CHAPITRE XVII

GÉNÉRATION DESSURFACES-

SoMHAiBi. — ÊqtMtion d'une surface engendrée par une ligne mobile dont lee équationê renferment un ou pluêieurs paramètres ; cas où la ligne mobile 8*appuie tur de$ lignée fixée ; eurfacee de révolution ; eurfacee régléee. — Surfaces développablee : génération de ces sur faces ; plan tangent; surfaces cylindriques et coniques. — Surfaces gauches: ûonoides; plan tangent et propriétés.

9im, Coaformëment à In méthode cartésienne, nous avons discuté jusqu'ici les équations générales du premier et du second degré, afin de reconnaître In forme et la nature des surfaces dont elles sont la définition analytique. De plus^ par la combinaison des équations abrégées, nous avons démontré plusieurs propriétés générales des surfaces du second ordre assujetties à certaines conditions géométriques. Dans ce chapitre, nous nous proposons de considérer une surface quelconque comme engendrée par une ligne mobile appelée génératrice^ et dont le déplacement est soumis à une loi déterminée; nous indiquerons le moyen d'arriver à l'équation de la surface décrite. Cette équation représentera d'une manière générale les surfaces qui admettent le même mode de génération ou, comme on a coutume de dire, une même famille de surfaces. Nous étudierons ensuite plus spécialement les surfaces engendrées par une ligne droite et qu'on appelle surfaces réglées.

§ 1. ÉQUATION d'une SURFACE ENGENDRÉE PAR UNE LIGNE MOBILE.

856. Considérons d'abord le cas le plus simple, celui où la gënératrice est définie par deux équations de la forme

ne renfermant qu*an seul paramètre. A chaque valeur attribuée à la constante arbitraire Oj, correspond une position déterminée de la génératrice; si on fait varier ai par degrés insensibles^ la ligne mobile va se déplacer d'une manière continue et décrire une surface bien déterminée dont Téquation s'obtiendra en éliminant le paramètre a* entre les équations données. En efiet, cette équation finale sera satisfaite en même temps que les précédentes, et, comme elle ne renferme plus la constante indéterminée ai, elle exprimera analytiquement la relation qui existe entre les coordonnées d'un point de la ligne mobile considérée dans l'une quelconque de ses positions; ce sera Téquation de la surface décrite par cette ligne.

Supposons, en second lieu, que la génératrice soit représentée par les équations

f{x, y, «, a„ a%) = o, F (x, y, z, ai, ai) = o,

où ai et as sont des coefficients indéterminés. Si on donne au paramètre ai une valeur particulière ai, et si on fait varier ai d'une manière continue, la ligne mobile va décrire une certaine surface déterminée. Maïs, comme on peut de la même manière attribuer à la constante arbitraire as autant de valeurs que l'on veut, on aurait ainsi une infinité de surfaces dont l'ensemble formerait un solide. Pour que la ligne mobile engendre une surface déterminée, il est indispensable que les paramètres ne soient pas tout-à-fait indépendants, mais liés par une certaine relation (p(ai,ai)=o. Dans cette hypothèse, on ne peut plus donner aux constantes que les valeurs qui vérifient celte équation : le déplacement de la ligne génératrice est bien déterminé, et elle engendrera une surface unique dont l'équation s'obtiendra en éliminant les paramètres entre les trois équations précédentes.

Enfin, si la génératrice est représentée par des équations renfermant n paramètres

/'(x,y, z, ai,at, , a«) = o, F (a;, y, z, ai, ai, ,a«)=:0,

avec les (n — i) relations

9i (ai, ai, ...., a») == o, 91 (ai, ai, ...., a«)s=o.

Çn-i (ai, ai, ...,a«)*=o,

son mouyement est bien défini, car ses équations ne renferment en réalité qu'un seul paramètre arbitraire, les n — i relations permettant d'exprimer tous les paramètres moins un en fonction du dernier. L'élimination des coefficients indéterminés ai,at, ....a», entre les (it-f-i) équations précédentes conduira à l'équation en x, y» z de la surface décrite.

3ft7. Au lieu de déterminer le mode de déplacement de la génératrice par un nombre suffisant de relations entre les paramètres qui entrent dans ses équations, on peut assujettir cette ligne variable à s'appuyer sur des lignes fixes qui règlent son mouvement dans l'espace et qu'on appelle directrices. Dans ce cas, on arrive h l'équation de la surface comme nous allons l'indiquer.

Supposons d'abord que la ligne mobile représentée par les équations

F(^jy> ^>«ij aî) = o, F« (x, y,z, ai,a«) = o se déplace en glissant sur la courbe fixe donnée

9 {«y Vf 2) = o. ^ (^, y, 2) = o.

Les équations précédentes devront être satisfaites en même temps par les coordonnées des points communs aux deux lignes, et l'élimination des variables x, y, z donnera une relation entre les paramètres

/i {a^, Qî) = o

qui exprimera que la rencontre a lieu dans cbaquc position de la génératrice. Il restera à éliminer les paramètres entre cette équation et celles de la ligne mobile pour obtenir l'équation de la surface engendrée.

Considérons maintenant le cas général où la génératrice est représentée par les équations

F(^>y>^>«<>û«> >«n) = o, Fi (x, y, 2, ai, ci«, ,a,) = o.

Pour qu'elle décrive une surface unique, elle doit s'appuyer sur (n — i) lignes fixes données

?« {Xj y> «) = o, ^i (x, y, 2) = o;

<Pn-j (^. y, ^) = o> +--t (x, y, z) = o.

En éliminant les variables Xj y, z entre les équations de chaque groupe et celles de la génératrice, on arrivera k n — i relations entre les paramètres

/ii-4(ai,af, ...•, ai,)=o,

qui expriment que la ligne mobile rencontre chaque directrice. L'équation de la surface décrite sera le résultat de l'élimination des paramètres entre ces équations et celles de la génératrice.

Sft§. Gomme application de la théorie générale, supposons que la génératrice soit un cercle de rayon variable, dont le centre parcoure une droite fixe, et dont le plan reste perpendiculaire à cette droite pendant qu'il se déplace en s'appuyant sur une ligne donnée. La surface ainsi engendrée est dite de révolution^ car on Tobtiendrait aussi par la rotation de la directrice autour de la droite fixe appelée axe de révolution de la surface. Désignons par xo, yo» Zo les coordonnées d'un point de la droite fixe; celle-ci sera représentée par des équations de la forme

X — Xo y — yo z—zo l m n

Le cercle générateur peut être considéré comme étant, à chaque instant, l'intersection d'un plan perpendiculaire h l'axe avec une sphère de rayon variable ayant pour centre le point (xo, yo^ Zo) ; par suite, ses équations peuvent s'écrire

(x — Xo)' + (y — yo)* + (« — 2o)* = a, /x + wiy + n« + rf = P, a et |3 étant deux paramètres arbitraires. Soit

l'équation qui exprime la rencontre du cercle avec une directrice donnée

f(x, y, z) = o, ft (x, y, z)^o,

Qu la relation qui provient de l'élimination de x, y, z entre ces dernières

équations et celles du cercle mobile. Si on remplace a et ^ par leurs yaleurs, il viendra

(r) /» + wy + nz + d = 9[(a: — Xo)« + (y— yo)» + (« — zo)*].

C'est réquation générale des surfaces de révolution autour de la droite fixe donnée.

Quand Taxe passe par ToriginCy on peut supposer que le point (xo, jfof Zq) coïncide avec elle, et l'équation précédente se réduit à

f« + wy + «z -|- d = 9 (x* + y' + «•).

Enfin, si Taxe de révolution coïncide avec Taxe des z, le cercle peut être considéré comme l'intersection d'un cylindre de rayon variable avec un plan perpendiculaire à l'axe, et ses équations seront

L'équation d'une surface de révolution prend alors sa forme la plus simple

Réciproquement, toute équation de la forme (r) définit une surface de révolution. Posons, en effet,

/x + my -|- wz 4- rf = P,

(x — xo)* + (y — yo)* + (« — ZoY == a; elle devient,

Or, si on fait varier a et |3 de manière k satisfaire à cette relation, les équations {k) représentent une ligne située sur la surface; mais cette ligne est l'intersection d'un plan qui se meut parallèlement avec une sphère de centre fixe; c*est un cercle dont le centre décrit une droite fixe, la perpendiculaire abaissée du point fixe sur le plan sécant. Donc cette surface est nécessairement de révolution.

La surface de révolution engendrée par une ligne donnée tournant autour d'une droite fixe est telle, qu'un plan perpendiculaire à l'axe donne une section circulaire appelée parallèle. Si l'axe et la ligne fixe sont dans un même plan, la section d'un plan mené par l'axe sera la même ligne : toutes les sections analogues se désignent sous le nom de

méridiens de la surface. Le plan tangent en chaque point renfermera les tangentes au méridien et au parallèle qui se coupent en ce point; comme la tangente au parallèle est à la fois perpendiculaire à l'axe et au rayon de ce cercle passant par le point de contact, le plan tangent est perpendiculaire au méridien. Il en résulte que» dans une surface de révolution, la normale rencontre toujours l'axe.

S59. Il est encore une classe de surfaces remarquables appelées surfaces réglées ; ce sont les surfaces engendrées par une ligne droite assujettie à certaines conditions. On sait que les équations d'une droite quelconque

x = az + pt y = 6z + y

renferment quatre constantes indéterminées; par suite, son mouvement dans l'espace sera complètement défini et elle engendrera une surface unique, si elle rencontre à chaque instant trois directrices données. Cette rencontre sera exprimée par trois relations entre les paramètres obtenues comme on l'a indiqué précédemment. Supposons qu'elles soient de la forme

les équations de la génératrice seront alors

op = az -|- 9 (a), y = TT (a) . z + 4; (a).

Il suflSra d'éliminer le paramètre a entre ces équations, lorsqu'on connaîtra les fonctions tt, (p et ^, pour arriver à l'équation de la surface.

Quand une droite se meut dans l'espace pour engendrer une surface, il peut arriver que deux de ses positions consécutives soient toujours dans un même plan; dans ce cas, on dit que la surface réglée est développabh; dans le cas contraire, la surface réglée est gauche. Nous ferons connaître, dans ce qui suit, les caractères particuliers de ces surfaces remarquables.

§ 3, SURFACES DÉVELOPPABLES.

■M. Supposons qu'une droite se déplace dans l'espace de maDiëre que dans deux positions consëcutiTCS elle soit dans dd même plan. Considérons différentes positions 4, 2, 3..,, très rapprochées de la génératrice; elles se rcaconlrent snccessivement aux points iri, m*, tN|.... qui seront les sommets d'un polygone gauche. Si on imagine que ces droites se rapprochent de plus en plus, le polygone mitnimi.... deviendra i la limite une courbe gauche & laquelle seront tangentes les différentes positions de la droite mobile. Il en résulte qu'une surface développabU peut être eotuidérée comme h lieu tf wi« '*'- ^'' droite çui se meut dans l'espace en restant

tangente à une courbe gauehe. Cette courbe a été appelée par Hokb arête de rArousiement de la surface. La raison en est que, si on suppose les tangentes prolongées indéfiniment de chaque cAté de leur point de contact, la surface développabic sera composée de deux nappes qui viennent se rejoindre sur la courbe; pour passer d'nne nappe h l'autre, sans suivre la direction d'une génératrice, on doit parcourir un chemin curviligne qui présente un point de rebroussement k la séparation des deux nappes.

Une surfocc développable jouit de la propriété de pouvoir être étendue sur un plan sans se déchirer. En effet, les différentes génératrices l,â,3... comprennent entre elles un élément plan infiniment étroit et indéfini en longueur; on peut faire tourner le second élément autour de la droite qui le sépare du premier, jusqu'à ce qu'il se trouve dans son plan; on ramènera semblablcment le troisième élément dans le plan des deux autres, et ainsi de suite. Cette propriété a lieu quelque rapprochées que soient les génératrices et elle ne cessera pas d'exister à la limite pour la surface développable.

Lorsqu'on étend une portion de surface développable sur an plan, il est évident qu'elle conserve la même superficie; les différentes parties des génératrices ainai que les arcs de courbes tracées sur la surfice

conserveront aussi les mêmes longueurs. Ainsi, pour ne citer qu'un exemple, si on prend un cône à base circulaire qui est une surface développable puisque les gënératrices se coupent en un même point, et si on l'ouvre suivant l'une de ses arêtes, on pourra étendre la surface du cAne sur un plan sans faire de plis; après l'opération, les longueurs des arêtes, ainsi que celles des arcs de courbes qui se trouvaient sur le cône auparavant n'auront pas changé.

861 . Étant données les équations d'une courbe gauche^ trouver celle de la surface développable qui a cette courbe pour arête de rebroussement. Supposons que la courbe donnée soit définie par les équations

qui déterminent ses projections sur les plans des xy et des xz. On sait qu'en projetant une courbe avec sa tangente sur un plan, la projection de la droite est tangente k la projection de la courbe. Il en résulte que les équations d'une tangente au point {a, 6, c) de la ligne donnée seront

(X — a) (pa-^-iy — fr) 9» = 0> (^ — «) ^a + (« — <•) +c = O.

De plus, on a aussi les relations

(p (a, 6) = o, vp (a, c) = o.

L'élimination des coordonnées a, 6, c conduira à une équation en Xj y, z qui sera vérifiée par un point d'une tangente quelconque de la courbe donnée : ce sera l'équation demandée.

S69. Une surface développable peut encore être regardée comme engendrée par les intersections successives d'un plan défini par une équation de In forme

XTT (a) -|- y<p (a) -\- z^ (a) — i = o

où les coefficients des variables ne dépendent que d'un seul paramètre a. En effet, si on désigne par u, v, v? les coordonnées tangentielles de ce plan, on a

ti = TT (a), v = (p (a), w = '\t (a),

et l'élimination du paramètre a entre ces égalités donnera deux équations en K, Vf w de la forme

qui représentent deux surfaces II en résulte que le plan mobile, pendant son déplacement, reste constamment tangent à ces surfaces. Le lieu des intersections successives des plans tangents communs est évidemment une surface développable circonscrite aux deux autres.

1. Le flan tangent en un point Wune surface développabk renferme la génératrice qui passe par ce point et touche la surface tout le long de celte droite.

Afin de démontrer cette propriété, prenons pour axe des z une génératrice de la surface; celle-ci sera représentée par une équation qui doit être satisfaite, quelle que soit la valeur de z, en posant x = o, y == o, et qu'on peut écrire sous la forme

tim-ix-}- i;«-«y -|- "«-«** + 2w««xy -{- '^••-ty* + Wm-ix' -|- .......= o,

tiiii-4, Vm-i étant des fonctions de z du degré m — i; Um^%j v«»-f, tTm^t, des fonctions de z du degré m — 2, et ainsi de suite. Soit

x=^aZ'\'Py y = 6z -|- 7

une génératrice infiniment voisine de Taxe des z, de sorte que les quantités a, 6, p, q ont pour limite zéro. Si on exprime qu'elle se trouve sur la surface, on aura Téquation

Wm-i {az + p) + Ww-1 (bz + 9) + «••-« («^ + P)' + 2Wm- s {az + p)

Lorsque la seconde génératrice se rapproche de plus en plus de l'axe des z, les quantités a, 6, p, q sont variables et tendent vers o. On peut supposer qu'elles dépendent d'un même paramètre a, et désigner par ai9 biy pi, 91 les limites des rapports de a, 6, p, </, à l'accroissement de a lorsque la droite tend vers sa position limite. Cela étant, divisons l'équation précédente par l'accroissement de a et passons à la limite : il viendra l'identité

tim-l (QiZ + PO + V»»-l {biZ + 71) = O.

On en déduit

biz + qt aiZ-\-pi

et chacun de ces rapports étant une fonction de l'ordre m — 2 en z,

— hm —

nous pouvons poser identiquement

En substituant, on trouve que Tëquation de la surface dëveloppable peut s'écrire sous la forme

9m-i[x(6jjj-|-?0 — y («4«+pO]-H w,»îx' + 2u?m-ia:y+ . . . .=o.

MaiSy il sera démontré plus tard que le plan tangent en un point {x\ y' y z') d'une surface quelconque F (as, y, z) <=3 o est de la forme

(x-x')Fi4-(y-yOF|;'+(z-z')F;=o.

Appliquons cette équation au cas qui nous occupe pour trouver l'équation du plan tangent en un point (o, o, z') de l'axe des z : il viendra

x(6iz'-f-qfi) — y (aiz' +p4) = o;

c^est l'équation d'un plan qui passe par l'axe des z. Pour qu'il soit tangent à la surface tout le long de la génératrice, l'équation précédente doit représenter le même plan quel que soit z'; par suite, le rapport

atz' -{-pi biZ* -{- q\

doit avoir une valeur constante pour tous les points de l'axe desi?; ce

qui aura lieu si 7-= • Or, dans une surface développable, deux géné-

Oi 91

ratriccs consécutives

^x = 0, (x == oz 4- p,

se rencontrent, et l'on a la condition 7 ==~ ou, à la limite, 7-=^ • Il

6 ? bi qx

s'ensuit que, dans une surface développable, le rapport précédent est

indépendant de z', et le plan tangent sera le même pour tous les points

d'une même génératrice.

364. Il résulte de la propriété caractéristique du plan tangent qu'il n'est pas possible en général de mener un plan tangent à une surface développable par une droite donnée; car, si mi^ ntt, m^ etc., désignent

les points où la droite rencontre la surface, les plans menés par les génératrices qui passent par ces points et la droite donnée ne touchent pas nécessairement la surface bien qu'ils renferment une génératrice ; ce qui aurait lieu si tout plan passant par une génératrice était tangent quelque part en un point de cette droite; mais, dans une surface développable, il n'y a qu*un seul plan tangent pour tous les points d'une même génératrice.

Par un point donné, on pourra en général mener un nombre limité de plans tangents à une surface développable. En e£Pet, reprenons Téquation du plan mobile

xn (a) -}- y? (a) + ^»K«) — I = o

qui engendre par ses intersections successives une telle surface, et exprimons qu'il passe par un point (x', y% z^). On aura l'équation

x'tt (a) +y'(p (a) -{- z'^ (a) -- i = o :

elle donnera un certain nombre de valeurs pour le paramètre a qui correspondent aux plans tangents passant par le point donné. Le nombre de ces plans indique la clcisse de la surface.

M5. Surfaces cylindriques. On désigne, sous ce nom, les surfaces développables engendrées par une droite qui glisse sur une courbe fixe en restant parallèle k une direction donnée. Il suit de cette définition que la rencontre des génératrices et, par conséquent, l'arête de rebroussement est à l'infini.

Afin de trouver l'équation générale des surfaces cylindriques, observons d'abord que dans les équations de la génératrice

x = inz-\-pf y = nz + 7

les coefficients m et n seront constants tandis que p et 9 varient avec la position de la droite mobile. Soient

les équations de la directrice; par l'élimination des. variables x, y^ z, on arrivera à une certaine relation

entre les paramètres variables. Mais, d'après les équations de la génératrice, on a

p = x — mz, q = y — wz;

doncy réquation générale des surfaces cylindriques sera

f{x — mz, y — w«)=:o.

Quand la droite mobile est définie par deux équations de la forme <wp + 6y -f- c« + d = p, o'x + b'y -}- c'« + cl' = qr

où tous les coeflScients sont constants exceptés p et q^ Téquation des surfaces cylindriques est de la forme

f{ax + 6y + cz -|- d, a'x -f- 6'y -f- c'z + d!) = o.

Réciproquement^ toute équation de cette forme représente une surface cylindrique; car si on pose

<MP + ^y + c« + d = p, a'x -}- Vy + c'z + d' = ç,

elle devient /"(p, f) e=o, et^ en faisant varier p cl 9 de manière & satisfaire à cette relation, les équations précédentes représentent des plans qui se rencontrent suivant des droites de la surface; mais ces plans restant parallèles à eux-mêmes déterminent une série de droites parallèles formant une surface cylindrique.

Ex. fl. Trouver les équations des cylindres qui ont pour direclrices les lignes

= 2p (a? — Mtz) ;

Ex. t. Montrer que Téquation

«• + y« + 2J' — 2XZ -[- 2yz — 1=0

représente un cylindre.

L*intersection de la surface avec le plan des xy est le cercle a;'-l'y'= '• ^^ cylindre ayant ce cercle pour directrice est représenté par

(a; — mzY + (y — nz)* = i.

En développanti et comparant cette équation avec la proposée, on trouve des valeurs déterminées pour m et n. L*équation donnée représente un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la droite x=^z, y = — z»

Ex. s. Trouver Péqaation da cylindre circoascrît i la surface / («, y, z) == o, la direction des génératrices étant m = mz, y = nz.

Désignons par «', y', z'^ les coordonnées d'un point de la courbe de contact inconnue des deui surfaces, et menons par ce point la droite

««—«':= m (z — «') y — y' = n (ar — y),

parallèlement aux arêtes du cylindre. Si on exprime que cette droite est dans le plan tangent au point («', /, z*)

de la surface donnée, il vient la condition

Il en résulte que la courbe de contact du cylindre avec la surface sera représentée par les équations

f{x, y, z) = o, mn + nfi + /"i = o.

Connaissant la directrice du cylindre cherché, le problème s'achèvera comme précédemment. En appliquant la méthode è la recherche du cylindre circonscrit à la sphère «• -J- y« -4- jj* = r*, on trouvera

(fi* -[- l) ** + (''»* + i) y" + ("** + «') ** — 2mnxy — 2mwz — anyt = r* («■+ «■ + i).

S66. Surfaces coniques. On appelle surface coniqae, la surface développable eugendrée par une droite qui tourne autour d'un point fixe en s'appuyant sur une directrice donnée. Dans une telle surface, Taréte de rebroussement se réduit h un point.

Les équations de la génératrice seront de la forme

m et n étant deux paramètres variables avec la direction de cette droite. L'élimination des variables entre ces équations et celles de la courbe donnée comme directrice conduira à une relation entre les paramètres qu'on peut écrire

Enfin, si on remplace m et n par leurs valeurs tirées des équations de la génératrice, on arrive à l'équation générale des surfaces coniques qui sera de la forme

Dans le cas particulier où le sommet du cône est à l'origine, elle

se réduit à

Gc8 équations sool homogèoes, la première par rapport k x — a, y — (3, z — y, la seconde par rapport h x, y, z.

Réciproquement, toute équation homogène de la forme (s) définit une surface conique. En effet, posons

X — a V — fi = m, 2 î- = n,

elle devient 9(1119 n) = o; en attribuant aux constantes indéterminées m et n des valeurs qui vérifient cette relation, les équations précédentes donnent des droites issues du point fixe (a, |3, y) et appartenant à la surface. Donc celle-ci sera un cône ayant son sommet au point fixe. Plus généralement, une équation homogène telle que

cp (X, Y, Z) = o,

où X, Y, Z désignent des polynômes du premier degré de la forme ax -{^ by -^ cz + df représente une surface conique ayant pour sommet le point d'intersection des plans X^ Y, Z. Afin de le démontrer, prenons ces derniers pour plans coordonnés et plaçons l'origine h leur point d'intersection. On sait que les polynômes X, Y, Z sont proportionnels aux distances d*un point (x,y, z) aux plans Xs^o, Y =30, Z=io; d'un autre côté, les nouvelles coordonnées x%y', z' du même point sont égales à ces distances multipliées respectivement par des constantes. On peut donc poser

X = ax', Y = 6y', Z = ez\

^9 y'» ^' ^^Q^ les nouvelles coordonnées du point (x, y, z). Il en résulte que l'équation proposée devient avec les axes nouveaux

(p(ax', by\ «')==» o :

elle est homogène par rapport à x', y\ z' et représente un cône qui a son sommet à l'origine.

Ex. fl. Troayer Péquation du cône engendré par une ligne passant par Porigine et s*appuyant sur la courbe z=zkj /*(», y) = 0.

Jkx ky\

Ex. 9, Équation du cône qui a sou sommet au point (eC| /S, y) et dont la directrice est une courbe du plan des aey représentée par /(«, y) =o.

Ex. S. Reconnaître si une équation donnée représente une surface conique Si elle n*est pas homogène par rapport à a, y, z^ il faut pouvoir la rendre telle en plaçant l'origine des axes en un certain point de Pespace («, /S, y). Lorsque cette transformation est possible, Téquation représentera un cône réel ou imaginaire suivant la nature de la section faite par un plan quelconque dans la surface. Ainsi, on vérifiera facilement que Péquation

3«" -J- 2y* — zxz + 4y2 — 41 — 8s — 8 := o

devient homogène en plaçant l'origine au point (0,2, — 2) et qu*eile définît un cône réel.

Ex. 4. Trouver Péquation du cône circonscrit à la surface ^(«, y» Zft)=o ayant son sommet au point (a/, y', z', i').

Appelons x'^y^^z", i" les coordonnées d*un point de la courbe de contact; le plan tangent à la surface donnée en ce point est

En exprimant qu'il passe par le point (a^, y'9 z* , f'), on obtient la relation

qui sera vérifiée par les coordonnées d*un point quelconque de la courbe de contact. Il s^ensuit que les équations

représentent cette ligne. On connaît ainsi la directrice du cône et son sommet; on arrivera & son équation par la méthode indiquée précédemment.