SURFACES GAUCHES

S6T. Une surface réglée est gauche lorsque deux positions consécutives de la droite mobile ne se trouvent pas dans un même plan. L'hyperboloïde à une nappe est une surface gauche, car nous savons qu'elle est engendrée par le déplacement d'une droite qui glisse sur trois autres et que deux positions consécutives de la génératrice ne se rencontrent pas. Il en est de même pour le paraboloïde hyperbolique;

dans cette surface, la génératrice s'appuie sur deux droites fixes en restant parallèle à un plan déterminé qu'on appelle plan direcUuVm En général, toute surface réglée à plan directeur, c'est-à-dire toute surface engendrée par une droite qui se meut en restant parallèle à un plan fixe, est toujours une surface gauche. En effet, prenons pour axe des z une position particulière de la droite mobile, et, le plan des yz parallèle au plan directeur : les équations de la génératrice seront de la forme

Nous avons vu, précédemment, que la condition de rencontre de deux génératrices infiniment voisines est exprimée par l'équation

-- = î- ou a\q{ — 6ipi = o.

Or, dans le cas présent, ai =» o, et pour que la relation précédente ait lieu, il faut que bioupi soit nul. Mhîs, si6i = o, la génératrice reste toujours parallèle à elle-même et engendrera un cylindre; si pi == o, la droite mobile serait constamment dans un plan. Donc, en négligeant ces cas particuliers, la surface décrite par une droite qui reste parallèle à un plan sera gauche.

Parmi les surfaces gauches à plan directeur, nous citerons, en particulier, les surfaces appelées conotclea. On appelle ainsi toute surface engendrée par une droite qui glisse sur une droite et une courbe fixes en restant parallèle à un plan. Si on prend la droite fixe pour axe des z et le plan des xy parallèle au plan directeur, on aura, pour les équations de la génératrice

Soit 9(111, n) s o, la relation qui doit exister entre les paramètres pour qu'elle rencontre la courbe fixe. L'équation générale des conoïdes se présentera sous la forme

'\' xj

M§. Dans une surface gauche, les génératrices consécutives ne se rencontrent pas et, par conséquent, elles ne peuvent être tangentes à une même courbe comme dans les surfaces développablcs. L'arête de rebroussement est remplacée par une autre ligne que nous allons définir.

Soient i et 2 deux gëoératrices consécutives et infiniment rapprochées, ét| AB leur perpendiculaire commune. Lorsque la droite 2 se rapproche de plus en plus de la droite i, la perpendiculaire AB prendra uno certaine position limite 06 : le point a, position limite du pied de la perpendiculaire commune sur la droite i, a été nommé par Cbislbs point central relatif k cette génératrice. Le lieu des points limites des pieds des perpendiculaires communes considérés sur toutes les génératrices forme une courbe appelée ligne de striction de la surface gauche. D'après la dénomination de Chasics, on peut dire que la ligne de striction est le lieu des points centraux pris sur chaque génératrice.

Il est important de remarquer qu'à la limite les perpendiculaires communes ne seront pas tangentes à Is ligne de siriclion ; ear le point c étant le point central relativement h la seconde génératrice, et le point b la position limite du pied B de la première perpendiculaire commune, ces points sont généralement distincts; l'élément de la courbe de striction ac diffère de l'élément ab, et, par conséquent, le prolongement de «6 DO peut constituer une tangente à cette courbe.

SttV. Plan tangent. Si on prend pour l'axe de z d'un système d'ates rectangulaires une génératrice de la surface gauche, son équation se préwntera sous la forme (N° 363) <p--)[{Ax-fA,}a:-f {Dz-|-B,)y]-t-w__,y'-f-2U',^,xy-|- =0.

On trouvera aussi, comme pour une surface développable, que le plan tangent en un point (o, o, z') est représenté par l'équation

(Az'4-A,)i-f-(B^'+B0y = o; ce qui montre que le plan tangent passe par l'axe des 2 ou la génératrice du point de contact. Mais, comme ta surface est gauche, nous n'avons plus de relation entre les coefficients A, A|, B, B|, et l'équation précédente représentera un plan variable avec z'. Ainsi lorsque le point de contact se déplace sur une génératrice d'une surface gauche, le plan tangent varie et tourne autour de cette droite.

Réciproquement, un plan quelconque mené par une génératrice touchera la surface quelque part en un point de cette droite; car si on identifie l'équation d'un tel plan

Ix -}- my = o

avec celle du plan tangent, on a IVgalité

On en déduit une valeur unique et déterminée pour la coordonnée z' du point où il y aura contact entre le plan et la surface; ce même plan sera sécant en tous les autres points de la génératrice.

570. Le lieu des normales aux différents points d^une génératrice d*une surface gauche et un paraboloHde hyperbolique.

En effet, la normale au point (o, o, z') ou la perpendiculaire élevée en ce point au plan tangent est représentée par les équations

z = z\ (Bs' + B.) X - (Az' + A,) y = o.

En éliminant z% il viendra pour le lieu des normales aux différents points de Taxe des z

Ayz — Barz + A ly — B|X = o :

équation qui définit un paraboloide. Il est évident que toutes les nor» maies sont parallèles au plan des xy; par suite, le plan directeur du paraboloîde des normales le long d'une même génératrice est perpendiculaire à cette droite.

571 . Le rapport anharmonique de quatre plans tangents est égal à celui de leurs points de contact.

Posons

P =c AiJC + B,y, F = — . (Ax + By);

l'équation du plan tangent peut se mettre sous la forme

Le rapport anharmonique de quatre plans tangents qui correspondent aux valeurs z', z", z'", z^ aura pour expression

MaiSy si on dësigne par a, 6^ c, d les points de contact, on vérifie facilement que le rapport précédent est égal à

ae bc

ad ' bd qui est le rapport anharmonique des points de contact.

ST9. Par une droite donnée, on peut mener m plans tangenU à une surface gauche de l* ordre m.

Une droite quelconque rencontrera en général la surface en m points. Soit nti l'un de ces points : le plan mené par la droite donnée et la génératrice qui passe par le point nii doit toucher la surface quelque part en un point de la gënératrice ; puisqu'il y a m points d'intersection, il y aura aussi m plans tangents à la surface passant par la droite donnée. On en conclut que la classe d'une surface gauche de Vordre m est égale à m.

S7S. Par une génératrice d'une surface gauche on peut toujours mener un paraboloïde on un hyperboUnde tel que tout plan tangent en chaque point de la génératrice est le même dans les deux surfaces.

En effet, soit la surface gauche de l'ordre m ayant pour équation

Çm-t[(A« + Ai)x-{-(Bjc + B0y] + «'m tx' + 2w?--«^y+ = *^-

Le paraboloïde défini par l'équation

(Az + A,) X + (Bz -|- B,) y = o

a le même plan tangent en chaque point de l'axe des z; c'est le plan

(Az' + A,) X + (Bjz' + Bi) y == o.

La surface du second ordre représentée par l'équation

(Az + A,) X + (Bz + B,) y -f- Pat» + 2Qxy -f- Ry« = o

jouira de la même propriété quelles que soient les valeurs des coefBcients P, Q, R. Il y a donc une infinité de surfaces du second ordre qui peuvent avoir le même plan tangent avec la surface gauche tout le long d*une génératrice, c'est-à-dire, qui se raccordent avec la surface en tous les points de cette droite. La surface gauche peut être regardée comme composée d'éléments indéfinis en longueur et infiniment étroits, ces éléments étant des portions de paraboloïde ou d'hyperboloîde.

Exercices.

Ex. 1. TraoTor l'équation d'an conoïde qai ■ ponr direclriceg une dniiU parpendienliire in plu directeor et un cercle dont le plan est perpendieulaire i ce dernier.

Prénom la droile file comme aie des t et hisons passer l'aie des a par le centre du cercle. En supposant le plan TOZ panllèle i celui du cercle, ce dernier aura de« éqoat tiens de la forme

S on le» combine arec celles de la gëo^ratrive • == m, s = na, on arrirera i la rdatioD

On trouvert fiodcment pour Tëquation demanda

(t'y* + as'*' — r**' = o.

Ex. •, ÉqualioD de la sarface engendrée par aue droite qui le meut parallèlemsDt i «y en glissant sur l'ue des > et tnr la courbe représentée par

Ex. •. ÉqaatioD de la surface décrite par une droite qui se déplace pwillèlement au plan du aiy et qui reuecotre les courbe*

(^iT^s=..

Bx. 4. On donne deux demi-cercles verticaux parallèles décrits sur les cdtét opposés d'un pirallélognnune avec une droite fixe menée pir le centre du parallélogramme perpendiculairement aux plant des cercles ; trourer l'équation de la surface engendrée par une droite qni glisse i la fois sur les cercles et la droite fixe.

Prenons la droite Bxe pour axe des y et la verlîcile en 0 ponr axa des i. Les équations des cercles directeura seront ^c la ferme

y = -fi, (— .)'-l-i'=H.

y = + ^, {» + ..*+î' = H; Piï-«-

cdles de la droite mobile peuvent s'écrire

le dcf y. Si m eiprine qM II féoininte rcDcontre

poiiqa'elle renconlK tonjonri 1m cereirf, il Ttenl

lm{?-%) + «r + p*(^—,)' = r*; CM ëqnitlotii retriDcbëM meBbre 1 membre candiiiaeiit i I* rciatioa

April l'éliminition dei pinmèlrei m, n, p entre ce» différentes ^élites, on urin i r^qnttiM

[«»ï + jS (*' + x*)]' = pV«' + p;> (r* - .», qui Mt celle de la Hirbce décrite dKoi Im eonditian) indiquées. Cette snrfice se namme Bitiii pai*é in Corne (teoBcAe; elle est emplaj'ëe quelque foU k voûter an pitMge bieb comprii entre deux piini Terlicaui peraliiles.

Sx • Troarerl ^qutioD de 1 bjlicolde gsache 1 pi»n directeur MfipiMOiU d ibofd le eourbe ippelie MUm Coniid^roni un reetingle ABCP tournint nn hirmément autour de AB et dont le pliD, i I ong ne du inouremeiit, eoloeideit avec celui dM mt. Le câie CP décrit une portion de cylindre dont la base circula re ut tracée par le point P Pendant ce moufeneut, un point U, qui se meut UBifcavëment sur le «Até CP VI décrire nue courbe sur le cylindre appelée bëliee Afin de irouTcr lei équations de celte ligne, désignons par r le raym du cy hndre et inpposous que le mouvement vertical du poinl H soit m Tois plus rapide que celui du point P pour décrire li base dn cylindre. On aura

Il ('enuit que les seoiéeipar

projections de l'hélice sur le) plans coordon

a« + ï' ^ •■*. • ^ p cos — ) y = f «in — •

Cela étant, on nomme hiUtMe gttitrJi» i plan directeur, la snrhee engendrée par nne droite borJMnlalê qui s'appuie i la fois sur l'bélice et l'axe dn cylindre. Lm éqnations de la droite qui engendre cette iurftce seront de la forme

Exprimons qu'elle rencontre l'hélice : il viendra la relation

mr I + »• On en déduit pour Péquation de Phéliocûde gauche i plan directeur

cos» — =: — -- — - OU tana — =r - . mr op" -f- y" mr x

C'est la surface d'un escalier tournant autour d*un axe vertical ou eelle de It vis à filet rectangulaire. Elle n'est qu'un cas particulier de l'hélicoîde gauche en général, c'est-à-dire, de la surface engendrée par une droite qui se meut en faisant un angle constant avec Paxedu cylindre et en s'appuyaut sur Thélice.

Il y a aussi Thélicoîde développable qui est le lieu dei tangentes à Thélice.

Ex. •. Trouver les équations de la ligne de striction du paraboloîde

yt 2«

Soient deux génératrices d'un même système

y —^x ' JL i- = >

yz «a* y z 2x

elles sont parallèles au plan directeur représenté par l'équation

Il s'ensuit que la perpendiculaire commune sera perpendiculaire à ce plan. L*équation du plan mené par la seconde génératrice perpendiculairement au plan directeur est de la forme

On aura aussi pour le plan passant par la première et perpendiculaire au même plan

Ces deux équations retranchées membre & membre donnent Tégalité

Posons > = >t ; il viendra

et, par saîte,

En substituant dans la seconde équation (x), on trouve

D*où Pon tire

En considérant deux génératrices de Tautre système parallèles au plan directeur

on arrifcrait aussi à Téquation

Donc la ligne de striction se composera de deux paraboles définies par les équations

y* «■ y . * = 2ît, -^± =0.