V. L'équation

as f + y"«|' = o

représente une surface qui passe par Taxe des i et dont le plan tangent est le même pour tous les points de cet axe.

•. Pour qu'une surface algébrique ait un centre, il faut et il suffit qu'en y plaçant l'origine, l'équation de la surface ne renferme que des termes de même parité ; en exprimant qu'il en est ainsi, on trouve

w(m+a)(gw + 5) 3-a*

relations entre les coefficients de Téquation, si m est pair, et

(m 4- X) (m 4- 3) (am + 1) ^^ 3,

si m est impair. En général, une surface d'ordre supérieur au second n'a pas de centre.

•. Si fa, et f n sont des surfaces des degrés m et n, n étant plus petit que m, l'équation générale des surfaces d*ordre m passant par leur courbe dMntersection sera

f M.H étant une fonction arbitraire du degré m^n.

«•• L'enreloppe d*un plan dont les points polaires par rapport à quatre surfaces appartiennent à une même plan est une surface de la classe

. (i-fm + n + jï — 4),

/, m, n, p étant les classes des quatre surfaces.

fl«. La polaire réciproque de Tapsidale d'une surface relativement au pôle de transformation est Tapsidale de la polaire réciproque de cette sur&ce.

it. La surface apsidale d*un plan est un cylindre de révolution ; celle d*une sphère^ un tore; celle d'une surface de révolution, une surface de révolution.

flS. Si la polaire du second ordre d'un point A par rapport à une surface du troisième ordre est une cône de sommet B, la polaire du second ordre du point 6 est un c6ne qui a son sommet au point A.

14. Le nombre de normales que i*on peut mener d*un point à une surface algébrique d'ordre m est égal à [m* — m (m — z)].

«Ik. Étant donné un système de surfaces de Tordre m passant par une même courbe à double courbure, 1^ Les polaires d*un point quelconque de Tespace par rapport k toutes les surfaces du système se rencontrent suivant une même courbe à double courbure; 2® Si ce point parcoure une droite, la courbe gauche se déplace et engendre une surface de Tordre s (m — x) > 3® Si cette droite décrit un plan, tontes les surfaces de Tordre 2 (m — x) passent par une même courbe à double courbure. (BoBiuisa.)

!•. Étant données autant de surfaces de Tordre m que Ton voudra passant par les m' mêmes point fixes, !<> Les surfaces polaires d'un point quelconque par rapport à ces surfaces passent toutes par (m — z)' mêmes points fixes ; 2« Si ce point décrit une droite, les (m — z)' points fixes se déplacent et engendrent une courbe à double courbure; S** Si cette droite décrit un plan, la courbe à double courbure engendre une surface de Tordre 3 (m -^ z). (Bobillibb.)

if. Chercher les nombres caractéristiques de Tintersection de la développable de la

i* classe et da 5« ordre circonscrite à deux quadriques avec une surface du second ordre. Les équations du second degré

<»ii«* + a««to* + Zattuv + zouur = o, «ut»* 4- * (flaaW* + ZOi^uv) + Wu^r = o

donnent lien à une équation en /a ayant une racine triple et une racine simple. Les coniques correspondantes de la développable circonscrite sont représentées par les égalités

ouv' -{- zauur = o qu*0D peut ramener à la forme

ll>"+ÇttV=0.

En cherchant les équations ponctuelles des surfaces, on trouve que Téquation en X possède aussi une racine triple et qu*il existe un point de rebroussement sur la courbe d'intersection.

Soit

«0* -h ^oV + «'o* + '"o* = o un plan tangent à la déreloppable déOnie par les équations (S). On aura les relations

On en tire, en posant : — =: a,

!!5 = — !iî, H=JL-

par suite, Téquatlon du plan tangent derient

ou, sous la forme homogène,

— Las + a»/32 4- ««^«y + -^*< = 0- 9 P

Si on élimine « s< /S entre les équations dérivées

on arrive à une équation du 8* degré. La développable est donc de la ^ claue et du 5« ordre.

Par les dérivées secondes, on pourra trouver les coordonnées d'un point de Taréte de

rebrousflemeot ; en les substituant ensuite dans Téquation d'une surface du second ordre quelconque

ax" -|- o'y* 4" •'" =^ o,

on arrive à une équation du 8* degré en a; l'arête de rebroussement de la développable rencontre donc la surface en 8 points. 11 faudra donc poser :

m = /uiy=io, 6=8, A = i/«v(/i - i)(v — x) = ao.

Par Tapplication des formules^ il vient ensuite

Ces valeurs ont été données par Painvin ainsi que les résultats suivants relatifs aux cas particuliers.

i« La quadrique passe par une génératrice de la développable.

m = 9, rss22, n = 45, 6 = 6| 0 = 78 «=195» y=i59i *=i6, 9 = 862.

2^ La quadrique passe par deux génératrices de la développable.

m = 8, r = i8, n = 34, 6 = 4, a = 5^> ar=i24, y =98, ^=ï3> 9 = 468.

3» La quadrique passe par la conique double de la développable.

m = 8, r = i7, 11 = 32, 6 = 5, « = 53» « = xo8, y =84, A =12, 9 = 408.

4^ La quadrique passe par la conique simple de la développable.

50 La quadrique passe par trois génératrices de la développable.

ê° La quadrique passe par la conique double et une génératrice de la développable.

7^ La quadrique passe par la conique simple et une génératrice de la développable.

8<> La quadrique passe par la conique double et deux génératrices de la développable .

m = 6, f=l5, « = «2, 6 = 1, a =33 « = 58, y = 42, A = 7, fl' = i75- 9^ La quadrhiue passe par la conique simple et deux génératrices de la déyeloppable.

m = 6, rsio, n = z4, 6 = 2, a = x8| « = 29, y = ai, A = 7, sf = 59«