ÉQUATIONS DE QUELQUES SURFACES REMARQUABLES

S§S. Surfaces des centres. Considérons l'ellipsoïde

et menons par Tun de ses points {x', y\ z') les deux hyperboloïdes homofocaux ayant pour équations

Nous nous proposons de trouver l'équation de la surface enveloppe du plan tangent en (x', y'^ z') à l'un de ces byperboloîdes, lorsque ce point se déplace pour décrire l'ellipsoïde F. Le plan tangent à H au point {x'^y\z') est représenté par l'équation

jrx' , yy* . zz'

et les coordonnées du point de contact satisfont aux relations

Désignons par ti, v, 14; les coordonnées tangentielles du plan tangent. On aura

On en tire

X' = u (a« — i«), y' = w (6« — A«), 2' = w (c« — À»), et, en substituant ces valeurs dans les relations {k)^ on trouve.

«• + 1)* + tu

Lorsque le point {x^, y', «^ se meut sur la ligne d'intersection C des surfaces H et F, X est constant; par suite, les coordonnées tangentielles étant liées par deux relations distinctes, les coeflScients de réquation du plan mobile sont des fonctions d'un même paramètre. Il en résulte que, pendant le mouvement du point (a/, y\ z') sur la courbe C, le plan tangent h l'hyperbololde, qui passe constamment par le normale k l'ellipsoïde^ engendrera une surface développable dont l'arête de rebroussement sera la ligne formée des intersections des normales à F le long de cette courbe. Nous supposons connue cette propriété : que les normales déterminent par leurs intersections successives une courbe appelée lignes des centres de courbures principaux de l'ellipsoïde pour les différents points de la courbe C.

Si le. point (x\y'j z') se déplace d*une manière quelconque en restant toujours sur l'ellipsoïde, le paramètre A varie et le plan mobile enve-

loppe une surface dont Téquation s'obtient en éliminant A* entre les deux dernières égalités. On trouve ainsi

ou, en développant,

(S) 6*cV + o«c*i?« + a»6«u?« = (6* — c«)«a«t?*aj« + (o« — fe«)«c«i4*o«

Cette équation représente en coordonnées tangentielles la surface des centres de courbures de l'ellipsoïde.

On serait évidemment arrivé à la même équation, en cherchant l'enveloppe du plan tangent en (x\ y', z') au second hyperboloïde. La surface des centres est donc formée de deux nappes : Tune déterminée par les intersections successives des normales à Tellipsoïde le

long de la courbe d*intersectioii de H avec F; l'autrcy par les intersections des normales relatives à la courbe d'intersection du second hyperboloîde avec F.

Égalons successivement à zéro et à l'infini chacune des coordonnées dans l'équation (S) il viendra

c'm» + o*tt?» = (a* — c*)' tt»a?*, (xz)

(6« — c«)« a«ir« + (a* — 6«)« c«ti« = a«c« ;

Ces équations représentent respectivement les intersections de la surface avec les plans coordonnés; on voit que chacun de ces plans rencontre la surface suivant deux courbes, dont l'une est une ellipse, l'autre la développée d'une ellipse.

Cherchons l'équation de là surface des centres en coordonnées cartésiennes. Désignons par t«i, Vi, toi les coordonnées d'un plan tangent à la surface : l'équation du point de contact sera de la forme

(u — Ut) ¥ii + (u — v,( Fii + (w — Wi) FtJi = o, ou bien^

tiFu'i + t?F;, + wFii — (UiFJ, + ViF;, + ti?iF^) = o.

Soient ar, y, z les coordonnées cartésiennes de ce point. On aura, en désignant par L l'expression tiiF^« + uiF^, + WiFiJi,

Fui Fçi F^i

Si on pose, pour abréger,

. u» , t7» , ti?» ^ . , • I . ^==^ + 6i + 7«-' C = u« + t;« + ti;«,

B = o«ii« + 6«u« -|- c^w^ — I, l'équation de la surface devient AB«bC*, et l'on trouvera pour

les dérivées .

P; = 2u ^- H- Ao» - 2C j ; par suite