THÉORÈMES SUR LES SURFACES ALGÉBRIQUES
S74. Si on désigne par t/o, tii tit tis» , t/^ des fonctions homogènes en Xy y, z respectivement des degrés o, i, 2, 3, m, l'équation générale du degré m est de la forme (N"" ai).
(l) t/o + tl< 4" •*« + "8 + + Wm =» O.
Par l'introduction d'une nouvelle variable I, on peut la rendre homogène et écrire
Lorsque l'origine est un point de la surface, le terme uo doit manquer, et l'équation de cette surface est alors
çi -}- 9t -}- 95 .+ • • • • -f- 9"* "^ ^> ou bien
919 91» 989 ••• sont des fonctions homogènes en x^j/y z des degrés respectifs 1,2, 3, ,m.
Le nombre de termes de Péquation (i) est égal à
(fw + i)(m + 2)(m + 3) 1.2.3
Posons
(iH + 0 (»» + a) (»» + 3) , .
ce sera le nombre de conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une surface de l'ordre m soit complètement déterminée. Ainsi, on peut généralement faire passer une surface de Tordre m et une seule par /x points de Tespace; car en exprimant que l'équation est vériâée par les coordonnées des points donnés, on aura un système de fx équations linéaires pour déterminer les fx paramètres inconnus. Dans certains cas, il pourra se faire qu'it j ait indétermination ou que la surface de l'ordre m se réduise à deux surfaces d'un ordre moins élevé.
575. Toutes Us surfaces de Vordre m qui passent par fi — i points arbitraires ont en commun une courbe gauche de tordre m^.
En effet, soient
deux surfaces de l'ordre m renfermant les points donnés, l'équation
où X est indéterminé, définit un système de surfaces du même ordre qui passent par les mémos points puisqu'elle est satisfaite par les coordonnées qui annulent à la fois Sm et S-'ml chacune déciles ne peut plus être assujettie qu'à une seule condition; par conséquent, cette équation représente d'une manière générale toutes les surfaces de l'ordre m qui jouissent de la propriété de passer par les /jl — i points donnés. Or, elle est yérifiée par les coordonnées d'un point quelconque de l'intersection des surfaces Sm et S'»; cette intersection^ qui est une courbe de l'ordre m*, sera donc commune k toutes les surfaces du système.
Il résulte de ce théorème, que le problème de mener une surface de l'ordre m par fx points donnés devient indéterminé, si ces points appartiennent à une courbe gauche de L'ordre m', intersection de deux surfaces de l'ordre m.
576. Toutes les surfaces de l'ordre m qui passent par fi — 2 points fixes ont m' points communs et passent par conséquent par m" — (^ + ^ autres points fixes.
Soient S»» = o, S'* = o, S"«, «= o trois surfaces de l'ordre m menëes par fx — - 2 poiots de l'espace. Une surface quelconque du même ordre qui jouira de cette propriété n'exige plus que deux nou- Yclles conditions pour être déterminée, et son équation sera de la forme
Mais les m' points communs aux surfaces S.», S'my S"m ont des coordonnées qui vérifient cette équation quelles que soient les valeurs de A et p;donc toutes les surfaces qu'elle représente^ c'est-à-dire^ toutes les surfaces de l'ordre m qui renferment /jc — 2 points de l'espace passent par m' — (a — 2) = m* — f^ -j- 2 autres points fixes.
S77. Si deux surfaces de V ordre m on^ en commun une ligne df ordre mn située sur une surface d'ordre n, elles auront aussi en commun Une autre courbe d'ordre m {m — n) située sur une surface d'ordre m — n.
Considérons les surfaces représentées par les équations du degré m
S« = o, S'm =0, Sm + AS'», = O.
L'intersection des deux premières surfaces est la même que l'intersection de l'une d'elles avec une surface quelconque définie par la troisième équation. Si cette intersection se compose en partie d'une ligne d'ordre mn provenant de l'intersection des surfaces Sm = o et S„ == Oy il doit exister une valeur du coefficient indéterminé A pour laquelle le premier membre de l'équation (3) se réduit à un produit de deux facteurs, l'un du degré n, Tautre du degré m — n, de sorte qu'elle prendra la forme
S» • Sm-« = O ;
car^ c'est seulement dans ce cas, que les surfaces Sm et S» -|- AS'm peuvent avoir une ligne d'ordre mit commune. L'autre partie de l'intersection sera une ligne d'ordre m {m — n) provenant de la combinaison des équations S^ = o et S,„n = o.
Ce théorème général donne lieu à des corollaires remarquables parmi lequels nous citerons les suivants :
Corollaire 1 . Étant donnés deux systèmes de m plans, si mn droites d'intersection de ces plans sont sur une surface de l'ordre n, les m (m — n) droites restantes appartiendront a une surface de l'ordre m — n.
!2. Étant donnés deux systèmes de m plans ^ si 2m droites sont sur
une surface du second ordre^ Us m {m — z) droites restantes appartiendront d une surface de tordre m — 2.
3. Un polygone de 2m côtés étant inscrit dans une surface du second ordre et tel que les m côtés pairs soient des génératrices d'un même systèmCf et les m côtés impairs des génératrices de Vautre sysièmCf les plans des faces paires couperont les plans des faces impaires non adjacentes suivant m {m — 2) droites appartenant à une surface de Vordre m — 2.
Dans le cas particulier où m = 3, on a ce théorème deji démontré : Un hexagone étant inscrit à une surface du second ordre et tel que Us côtés consécutifs sont des génératrices de système différent, tes plans des faces opposées se rencontrent suivant des droites situées dans un même plan.
S7S. Etant données p relations linéaires entre les coefficients de Péquation du degré m, toutes Us surfaces définies par cette équation et passant par fx — (p-l~ ') points fixes ont en commun une même ligne d double courbure.
Car chacune de ces surfaces est assujettie à un nombre de conditions égala
et réquation de l'une d'elles pourra se ramener h la forme
car les |ut — I équations de condition permettent de calculer tous les paramètres moins un en fonction du dernier.
S79. Étant données p relations linéaires entre les coefficients de téquation générale du degré m, toutes les surfaces définies par l'équation et passant par f^ — (p -^ 2) points fixes se rencontrent enm^ — f^ + P + 2 autres points fixes.
£n effet, les (x — 2 relations entre les paramètres qui correspondent aux conditions données permettront d'exprimer tous les paramètres moins deux sous la forme a + Aa' + pa", 6 + i6' + |ui5" etc., A et fx étant les seuls coefficients indéterminés. L'équation générale des surfaces qui satisfont aux conditions imposées sera de la forme
S + AS' + fxS"=o:
elles auront m' points communs^ et en retranchant les points donnes, on voit qu'elles passent par m' — f^ "I' P 4" ^ autres points fixes.
SM. La swnme des mf^*^ puissances des distances de ix+i points situés sur une surface d'ordre m à un plan quelconque sont liées par eidentité
Réciproquement, si fA-^-i points de l'espace donnent lieu à une telle identité^ ils appartiennent d une mime surface de l'ordre m (P. Sbrret).
Lorsque fx — p points de l'espace sont tels que toute surface de l'ordre m passani par [i — p — i poinis du groupe passe nécessairement par le dernier, on a Pidentité
Réciproquement, si |ul — p points de Pespace donnent lieu a cette identité» toute surface passant par [f- -- p — i de ces points passera par le dernier (P. Sbrret).
La démonstration de ces différents théorèmes est identique à celle qui a été donnée pour les surfaces du second ordre; nous croyons inutile de la reproduire.
S§1. Plan tangent et normale. Soient x'^ y^ z^ les coordonnées d*un point de la surface de Tordre m : F (x, y, z) = o. Menons, par ce point, une droite ayant pour équations
On en déduit
x-=x' + ip, y = y'+w, z = 2' + vp.
Substituons ces valeurs dans Téquation de la surface : il viendra, par l'application du théorème de Taylor^
F {^S y. ^0 + p P^Fi' + pFi' + ^FiO + — (^•F^-' + f^'FlfV + ^'Fiv
-{•i}i^K,^-\-2hV'^^-\-2(JivF',^,)-\- =0.
Le point (x', y^ z') étant sur la surracc, F (x\ y', z') =» o, et Tëqua* tion admet. pour p une racine égale h zéro; mais si la droite issue. de ce point est tangente à la surface, deux de ses points d'intersection coïncident et Téquation précédente doit avoir deux racines nulles; il en résulte que les coefiScients directeurs d'une tangente à la surface vérifient la relation
^'^'^ + pFy. + vf;» = O.
L'élimination de A, jx, v entre les équations de la droite et la précédente conduit à l'équation
qui représentera le Heu des tangentes à la surface ou le plan tangent au
point (x', y', «')•
Lorsque Téquation proposée est rendue homogène par l'introduction d'une quatrième variable t» on sait que
par suite, l'équation du plan tangent devient
xV',' + yF'^^ + z?'r-^m = o.
On trouverait scmblablemcnt que l'équation du plan tangent au point (A', B', C, D') d'une surface de Tordre m représentée en coordonnées tétraédriques par F (A, B> C, D) = o est de la forme
af;. + bf;. + cf;. + df;. = o.
Enfin, il est utile de remarquer que, si l'équation
représente une surface du degré m, l'origine des coordonnées étant l'un de ses points, l'équation du plan tangent à l'origine sera
Car, si on pose x = Xp, y = f^p> « =* ^Pi elle se présentera sous la forme
et l'on voit que ai> + aîpt-l-a5V = o est la condition pour que la
droite issue de l'origine ait deux points communs avec la surface. Donci
(pj = aix -|- (Hy + GiZ = o
définit le plan tangent à l'origine.
La normale au point (x% y\ z*) d'une surface de l'ordre niy étant la perpendiculaire élevée en ce point au plan tangent, aura des équations de la forme
SS9. Tangentes inflexionnelles. Si Ton avait en même temps
AFi, + fxF^, + vF;, = o,
l'équation en p admettrait trois racines nulles : les droites dont les directions sont déterminées par ces deux relations jouiront de la propriété de toucher la surface en trois points qui coïncident. En éliminant les quantités A, |ui, v, les équations précédentes deviennent
(x-x')'Fi;^, + (y-y7F;V + - + 2(y-y')(^-^')FiV = 0.
La première représente le plan tangent; la seconde un cdne ayant pour sommet le point (x', y% z'). Il en résulte que, par chaque point d'une surface de l'ordre m, on peut mener deux droites qui ont trois points communs et coïncidents avec elle ; ce sont les intersections du plan tangent avec un cône du second ordre ayant son sommet au point de contact. Ces tangentes spéciales ont reçu le nom de tangentes inflexionnelles.
La courbe d'intersection du plan tangent avec la surface devra présenter un point double au point de'contact, puisque toute droite passant par ce point dans le plan tangent rencontre la surface et, par suite, la courbe en deux points coïncidents. Les tangentes inflexionnelles qui ont au point de contact trois points communs avec ligne d'intersection seront tangentes à la section en ce point.
88S. On partage les différents points d'une surface en points ellip-
tiqueSy hyperboliques et paraboliques suivant que les tangentes inflexionnelles sont imaginaires, réelles ou coïncidentes. Ces dénominations ont été introduites par Dupin pour distinguer les trois espèces de contact d'un plan tangent. Lorsqu'on prend le plan tangent pour celui des xy, réquation de la surface est de la forme
z + ax* -+■ by* -j- cz* -[- ^dxy -|- 2exz -|- 2fyz + gx* -j- ....== o,
et les tangentes inflexionnelles seront définies par
z = o, ax* + 6y' + 2dxy = o.
L'origine, qui est le point de contact, sera un point elliptique si d* — a6<o;un point hyperbolique, si d' — a6>o;un point parabolique, si d* — a6 = o.
Afin de mieux se rendre compte des expressions précédentes, portons notre attention sur les points de la surface voisins de l'origine ; les coordonnées x, y, z ont des valeurs très-petites et, en négligeant les puissances supérieures à la seconde, on peut regarder la section faite dans la surfnce de l'ordre m par un plan très-voisin et parallèle au plan tangent à l'origine comme identique à celle du même plan avec la surface du second ordre
z 4" ox* + 6j/* + Cjj* + 2dxy -{- 2exz + 2fyz = o.
Suivant que la section dans cette dernière surface est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, on considère le point de contact du plan tangent parallèle comme elliptique, hyperbolique ou parabolique.
984. Trouver le lieu des points paraboliques d^une surface de tordre m.
Soit F {x, y, Zy t) = o, l'équation d'une surface de l'ordre m. Si on transporte l'origine au point (fl;',y%z') de la surface, les tangentes inflexionnelles de ce point seront les intersections des surfaces représentées par les équations
«•Fi;«, + y«F;V/ + ^'K.' + ^xyF'Jryf + 2xzn,r + 2yjîF;%, = o.
Lorsque le point(x%y', ic') est parabolique, les tangentes inflexionnelles coïncident et le plan défini par la première équation doit toucher
le cAne représenté par l'autre; par suite, ou aura la condition
F"y'x' F'yy ^'V** ^'y' F'^'^c» F",v F'V.' F",.
FV
FV r y' En égard aux relations
x^'xx + yF"yx + «F",x + <F"te = (m - i) F'«, a:F",y + t/F'Vy + ^F",y + rF' V == (m - I) FV, xF'V. + J/F' V + ;3F"„ + IF",, = (w - i) F',, xV'^i -f yF'V + «F",i + <F"« = (m - I) F',, xFV + yFV + zr, + IF'< = mF (x, y, z, 0, le déterminant qui précède peut s'écrire
F'W F'Vy' F'Vj' F Vf
F'V»' F'Vy' F'y,' F'V'f
F'W F"jpy F'Vv F' Vf
ff
Le premier membre de l'équation précédente se nomme le Eessien de la fonction F. Le lieu des points paraboliques sera la courbe d^intersection des surfaces H et F. Le degré du déterminant H est égal à 4m — 8 puisque chaque élément est du degré m — 2; il s'ensuit que la courbe parabolique sera en général de l'ordre 4nt (m — 2).
8§5. Polaires d^un point. Soient x\ y\ z\ (' les coordonnées d'un point de l'espace, et x-"^ yi*\ z'\ V* celles du point de contact d'un plan tangent quelconque à la surface F (x, y^ z^ {) = o passant par le premier. L'équation de ce plan tangent est de la forme
«F V' .4- yF V' + ^F V' + ^FV' = o ; mais, comme il passe par le point (x^ \f\ z\ X% on doit avoir la relation
xTV + y'FV + «'F V- + t'F'f • = o.
Ainsi les coordonnées du point de contact d'un plan tangeat quel-
— soo —
conque mené par le point donné vérifient l'équation
qui est du degré m — i par rapport & x^ y, z.
Donc, les points de contact des plans tangents menés d'un point de l'espace à une surface de l'ordre m appartiennent à une surface de l'ordre m — i • Cette surface s'appelle la première polaire du point donné par rapport & la surface de l'ordre m.
Si on prend la première polaire du même point par rapport h la surface Sm^u on aura une surface 8m~% de l'ordre m — 2» appelée la seconde polaire de ce point par rapport à la surface de l'ordre m. De même» la première polaire de ««.i sera la troisième polaire par rapport à la surface proposée, et ainsi de suite. L'ordre des polaires diminue chaque fois d'une unité de sorte que la (m — i)*^*^ polaire sera un plan appelé plan polaire du point donné par rapport k la surface de l'ordre m.
En supposant que la surface de l'ordre m soit définie par l'équation
la première polaire de l'origine sera
F'^=o, ou muo<*"*+(*^ — i)wit"*""'4-(m — 2)tt8("*"'+ ••••4-t*««i =0.
La seconde polaire du même point aura pour équation
F"(=o ou m {m — i)t<oi"»"*+(wi — i)(m — 2)uit"*~' + + Um^t=o.
Enfin 9 la (m — 2)*^^ polaire et le plan polaire de l'origine seront représentés par
m {m — i) ttot* + 2 (m — i) uif -{" 2Ua = o
muot + tii s= o.
Dans le cas particulier où l'origine est un point de la surface, on a iio = o; toutes les équations précédentes renfermant ui au premier terme définissent des surfaces qui passent par ce point, et qui ont pour plan tangent commun t/fsao. Donc, toutes les polaires d'un point de la surface passent par ce point et touchent le plan tangerU au même point.
986. Points multiples. On appelle point multiple d'ordre n d^une
surface, un point tel que toute droite qui le traverse y rencontre la surface en n points coïncidents. Afin de déterminer les conditions d'un point multiple d'une surface, considérons Téquation du degré m
et transportons l'origine en un point (a/, y', z') de la surfece, en remplaçant Xf y, « par oc + x', y + y'» ^ + ^'' ïl viendra Téquation
dans laquelle
?i==xFV+yFV + ^FV
?t = ar'F'W +y*F'Vv 4- «•F'V#'+ 2xyFVy + «xzF'W + 2y«FVi et ainsi de suite. Menons, par l'origine, la droite
a? = ip, y ss= pp, jj = vp.
Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation précédente, on voit facilement qu'avec la condition
AFV + |^FV + vFV = o,
elle renferme p' comme facteur commun et admettra deux racines nulles. Donc, si le point {t\ y', z') est un double, la relation précédente devant avoir lieu quels que soient X, {jl, v, on aura
FV = o, FV = o, FV = o.
De même les conditions nécessaires et suffisantes pour que le point (x', y', z') soit un point triple seront
FV = o, FV = o, FV = o; F'W = o, F"yy = o, F'W = o, F'Vy. == o, F'Vs- = o, F'Vi» = o. En général, pour un point multiple de Tordre n, on doit avoir
FV = o, FV = o, FV«o;
F' W = o, F'^yy = o, F' V,. = o, F' Vy = o ; F" ^,. = o, F V o ;
— 8oa —
Dans ee dernier eas, l'ëquaiion de la surface se réduit à
Les droites dont les coefficients directeurs satisfont k la relation
rencontreront la surface à Torigine en n-|- i points; ce sont les tangentes à la surface au point multiple d'ordre n : le lieu géométrique de ces tangentes sera une surface conique de Tordre n représentée parTéquation '
Eiifini les droites issues du point {x^fY, zf) qui satisfont aux conditions
?- {h f^J v) = o, <p»+i (>, IX, v) = o,
rencontreront la surfiice en ii-f-2 points qui se confondent avec le point multiple : ce sont les tangente$ inflexionneUes de ce point. Elles seront déterminées par les génératrices communes aux deux cAnes
9« (^» y 9 «) = o, cp„+, (x, y, z) = o, et leur nombre sera égal à n (it -}- i)*
9§7. Nous n'avons considéré jusqu'ici que l'équation du degré m en Xj y, z. Il sera facile de déduire les théorèmes correspondants lorsqu'on fait usage de l'équation du degré m tnUfVjW; ils indiqueront autant de propriétés d'une surface de la m*'^^ classe. Ainsi,
1^ Il faut un nombre de jdans tangents égal à
pour déterminer une surface de la classe m ;
2* Étant données /ut — i plans, on peut mener une infinité de surfaces de la classe m tangentes à ces plans, et toutes ces surfaces sont inscrites dans une dévehppable de la classe m*;
5^ Toutes les surfaces de ta m'^' classe tangentes à (i — 2 plans donnés touchent en même temps m" plans fixes.
Nous laissons au lecteur le soin d*interpréter les équations que nous avons considérées, dans le cas où elles renferment les coordonnées tan-
genticlles. En particulier, nous ferons remarquer que le point de contact d'un plan tangent (utViWi) à la surface
F (m, Vj u?,) = o
sera représenté par
(m — Vi) F^'i + (v — Vi) ?ii + (tt? — Wi) F,Ji = o.
