire réciproque d^une courbe de l'ordre mn est en général une surface développable de la classe mn.
SS4. La surface du second degré 2 qui sert d'instrument à la transformation est quelconque; on peut choisir» de préférence, une sphère sans nuire aux résultats auxquels elle conduit. Soit 0 le centre d'une sphère de rayon quelconque r; abaissons du point 0 une perpendiculaire sur un plan P. Si q est le pied de cette perpendiculaire et p le pôle de P par rapport & la sphère, on aura la relation
Op.Oq^r^.
On peut même faire abstraction de la surface sphérique pour ne conserver qu'un point fixe 0. La surface réciproque s'obtiendra en abaissant du point 0 des perpendiculaires sur les plans de la figure donnée, et en appliquant la relation précédente à la détermination des points p de la surface dérivée; on connaît Of , et, r étant une constante donnée, on peut déterminer Op.
Avec un peu d*attcntion, on se rendra compte facilement du tableau suivant où l'on a mis en regard les changements apportés par la transformation avec une sphère auxiliaire.
Un point. Un plan.
Un plan. Un point.
Une ligne droite. Une ligne droite.
Un syftème de n droites dans un pltOé Un système de n droites passant par un
point.
Lo point d*intersection d'une droite et Un plan paaiaAi par m point ci
d*un plan. droit».
Une courbe plane. Vu edne.
Une section plaa» A^u» swfaes donnée. Un cdne circonscrit à la surfece réci-
proque.
Obiysltee de surfaces passant par une Un système de surfaces inscrites dans
e courbe. une même déreloppable.
Une corde qui réunit deux points d*une L'intersection de deux plana tangents à
surface. la réciproque.
Un polyèdre de n faces inscrit dans une Un polyèdre de n angles solides circon-
surface. scrit k la surface réciproque.
Une surface passant par n points. Une surface tangente k n plans.
Une courbe dans un plan passant par Un cylindre dont les arêtes sont perpen-
le centre de la sphère. diculaires au plan de la courbe.
Un système de lignes droites dans un Un sytème de lignes parallèles perpen-
plan passant par le centre de la sphère. diculaires au plan.
Une ligne droite à Tinfini. Une ligne droite passant par le centre
de la sphère.
Les points communs k deux courbes Les plans tangents communs à deux
gauches. surfaces dévcloppables.
Une surface qui admet des génératrices Une surface qui admet des génératrices
rectilignes. rectilîgnes.
SSS. Étant donnée l'équation d^une surface^ trouver celle de la polaire réciproque par rapport à la sphère x* + y* -j- «• — H «= o.
Soit f{Xf y, z) = o l'équation de la surface donnée^ et Xt, yi, «i les coordonnées de l'un de ses points. L'équation
xxi + yy I 4" *^* — r* = o représente le plan polaire de ce point par rapport & la sphère auxiliaire. Si on la compare avec l'équation
uX'{-vy + wz — I = o,
il viendra les relations
Xi yi «I
11=--, v=i-, uj=— ; r* r' r*
u, Vy w sont les coordonnées d'un plan tangent à la surface réciproque.
On en tire
Xi =■ r*ii, yi =s r*r, Zi = r^w,
et comme les coordonnées xij yi, Zt doivent vérifier f{x^y^ z)^^Oy on aura l'équation
/*(r*ii, r*i?, r*u>) = o
qui représentera, en coordonnées tangentielles, la polaire réciproque de la surface donnée.
De même, si on donne Téquation tangentielle F (m, v, u?) «a o d'une surface» celle de sa polaire réciproque en coordonnées cartésiennes sera de la forme
Vr«' r«' rV
Si on suppose r=^iy on arrive à la règle suivante: Une surface étant représentée par /'(Xyy, z) = o ou F (ti, v, to) =» o, P équation de sa polaire réciproque s'obtient immédiatement en changeant x, y, z en Uy V, te, ou ti, Vy w en Xy y, z.
Comme application, soit la surface du second ordre définie par réquation générale
Ax«+A'y«+A"ji«-f 2By«+ 2B'zx4- 2B"a;y + 2Cx+ 2C'y-f2C"z+F=o ;
la polaire réciproque sera représentée en coordonnées tangenticUes par
Au*4-AV^-A''t0•+2B»u?+2B'wtl?+2B''llw4-2Cll+2C'l;-f-2C''tl^^-F=o,
ou bien, en coordonnées cartésiennes (N"" 374),
Dans le cas d'une surface rapportée à son centre et à ses axes
on aurait pour la polaire réciproque
r.+is+:T=ï'
DU bien,
o V 4- by + cU* = I .
On voit que c*est une surface concentrique à la proposée et dont les axes sont les réciproques de ceux de cette surface.
!• La surface réciproque d'une sphère est une surface de révolution dont fun des foyers cotntide avec te centre de la sphère auxiliaire»
Considérons une sphère de rayon R dont le centre se trouve sur Taxe des x à une distance — d de Torigine 0. Son équation sera de la forme
(x + d)« +y« + z« — R« = o, et, Ton aura pour la polaire réciproque,
(rf + tl)« + V« + !!?• — R« = O .
Cherchons Tcquation de cette dernière surface en coordonnées cartésiennes. Si on identifie les égalités
{d-\'U){d-\'U^)-\'VV^ + U)W^=^R*y
ux '-\- vy -{- wz — 1 = 0,
on trouve
Ui-\-d vi ti?i ^
^^""rfu,^rf«— R«' y^^dUi + d'^R*' ^"""di/i+d* — R*'
d'où on tire
d+(d«— R«)x R«v R»« , j R*ar
Ui= ) j '—9 v,= — -f-» U?i=- r— > t«i4-d= — -j r--
ax-j-i dx'\-i dx-j-i ax-f-i
En substituant ces valeurs dans Téquation en u, v, w de la polaire réciproque, il viendra
R« (x^ -f y« 4- z«) — {dx + r)« == o, ou
(R« — d«) x« + R« (y« + 2«) — 2dji: — r == o.
Cette équation définit une surface de révolution autour de Taxe des x : elle exprime que la distance d'un point de la surface au centre O est dans un rapport cotistant avec sa distance au plan fixe cfx-|-iso.
Le point 0 eal le foyer, et le plan axe, le plan directeur correspondant. Ce dernier est le plan polaire du centre de la sphère donnée par rapport à la sphère auxiliaire.
La polaire réciproque est un ellipsoïde de révolution, si R* — (i*> o; un paraboloïde elliptique, si R'— d»=o; un hyperholoïde, si R'— d'<o. Dans le premier cas, les plans tangents men^ du centre 0 & la sphère donnée sont imaginaires et la polaire réciproque n'a aucun point réel k l'infini; siR*— d' = o, le point 0 étant sur la sphère proposée, il n'y 8 qu'un plan tangent k celle-ci passant par le ceutre 0, et la surface réciproque, ayant un point réel à l'infini, doit être le paraboloïde elliptique ; enfin, dans le dernier cas, le centre 0 se trouve à l'extérieur de la sphère donnée, et il y a une infinité de plans tangents réels passant par ce point : la polaire réciproque renfermera une conique réelle & l'infini et sera un byperboloïde.
SST. La potaire réciproque d'une surface de rittolutton e»t une surface du second ordre à trois axes inégaux, et dont les sections circulaires sont paratlèles aux plans polaires des foyers de la surface donnée par rapport à la sphère auxiliaire.
Soit 0 le centre de la sphère auxiliaire et l'onKine d'un système d'axes rectangulaires. Une surface de révo» lution autour d'une droite parallèle aux z et dont le centre 0' est sur l'axe des x aura une équation de la forme
C*(x* +y') + A*z'-j- 2C*dx - 0(A*—d*) = o, délant la distance 00'. 11 est facile de vérifier que la surface représentée par cette équation rencontre le plan des xy suivant un cercle f]g, S7.
de rayon A, et le plan des xs suivant une ellipse ayant pour demi-axes A et C et dont les foyers F et F' sont ceux de la surface.
La polaire réciproque est représentée en coordonnées tangentietles par l'équation
C» (w' + v') + A'w» + zCdu — C (A' - d») = o .
Afin de trouver l'équation de ta même surface en coordonnées cartésiennes, écrivons l'équation du point de contact d'un plan tangent (uiVturi) C* (iiK. -H uc) +AVtc, + Ci (« 4- ».} — C (A* — d>) = o.
On en déduit, pour les coordonnées cartésiennes de ce point,
Ui + d vi A'tgj
par suite
cte+i ax+i ox+i ax + i
En substituant dans Téquation de la surface mise sous la forme
C« (ti + d)t + CV + A«U7« — A»C* = o, on trouve après les réductions,
(«) (A« — d»)a;» + Ay + CV — 2rfa:— 1=0. Cette équation représente une surface du second ordre dont le centre
est sur Taxe des x à une distance de l'origine égale k — -r • Si on y
transporte l'origine, elle devient
(.') (A* - d») X» + Ay + C'z' - j^, = o ;
d'où on tire pour les longueurs des demi-axes a, 6, c de la surface polaire réciproque
Lorsque A > d, le centre 0 de la sphère auxiliaire est à l'intérieur de la surface de révolution et la polaire réciproque sera un ellipsoïde; si A =3 cf, là polaire réciproque (s') est un paraboloïde elliptique; enfin, si A < d, le point 0 est en dehors de la surface donnée et la polaire réciproque est un hyperboloïde à deux nappes. Dans le cas où la surface de révolution serait un hyperboloïde à une nappe, il faudrait changer C* en — C*, et la polaire réciproque deviendrait un hyperboloïde à -une nappe ou un paraboloïde hyperbolique. Toutes ces conséquences découlent directement des équations (à) et (s^).
Si on cherche les équations des plans polaires des points
par rapport à la sphère auxiliaire, on trouve
z |/C« — A« — (dx + I ) « o, z (/C«— A" + (dx + 1 ) = o , On en déduit pour Tinclinaison du premier de ces plans sur ory
Or, si on applique la formule
taDg*9' =
llffVl t1 1 A
rmuiu
tang* 9 '
à l'équation (s') afin de déterminer Tangle d'une section circulaire de la surface avec xy, on obtient aussi
Donc cp' = (p, et les plans cycliques de la polaire réciproque sont parallèles aux plans polaires des foyers F et F'. Ces derniers plans reviennent souvent dans la transformation par polaires réciproques; nous les désignerons par P et P' et nous les appellerons avec J. Booth, flan» ombilicaux directeurs,
^M. L'équation de la surface (s) peut s'écrire
A« (x« 4- y« -f- z«) + (C« — A*) z» — (dx+ i)« = o, ou bien, en posant
P = z |/C* A« — (dx + i), P' = z i/C« — A« + (dx + I ),
A«(x« + y» + z«) — PP' = o.
Elle exprime que le rapport du carré de la distance d'un point de la surface au point 0 est dans un rapport constant avec le produit des distances du même point aux plans ombilicaux directeurs P et P' ; par suite, le point 0 est un foyer de la polaire réciproque. Il est facile de vérifier que c'est le foyer de la section principale de la surface dans le plan des xy. Nous appellerons le point 0 foyer principal de
la surface réciproque; de même, la droite d'iatcrsecUon des plans P et P'^ qui la est directrice correspondante au foyer 0| sera la directrice principale.
Cherchons les pdles des plans P et P' par rapport à la polaire réciproque. On les détermine en comparant l'équation
XX' (A« — cP) + A'yy' + C«zz' — rf (x + x') — i = o
du plan polaire d'un point (x'y'z^) par rapport à (s) avec Féquation du plan P
z |/C« — A* — (dx + i) = o.
On trouve ainsi
Il est visible que les coordonnées du pâle du plan P' par rapport à la même surface seront
Ce sont deux points feif qui appartiendront à la fois à Taxe des z et aux diamètres de la surface passant par les points ombilicaux.
Dans le passage d'une propriété d'une surface de révolution à la propriété correspondante d'une surface à trois axes inégaux, comme nous l'indiquerons plus loin, il faudra toujours se représenter la polaire réciproque avec ses plans ombilicaux directeurs P et P', et les points/* et f ou les pôles de ces plans par rapport à la surface. Nous ferons encore remarquer que toute surface du second ordre doit avoir quatre plans P et quatre points f comme l'exige la symétrie de la surface.
339. Il résulte des principes précédents que la polaire réciproque d'une surface du second ordre par rapport à une surface auxiliaire du même ordre est aussi du second degré. La dépendance entre deux surfaces polaires réciproques du second ordre est donc telle, qu'à une propriété de Tune correspond une propriété dans l'autre, différente de la première. La méthode des polaires réciproques permet de doubler
les théorèmes eonnus sur ces surfaces. Nous allons d'abord indiquer quelques exemples où il s'agit de passer d'une propriété descriptive d'une surface donnée à la propriété correspondante dans la polaire réciproque.
Les plans polaires d'un point fixe par Les pôles d'un plan fixe par rapport
rapport aux surfaces du second ordre qui aux surfaces du second ordre tangentes
ont huit point communs passent par une & huit plans sont situés sur une droite
droite fixe. fixe.
Le pôle d*un plan fixe par rapport aux Le plan polaire d'un point fixe par rapsurfaces qui passent par huit points décrit port aux surfaces tangentes à huit plans une courbe du 3* ordre. enveloppe une déreloppable de la 3« classe.
Les surfaces du second ordre qui passent Les surfaces du second ordre tangentes par sept points ont en commun un hui- a sept plans ont en commun un huitième tième point fixe. plan tangent.
Les plans polaires d'un point fixe par Les pôles d'un plan fixe par rapport
rapport i toutes les surfaces du second à toutes les surfaces tangentes i sept
ordre menées par sept points passent par plans sont situés dans un même plan, un point fixe.
Deux surfaces du second ordre qui se Deux surfaces du second ordre qui se touchent en deux points se coupent sui- touchent en deux points sont enveloppées vaut deux courbes planes. par deux cônes du second ordre.
340. On voit, par les exemples qui précèdent, que la méthode de Poncelet conduit aux théorèmes corrélatifs déjà démontrés précédemment par l'application des coordonnées tangentielles. Elle permet aussi de transformer une propriété métrique de la sphère en une propriété d'une surface de révolution en faisant usage des principes suivants. '
i^ Les droites qui joignent le centre de la sphère auxiliaire aux pôles de deux plans font entre elles un angle égal ou supplémentaire à rangU de ces plans.
â« Étant données deux droites D et D' et leurs conjuguées d et d'y les plans menés par le centre et les lignes d et d' sont respectivement perpendiculaires à D et D', et font entre eux un angle égal ou supplémentaire à celui de ces droites.
3« Étant donnés un plan et une droite, le plan mené par le centre de la sphère et la conjuguée de la droite fait avec le rayon passant par le pôle du plan un angle égal ou supplémentaire à celui du plan et de la droite donnés.
Toutes ces propriétés résultent de ce que, par rapport k une sphère, le. plan polaire est perpendiculaire au rayon qui passe par le pAle, et deux droites conjuguées sont perpendiculaires entre elles. Nous allons donner quelques exemples du passage d'une propriété métrique de la sphère à la surface de révolution. Afin de bien s'en rendre compte, il faut toujours avoir présent à Tesprit que la sphère, par la transformation, devient une surface de révolution ayant l'un de ses foyers au centre de la sphère auxiliaire, et pour plan directeur, le plan polaire du centre de la sphère donnée.
Deux plans tangents à une sphère font Dans une surface de révolution, la droite des angles égaux avec le plan mené par qui réunit le foyer au point d'intersection le centre et leur droite d*intersection. d*une corde avec le plan directeur est
bissectrice de Tangle des rayons vecteurs des extrémités de cette corde.
Un plan tangent à une sphère est per- Le plan mené par le foyer d*une sur* pendicttlaire au rayon mené au point de face de révolution et l'intersection d*un contact. plan tangent avec le plan directeur est
perpendiculaire au rayon du point de contact du plan tangent.
Les rayons menés aux extrémités d*une Les plans menés par le foyer et les corde dans la sphère sont également in* droites d'intersection de deux plans tandinés sur cette corde. gents à une surface de révolution avec le
plan directeur sont paiement inclinés sur le plan passant par le foyer et la droite d'intersection des plans tangents.
Deux droites conjuguées par rapport à Deux droites conjuguées à une surface une sphère sont perpendiculaires. de révolution sont telles que les plans
passant par le foyer et ces droites sont perpendiculaires.
Les plans tangents k une sphère menés Les plans tangents k une sur&ce de par les extrémités d'un diamètre sont révolution qui se coupent dans le plan parallèles. directeur sont tels que la droite de leurs
points de contact passe par le foyer.
Les droites menées des extrémités d*un Dans une surface de révolution, les diamètre quelconque k un point de la plans tangents aux extrémités d'une corde sphère forment entre elles un angle droit, passant par le foyer sont rencontrés par
un plan tangent quelconque suivant deux droites d et d'; les plans passant par le foyer et les droites d et d' sont perptn* dicnlaires.
Les plans (aagenU i ud cane circon- Les rayons vecteurs menés aux différents serit à la sphère sont également inclinés points d'une section plane d*une surface sur le plan de contact. de révolution sont également inclinés sur
la droite qui réunit le foyer au pôle du plan de la section par rapport k la surface.
Un cylindre étant circonscrit à une Un cône circonscrit à une surface de sphère, le plan de contact est perpendi- révolution et dont le plan de contact passe culaire aux arêtes et passe par le centre. par le foyer a son sommet dans le plan
directeur, et la droite qui réunit le sommet au foyer est perpendiculaire au plan de la base.
Deux sphères sont enveloppées par deux Deux surfaces de révolution qui ont un cônes de révolution ayant leurs sommets foyer commun se coupent suivant deux sur la droite des centres. coniques dont les plans passent par la
droite d* intersection des plans directeurs»
Le sommet d'un trièdre trirectangle Si, par le foyer d*une surface de révolucirconscrit à une sphère décrit une sphère tion, on mène trois droites rectangulaires concentrique. qui la rencontrent aux points a, 6, c, le
plan abc enveloppe une surface de révolution ayant un foyer commun avec la première.
Dans une sphère, les extrémités d*un Dans une surface de révolution, le plan diamètre, le centre et le point à l'infini directeur, les plans tangents qui se renferment un système de quatre points har- contrent dans ce plan, le plan mené par moniques. le foyer et la droite dMntersection de ces
plans, forment un faisceau harmonique.
S41. Par le théorème du N^ 357, on peut transformer une propriété d'une surface de révolution en une propriété d'une surface du second ordre h trois axes inégaux. Pour opérer cette transformation, nous supposerons que la surface de révolution a son grand axe vertical et pour foyers les points F et F'. On sait que la polaire réciproque est accompagnée de plans ombilicaux directeurs qui sont les plans polaires des foyers F et F' relativement à la sphère auxiliaire; le centre 0 de celle-ci est le foyer principal, et les points que nous avons appelés f ti f sont les pôles des plans ombilicaux directeurs par rapport à la surface réel* proque. Il est facile de vérifier que ces points sont aussi les pAles des plans directeurs de la surface de révolution par rapport au point 0.
Si, dans une surface de révolution, on Si, dans une surface du seccud degré, mène un plan langent quelconque qui on mène par les extrémités de la corde
rencontre les pitns tangents aux extrëmitës verticale passant par le foyer 0 deux du grand axe suivant les droites d et cfi, droites qui se coupent sur la surface, les les plans passant par le foyer F et les lignes qui joignent le point O et leurs lignes d et di, sont perpendiculaires. points de rencontre avec les plans ombili-
caux directeurs sont perpendiculaires.
Par une même droite D on mène deux Si, dans une surface du second ordre, plans tangents T et T' à une surface de on mène une droite qui rencontre la surrévolution ainsi que deux plans n et n' face en deux points a et 6, et les plans par les foyers F et F' ; les plans tangents ombilicaux directeurs en e et d, les angles sont également inclinés sur les plans aOc et bOd seront égaux. Tt etTf'.
Lorsqu'on mène un plan n par le foyer F Par un point a d'une surface du second d'une surface de révolution et la droite ordre, on mène un plan tangent qui rend*intersection du plan directeur avec un contre le plan ombilical directeur suivant plan tangent quelconque, ce plan est per- une droite d; si on désigne par à le point pendiculaire au rayon vecteur du point où la droite af rencontre le plan ombilical de contact. directeur, la droite 06 sera perpendiculaire
au plan mené par la droite d et le foyer
principal 0.
Un cône circonscrit à une surface de Un cône étant circonscrit à une surface révolution dont le plan de contact passe du second ordre et ayant son sommet par le foyer F a son sommet dans le plan dans le plan ombilical directeur, le plan directeur, et la droite qui réunit le foyer F de contact passe par le point ^et rencontre au sonunet du cône est perpendiculaire au le plan ombilical directeur suivant une plan de la base. droite d^ le plan mené par cette droite
et le point 0 sera perpendiculaire à la ligne qui joint le point 0 au sommet du cône.
§ 2. TRANSFORMATION HOMOGRAPHIQUR.
S4S. Considérons une figure F avec sa polaire réciproque f par rapport h une surface du second ordre 2, et déterminons la figure corrélative de /par rapport à une nouvelle surface du second degré s. Nous obtiendrons une troisième figure F' telle qu'à chacun de ses points correspond un plan dans /*, et, par conséquent^ un point de la première figure; de même, chaque plan de F' aura son correspondant dans F. Il résulte de cette double transformation que les figures F et F' jouiront
de cette propriété qu'à des points en ligne droite, à des plans passant par une même droite de Tune, correspondent des points en ligne droite, des plans passant par une même droite dans Tautre, et les rapports anharmoniques de ces points et de ces plans auront la méoie valeur; elles possèdent donc les mêmes propriétés descriptives. On les désigne sous le nom de figurer homographiques.
Soient X, Y, Z les coordonnées d'un point M, et jc, y, z celles du point correspondant. Deux figures se correspondront point par point, plan par plan, si on a les relations
atx + bty + Ciz + di
QiX -f- 64J/ + CaZ + (14
/„. V q^j^ + ft»y + g«g + dt
GaX + 64^ + CéZ 4- «4
QzX -f- b^y + CiZ + ds
a^x + 64!^ + Ciz + dé
En effets pour chaque système de valeurs attribuées à X, Y, Z, on aura un seul système de valeurs pour les coordonnées du point correspondaot (x, j^, z), et réciproquement. De plus, un plan de la première figure représenté par l'équation
aura pour correspondant dans la seconde, le plan
«1 (aix -}- bty + c^z + di) + Pi {atx + bty + Ciz + A)
-j- y« («»^ + f>ty + c^^ + ^«) + ^« (^** "h ^*y + ^*^ "h ^*) = ^*
Enfin, on yérifie facilement que deux figures construites à l'aide des formules précédentes seront telles que des points en ligne droite, des plans passant par une même droite auront pour correspondants des points en ligne droite, et des plans passant par une même droite. Les relations (H) renferment quinze constantes arbitraires en supposant 11(4 = 1, ce qui ne change rien à leur généralité; on peut donc en général faire correspondre cinq points quelconques de la seconde figure k cinq points de la première, car assujettir deux points M (X|YiZi), m (xiyiZi) à se correspondre reyient à donner trois relations distinctes ept^e les constantes,
Z4M. Soient
quatre points de la première figure, et
les points correspondants de la seconde* Si on rapporte les deux figures respectivement aux tétraèdres formés par ces deux systèmes de points, les formules de la transformation homographique seront de la forme
ma np py o
Elles renferment encore trois constantes arbitraires m, fi, p, afin que l'on puisse faire correspondre deux autres points quelconques des figures.
En effet, considérons quatre points de la première figure représentés par
A=o, B = o, A — AB==o, A — A'B = o;
k leur rapport anliarmonique a pour valeur -p • Les points correspondants
seront définis par les équations
« = o, P = o, ma — kn^ = o, ma — k'n^ = o, et on voit immédiatement que leur rapport anharmonique est aussi
égalàjp.
On arriverait au même résultat, si A = o, B = o, etc. représentaient les faces de deux tétraèdres correspondants.
Les deux figures dont les points sont liés entre eux par les formules {h) jouissent de cette propriété que le rapport anharmonique de quatre points ou de quatre plans de Tune d'elles est égal au rapport anharmonique des quatre points ou des quatre plans correspondants de l'autre. Ces figures sont donc homographiques.
S44. Les points k Tinfini de la première figure auront pour correspondants dans la seconde des points situés dans un plan représenté par l'équation
(I) Uax + béy + C4Jj + d4 = o;
de sorte qu'un système de plans parallèles dans la première figure donnera lieu dans la seconde à un système de plans qui se rencontrent suivant une droite du plan (I).
Afin de trouver les points qui se correspondent à eux-mêmes, posons X = Xf y =y, Z = z dans les formules (H). Il viendra les trois équations du second degré
X (a^x + 64^ + C4« + ^*) = ^*^ + ^ty + ^«* + ^«j y (a^as -|- béy + Ciz -f- dé) = a%x + 6fy + e%z + rfi, z {a4pc + béy + e^z + dé) = a^x -\- b^y + CzZ -j- rf,;
elles admettent au plus huit solutions. Ainsi deux figures homographiques ont au plus huit points qui se correspondent k eux-mêmes. Les points qui jouissent de cette propriété se nomment points doubles; ils peuvent être réels, imaginaires ou situés à Tinfini.
845. Dans deux figures homographiques^ le rapport des distances de deux points fixes de la première figure à un plan quelconque, est dans une raison constante avec le rapport des distances des points correspondants dans la seconde figure au plan homologue.
Soient
deux points fixes de la première figure et ti, v, w les coordonnées d'un {dan quelconque passant par le point
On aura
p et q étant les perpendiculaires abaissées des points A et B sur le plan (ti, 17, w). Le point correspondant de C a pour équation
(c) ma — nk^ = o,
et, si p\ f ' sont les perpendiculaires abaissées des points a et P sur le plan homologue qui passe par c, on doit avoir
p' nk
Oa CD déduit
-:=--=- = constante.
Le rapport prëcédent est indépendant de A:; il conserve la même valeur quelles que soient les positions des points C et c sur les lignes AB et a^, c'est-à-dire pour deux plans homologues quelconques.
S46. Dafis deux figures homographiqueSj le rapport des distances d'un point quelconque de la première à deux plans fixeSf est dans une raison constante avec le rapport des distances du point homologue aux plans fixes correspondants de la seconde.
Soient
les plans fixes de la première figure, et
(C) A — itB = o,
un plan passant par leur intersection. Si on désigne par x, y^ z les coordonnées d'un point quelconque du plan G, on aura
p et 9 étant les perpendiculaires abaissées de ce point sur les plans A et B. Le plan correspondant de G dans la seconde figure ayant pour équation
(c) ma — Anj3 = ©•
il viendra
p' et q^ sont les perpendiculaires abaissées du point homologue qui appartient au plan (c) sur les plans correspondants a et p. On tire des relations précédentes,
~ :^ =— = constante.
Le rapport du premier membre est indépendant de k et sera constant
pour un point quelconque pris dans un plan quelconque passant par la droite d'intersection des plans A et B; donc le théorème est démontré.
347. Les formules de la transformation homographique substituées dans une équation du degré m
donneront une nouvelle équation qui sera aussi du degré m par rapport à Xi y, z. 11 en résulte que la transformation homographique ne change pas Tordre d*une surface. Ainsi toute surface homographique d'une surface du second ordre, et en particulier d'une sphère, sera aussi du second degré. On peut pro6ter des constantes arbitraires pour changer une surface d'un certain ordre en une autre plus simple. Si Ton veut, par exemple, transformer l'ellipsoïde
en une sphère, il faudra prendre pour les formules homographiques
X = Ax, Y = By, Z = C«; car, en substituant, on trouve pour la surface dérivée, l'équation
a;'+y*-j-jK' = i.
Réciproquement, la transformation homographique permet de passer d'une surface particulière à une autre surface plus générale et du même ordre; elle peut donc être utile pour généraliser les propriétés de l'étendue. L'un de ses avantages est de pouvoir représenter dans un plan h une distance finie les éléments d'une figure qui sont à l'infini et qu'il est diflScile de bien saisir.
§ 3. FIGURES HOMOLOGIQDES.
84§. Les figures homohgiques sont des figures homographiques où deux points correspondants quelconques sont sur une droite passant par un point fixe; elles jouissent de cette propriété que les droites
et les plans correspondants se rencontrent dans un plan fixe. Le point et le plan fixes sont le centre et le plan d*homologîe.
11 résulte de la définition que les formules de la transformation homologique seront de la forme
X — gQ^Y—yo^Z — zo^ î •
^' X — xo y — yo z — Zo to-|-my + *«-f'p'
(X, Y, Z), {Xf j/f z) sont les points correspondants, et {xo, ye, Xo) un point fixe. En effet, si les points correspondants doivent être en ligne droite avec un point fixe (xo> yoy ^0)9 il faut que l'on ait
X — Xo X — a?o Y— yo y— yo,
Z — JCo Z — Zo Z — Zo Z — Zo
d'où on tire
X — Xo Y -*• yo Z — Zo
x — Xo y — yo z — Jo'
De plus, si un plan de la première figure a pour correspondant un plan dans la seconde, chacun de ces rapports doit être égal à une fraction ayant pour numérateur une constante et dont le dénominateur peut être un polynAme quelconque du premier degré en x, y, z.
Un plan de la première figure étant représenté par l'équation
aiX + /3,Y + yiZ + a,=o, ou bien
ai(X — Xo) -f- (3i(Y -- yo) + yi(Z — Zo) + ^1 + «1X0+ |3iyo+ 3iZo = o,
le plan correspondant dans la seconde figure sera défini par
ai (x — Xo) + jBi (y — yo) + y* (z — Zo) + (Ji + «1X0 + /3,yo + yiZo)
(/x -{- wy -{- wz -{-p) = o.
Les points communs à ces deux plans devront vérifier l'équation
(^« + «iXo + |3iyo + yiZo) {lx'{-fny + nz + p — i) = o
obtenue en retranchant les équations membre à membre, et en posant X = x, Y=y, Z:=z. Il en résulte que deux plans homologues se coupent dans le plan fixe
(P) /x + my -|- nz -[- p — I «=■ o.
Les formates (il;) définissent d'une manière générale Thomologie, le point (xo, yo9 Zo) étant le centre d'homologie, et le plan d'homologie, celui qui est représenté par Téquation obtenue en égalant le dénominateur du dernier rapport à Tunité. Elles sont moins générales que les formules de la transformation homographique. Dans le cas particulier où le centre d'homologie coïncide avec Torigincy elles se réduisent à
X y z Ix -^-my-^nz + p
Les points doubles dans les deux figures homologiques seront déterminés par les équations
X [Ix -f- wy -}- nz + p) = X, y(fe + my + nz+p) = y, z{lx-\'my-\'nz-\-p) = z ;
l'origine et les points du plan /x -}- wiy -{-nz + P — i = o se correspondent à eux-mêmes dans les deux figures. Donc les figures homologiques sont des figures homographiques qui ont une infinité de points doubles dont le lieu est le centre et le plan d'homologie.
S49. Soient
trois plans passant par le centre d'homologie de deux figures, et D ^a o le plan d'homologie; ces quatre plans forment un tétraèdre dont les sommets sont des points doubles. Rapportons les figures à ce tétraèdre, et soit
ÀA + (xB + vC = o
un plan passant par le centre d*homologie. Si on cherche le plan correspondant par les formules (A) de Thomographie (N"* 345), on trouve
Xma -|- pwj3 + vpy = o.
Mais tout plan passant par le centre d'homologie est un plan double; par suite, il faut que Ton ait
m==^n = p afin que cette équation représente le même plan que la précédente.
Il en résulte que les formules de la transformation homologtqae seront de la forme
A, B, C, D, et a, jS, y y i sont les coordonnées de deux points homologues par rapport au tétraèdre, tandis que l est une constante arbitraire. Dans cette hypothèse les équations de deux plans homologues seront de la forme
AA + /utB + vC + ttD = o, Aa + |tji|3 4- vy + hd = o,
et Ton Toit immédiatement qu'ils se coupent dans le plan d*homologie D = o.
S50. Dans deux figures homologiques^ le rapport des distances de deux points homologues au plan d^homologie^ est au rapport des distan^ ces de ces points au centre dans une raison constante.
En effets des égalités {k) on tire
AA + jxB + vC D ia + pj3 4- vy "" /(î *
Or, le premier membre est le rapport des perpendiculaires abaissées des points homologues (A, B, C, D) {a, |3, y, d) sur le plan double ;tA-f-^B4'V^ = o> comme ce rapport est égal à celui des distances R et r de ces points au centre d'homologîe, on aura
et, par conséquent.
— : - = / = constante.
Ce qui démontre le théorème énoncé.
851. Dans deux figures homologiques le rapport des distances de
deux points homologues au centre ^homologie est au rapport des
distances de ces points à deux plans homologues fixes dans une raison constante.
Les formates (k) conduisent à l'cgalilé
JA + fxB + vC + 7rp D
ia -j- |jij3 + vy + '^<î ^^
D'après le théorème précédent, le second membre est égal à R : r; les deux termes de la fraction du premier membre sont proportionnels aux perpendiculaires abaissées des points (A, B, G, D), (a, |3, y, d) sur les plans fixes homologues
AA -f /xB -}- vC + ttD = o, XA + |utB + vC + InD == o.
Si on désigne par P et p ces perpendiculaires, on aura donc
k étant une constante déterminée. On en déduit
— : - =s constante,
r P et le théorème est démontré.
959. Deux surfaces du second ordre homologiques se coupent suivant deux courbes planes dont l'une esi située dans le plan d'homologie.
Remarquons que l'équation d'une surface du second degré en coordonnées tétraédriques peut se mettre sous la forme
S + D (AA + (iB + vC + ttD) = o ;
S désigne une fonction homogène des coordonnées A, B, G. Gela étant, une surface du même ordre homologique à la précédente sera représentée par
S + /D (XA + pB + vC + InD) = o .
En retranchant ces équations membre à membre, il viendra
D [A A + ^B + vC + TT ( I + /) D] == o .
Gette équation définit deux plans passant par l'intersection des deux surfaces; celles-ci se rencontrent donc suivant deux coniques dont l'une est dans le plan d'homologie D == o.
Les surfaces homologiques seront enveloppées par un cône ayant
son sommet au centre d'homologie; car les droites menées de ce dernier point tangentiellement k la première surface toucheront la seconde, afin qu'il n'y ait qu'un saul point correspondant sur les deux surfaces.
S5S. Deux êurfaces du second degré inscrites dans un même cône du second ordre sont homologiques.
Nous savons que deux surfaces du second degré inscrites dans une surface de même ordre se rencontrent suivant deux coniques dont les plans passent par la droite d'intersection des plans de contact. Soient D s=3 Oy D' =B o les plans des coniques d'intersection, et A «=3 o, B = o, G = 0 trois plans passant par le sommet du cône. Si on rapporte les surfaces au tétraèdre ABGD, les plans de contact seront reppésentés par des équations de la forme
?J^ + fjiB + vC + 7rD=o, U + fxB + vC+7r'D = o
puisqu'ils se coupent dans le plan D == o; pur suite, les équations des surfaces inscrites au cône peuvent s'écrire
S — (U4-pB + vC+7rD)« = o, S — (U + p.B + vC -f 7r'D)« = o,
où S est une fonction homogène en A, B, C, qui, égalée à zéro, représente le cône circonscrit. Il est visible qu'on passe de la première équation à la seconde en posant
A B C ffD
par conséquent, les surfaces sont homologiques.
Il faut observer que si les surfaces inscrites étaient l'une un ellipsoïde, l'autre un hyperboloïde i une nappe, elles ne pourraient pas être homologiques; car cette dernière admettant des génératrices rectilignes, il en devrait être de même pour la première. Si Tune des surfaces était un hyperboloïde à deux nappes tangent extérieurement au cône, et l'autre un ellipsoïde tangent intérieurement, toute droite menée par le sommet du cône ne rencontrerait qu^une seule surface; dans ces conditions les surfaces ne sauraient être homologiques.
