AA', AB', AC, BA', BB', BC
CA', CB', rx:%
appartiennent à la surface du troisième ordre.
Ces droites ne sont pas les seules que l'on peut tracer sur la surface. En eflfet, considérons un hyperboloïde passant par quatre droites dont on vient de prouver l'existence et représenté par l'équation
AB — ifcA'B'=:o.
En la combinant avec celle de la surface pour éliminer le produit AB, on trouve Téquation
A'B' (XC — *C) = o.
L'hyperboloïde ayant quatre génératrices communes avec la surface du troisième ordre^ rencontrera encore celle-ci suivant une conique située dans le plan AC — fcC = o, puisque la courbe d'intersection des surfaces est en général du sixième degré. Mais on peut déterminer k de manière à ce que la conique se réduise à deux droites, et, l'hyperboloïde coupera la surface du troisième ordre suivant deux droites nouvelles. Gomme ce raisonnement est applicable aux hyperboloîdes circonscrits aux neuf quadrilatères
(AB A'B'), (AB A'C), (AB B'C), (ACA'C), (ACA'B'), (ACB'C), (BC B'C), (BCA'C), (BCA'B'),
on aura dix-huit droites situées sur la surface et distinctes des premières, et on arrive à ce théorème : Une surface du troisième ordre renferme en général vinghsept droites distinctes.
§ 3. SINGULARITÉS ORDINAIRES d'uNE COURBE GAUCHE OU d'uNE SURFACE
DÉVBLOPPABLE.
S9ft. Nous avons montré précédemment qu*uae surface développable peut être engendrée par un plan mobile représenté par une équation ne renfermant qu'un seul paramètre. Soit
cette équation. Pour deux plans voisins correspondant aux valeurs a et a-]-hy on ^:
9 (^> y y «> a) = o» <P {x, y> ^> a + A) = o ou bien
Si on fait tendre A vers zéro, il vient, h la limite,
Ainsi, les coordonnées d'un point quelconque de la droite d'intersection de deux plans voisins, à la limite^ satisfont à ces deux équations; celles-ci définissent donc une génératrice de la développable. Par l'élimination du paramètre a, on obtiendra l'équation du lieu de cette droite, c'est-à-dire, l'équation de la surface développable.
Le point d'intersection de trois plans consécutifs devra satisfaire aux équations
OU, en passant à la limite,
Les deux premières équations déterminent une génératrice ; la seconde et la troisième la génératrice consécutive; le point commun aux trois plans sera le point d'intersection de ces droites, c'est-à-dire, un point de l'arête de rebroussement. En groupant ces équations deux à deux pour éliminer a, on arrivera aux équations de cette courbe.
Enfin, il pourrait arriver que quatre plans consëcutifs aient un même point commun; il en est ainsi, lorsque l'on peut satisfaire aux équations
ce qui est généralement possible; car, en éliminant x, y, z^ il en résultera une équation en a qui, étant résolue, donnera un certain nombre de valeurs du paramètre pour lesquelles ces équations auront lieu simultanément. Les points de l'arête de rebroussement où se rencontre cette particularité s'appellent points stalionnaires ^ trois génératrices consécutives, au lieu de deux, passent par ces points. Pour faciliter l'élimination, il est préférable de rendre préalablement la
ce fonction 9 homogène en remplaçant a par ^ ; l'équation de la déve-
loppable s'obtient alors en éliminant a et |3 entre les équations dérivées
et celles de l'arête de rebroussement entre
Enfin, la déterminaton des points stationnaires se fera en éliminant x^y^z entre les équations
S96. Considérons maintenant l'équation réciproque
(p (m, Vy Wy a) = o,
c'est-à-dire, l'équation obtenue en remplaçant x, y, z par t/, v, u?. Elle définit un point mobile qui, par son déplacement dans l'espace, engendre une courbe gauche. En effet, en désignant par x, y, z les coordonnées cartésiennes de ce point, l'équation précédente conduirait à des valeurs de la forme
en éliminant ensuite le paramètre a entre ces relations, il viendrait deux équations en x, y, z pour représenter le lieu du point mobile; ce lieu est donc une courbe gauche, l'intersection des surfaces définies par ces équations.
Cela étant, pour deux points consécutifs correspondant aux valeurs a et a -}- Ay on aura :
(f (u, !?, u?, a) = O, 9 (tt, V, u?, a 4" '^) = ^
et, à la limite, en faisant tendre h vers zéro,
mais alors la droite qui réunit les deux points confondus est tangente à la courbe; les équations précédentes seront donc satisfaites par les coordonnées d'un plan quelconque passant par cette tangente. Si on élimine a, il viendra l'équation tangentielle de la courbe gauche. Il est bon de remarquer que le degré de cette équation sera en même temps Tordre de la surface développable ayant pour arête de rebroussement la courbe gauche ; car, si on combine Téquation tangentielle avec celles de deux points
aiH + 6iV -j- CiW -|- rfi c= o, atu 4- btv -\- Cju? -f- dî = o,
on trouvera autant de solutions communes qu'il y a d'unités dans le degré de l'équation tangentielle; le nombre de plans contenant une tangente et passant par la droite des deux points est donc égal à ce degré. D'un autre côté, il y aura autant de ces plans que de points de rencontre de la droite des deux points avec les tangentes à la courbe, et c'est ce dernier nombre qui fixe l'ordre de la développable. Considérons encore trois positions consécutives du point mobile; la limite du plan qui les renferme s'appelle plan osculaleur de la courbe; les coordonnées de ce plan satisferont aux équations
En éliminant le paramètre a, on arrivera & deux équations en ti, v, w qui représenteront la surface développable engendrée par ce plan.
Enfin^ si quatre points consécutifs se trouvent dans un même plan, on aura simultanément
Après avoir éliminé ti, v, vo entre ces relations, il en résultera une équation en a qui sera, en général, satisfaite par un certain nombre de valeurs de ce paramètre; les plans qui leur correspondent s'appellent flan% atationnaires,
S9T. Il résulte des considérations qui précèdent qu'une surface développable et une courbe gauche tirent leur origine d'une même formule analytique, et la théorie de l'une se confond avec celle de
Tautre. Nous allons maintenant définir, après Gayley, ce que Ton entend par les singularités ordinaires d'une surface développable.
Il 7 a, en premier lieu. Tordre de la courbe gauche^ Tordre et la classe de la développable; nous les désignerons respectivement par m, r, n.
En second lieu, il y a les plans et les points stationnaircs; soient a et 6 les nombres de ces plans et de ces points.
En troisième lieu, on considère le nombre de systèmes de deux génératrices non consécutives se coupant sur un plan arbitrairement choisi, ainsi que le nombre de plans contenant deux génératrices non consécutives et qui passent par un point arbitrairement choisi; soient X et y ces nombres.
Enfin, on considère encore le nombre de droites provenant de Tintersection de deux plans tangents non consécutifs et qui se trouvent dans un plan arbitrairement choisi, ainsi que le nombre de droites rencontrant la courbe gauche en deux points et passant par un point arbitrairement choisi ; soient g et h ces nombres.
M. Gayley, par l'application des formules de Pliicker, a démontré des relations qui permettent de calculer toutes les quantités qui précèdent au moyen de trois d'entre elles. Avant de les établir, il faut se rappeler que, pour une courbe plane d'ordre /m, de classe ky ayant î points d'inflexion, d points doubles, a points de rebroussement et t tangentes doubles, on a les relations,
A: = fx (p — i) — 2d — 3«, /A * = 3f^(f^ — 2) — 6d — 88,
et ces quatre équations ne forment que trois relations distinctes; on peut aussi en déduire les deux égalités
398. Appliquons ces formules à la section faite par un plan dans la surface développable. Le degré de cette surface étant r, on aura pour Tordre de la section : ^ = r. Prenons arbitrairement un point dans le plan sécant; il y a n plans tangents à la développable passant parce point; mais tous ces plans rencontrent le plan de la section suivant dea
tangentes h cette courbe passant par le même point; par suite, k = n.
Les différents points de la courbe d'intersection sont les traces des génératrices sur le plan sécant; s'il arrive que deux génératrices se rencontrent précisément dans ce plan, le point correspondant sera un point double sur la section ; d'après les notations, le nombre de cas où cette rencontre peut avoir lieu dans un plan est x; donc, d = x.On doit admettre que les tangentes en ces points sont généralement différentes, puisque les plans tangents suivant les deux génératrices sont généralement distincts.
Tout plan tangent à la développable détermine sur le plan sécant une tangente à la section ; si deux plans tangents non consécutifs rencontrent ce plan suivant la même droite, celle-ci sera une tangente double; le nombre de fois que deux plans tangents peuvent se rencontrer suivant une droite située dans un plan étant jf, on aura :t = g.
Les points de rebroussement de la section correspondent aux points de rencontre du plan sécant avec la courbe gauche de l'ordre m, et l'on aura : s = m.
Enfin, pour avoir un point d'inflexion ou une tangente stationnaire, il faut que deux plans tangents consécutifs coïncident ; un tel point correspond donc à un plan stationnaire et l'on doit avoir : t = a.
En substituant ces diverses valeurs dans les relations (/), il vient :
n = r{r — i) — 2X — 3111, a = 3r{r — 2) — 6x — 8m, r = n (/i — i) — 2Sf — 3a, m = 3n(n — 2) — 6g — 8a,
ainsi que les deux égalités
et toutes ces équations seront équivalentes h trois relations distinctes.
S09. On obtient encore d'autres formules en considérant un cAnc ayant pour sommet un point quelconque de Tespace, et passant par la courbe gauche qui engendre la développable. Remarquons d'abord que, si on coupe un cône par un plan, à un point double, à une tangente double etc. de la section correspondent une arête double un plan tangent double etc. dans le cône et les relations entre les singularités de
la section s'appliqueront au cAne en remplaçant point double par arête double etc.
Un plan mené par le sommet du cAne qui passe par la courbe gauche rencontre celle-ci en m points; il renfermera donc m génératrices et Ton doit poser : |ji = m.
Un plan tangent au cane passe par une tangente k la courbe gauche, et si l'on veut déterminer la classe du cône, ou le nombre de plans tangents passant par une droite quelconque menée par le sommet, il faudra déterminer le nombre de fois que cette droite rencontre une génératrice de la développable; ce nombre est r, ordre de la développable ; donc, k = r.
Lorsque deux points de la courbe gauche se trouvent sur une droite passant par le sommet du cAne, les deux arêtes relatives à ces points coïncident; il y aura autant d'arêtes doubles qu'il y a de droites semblables; par suite, d = h.
De même, si deux plans tangents passant chacun par une tangente h In courbe gauche viennent h coïncider, on obtient un plan contenant deux génératrices de la développable et passant par le sommet du cAne; donc, le nombre de plans tangents doubles sera y, et l'on devra poser : t = y.
Si deux plans tangents consécutifs viennent k coïncider, il en résulte un plan stationnaire ; mais alors ce plan passant par deux génératrices consécutives est tangent k la développable; il y aura ainsi autant de plans stationnaires qu'il y a de plans tangents k la développable passant par le sommet du cAne; donc, t = n.
Enfin, une arête stationnaire ne peut se présenter sur le cAne que s'il y a des points stationnaires sur la courbe gauche; donc, 8 = h.
Par la substitution de toutes ces valeurs dans les formules (Q, on trouve :
r = m{m — i) — zh — 36, n=3ni(m — 2) — 6A — 86, m.= r (r — i) — 2y — an, 6 = 3r (r — 2) — 6y — 8n, ainsi que
n — 6 = 3 (r — iw).
2 (y — A) = (r — fn){r'i'fn — 9).
Ces diverses égalités ne constituent que trois relations distinctes. Les
deux systèmes réunis permettront de calculer toutes les singularités d'une déTeloppablc, étant données trois d'entre elles.
La comparaison des dernières formules aux premières nous montre que les nombres
*w> *•> ^> 9i A» o> f>9 a;, y, correspondent respectivement aux suivants :
n, r, m, A, jf, 6, a, y, x.
400. Considérons maintenant le cas d'une courbe gauche provenant de l'intersection des deux surfaces
la première de Tordre fx, et la seconde de Tordre v. On aura d'abord : m = [iv. Ensuite^ pour déterminer Tordre de la développable, désignons parx',y', z\ V les coordonnées d'un point de la courbe, et regardons la génératrice comme étant l'intersection des plans tangents en ce point aux deux surfaces; elle sera ainsi définie par les équations
xf'^ -f- yP;- + zF;. + i^r = o,
*/i' + y/J' + ^/ï' + ^ft = o-
Si on exprime qu'elle rencontre une droite quelconque représentée par
aiX + 6iy + dz -\- dit = o, a\x + b%y -f- etz + d%t = o, on trouve :
Fi.
Fi
ai
ai
Cette équation est du degré fx — i-^v — i -cp + v — 2;on peut la considérer comme représentant une surface de Tordre fx -f" ^ — ^ ^^^^ les points de rencontre avec la courbe gauche seront tels, que les génératrices correspondantes rencontreront la droite D. Le nombre de ces points est : pv (/x -|- ^ — 2); ce sera Tordre de la développable qui a pour arête de rebroussement la ligne d'intersection des surfaces; ainsi Ton a : r = fxv (/jt -}- V — 2).
Enfin, cherchons encore la valeur de h. Menons par un point
(x', y' y t'y i') de la ligne d'intersectioa des surfaces une droite quelconque, et soient x", y", z", t" les coordonnées d'un second point de cette droite. Les autres points d'intersection de la droite avec F et /'s'obtiendront en substituant dans F = o et /= o les valeurs x' -j- Xx", t/' + ^y'\ z' + ^^"i '' + ^<"à ^9 Vi Zy L II vient ainsi deux relations de la forme
où Ton a symboliquement
- (x"Fi. + y'% + z'%. -I- t'T'ry
:. (x'Yi' + »"/•;• + ^'Yi' + «7f )'•
Le coe£Scient A,- renferme les coordonnées x", t/", jz", <'' au degré t, et les coordonnées x', y% z', t' au degré /x — t ; de même» le coefficient B»renferme les mêmes quantités au degrés t et v — t. La droite menée par (x' y jz' V) rencontrera la courbe d*intersection en un second point, si les équations précédentes admettent une racine commune. Or, en égalant à zéro, l'éliminant de ce système, on trouve
Al As As
o Al At *
Bi Bs Bs o B| Bs
Ce déterminant renferme v — i lignes de coefficients A, et fx — i lignes de coefficients B; le terme principal (Ai)^'' (By)'^' contient les coordonnées x", y", z", (" ou degré v — i + v (|jl — i) = |utv — i, et les coordonnées x', y\ «', (' au degré (fx — i)(v— i).Si on remplace x",y,z",t" par Xy y, z, (, l'équation précédente représentera un eàne dont chaque arête sera une droite qui rencontre la courbe en deux points. Supposons, enfin, que x", y", «'', (" soient les coordonnées d'un point arbitrairement
choisi sur ce cône; Tëquation (E) est du degré (fx — 0 (v — i) par rapport k x%y',2',t', et en la combinant avec les deux suivantes:
on trouvera ^v (/x — i) (y — i) solutions communes. Les points qui leur correspondent appartiennent aux droites qui, en rencontrant la courbe en deux points, passent par le point arbitrairement choisi; le nombre de ces droites sera évidemment la moitié de celui qui précède; par conséquent, il vient :
2ft = p (jUl — l) (v — l).
Si nous substituons maintenant les valeurs trouvées pour m, r, et ^h dans la relation :
on en déduit : 6 := o : ce qui doit être dans le cas général où les surfaces sont supposées ne pas avoir de contact. Les autres formules conduisent ensuite aux valeurs suivantes :
n = 3/xv(^ + v — 3),
o = 2/:xv (3|:x -|- 3^ "" ïo) ig = fxv [fxv (3fx -f- 3v — g)* — 22 (/x + v) + 71],
2a; = (XV [/xv (][x + V — 2)* — 4 (fx+ y) + 8],
2y = pv [|iv (/x -J- V — 2)' — 10 (|ui -|" ^) + 28].
401. Lorsque les deux surfaces ont en un point un contact simple ou stationnaire, le lieu («) de Tordre fx-j-v — 2 passe aussi par ces points; si X est le nombre de contacts simples, et 6 le nombre de contacts stationnaires, le nombre des autres points d'intersection de la surface («) avec la courbe gauche sera :
r = (XV (|x + V — 2) — ^i — 36.
La formule (y) donne ensuite
2A = (jtV (fX — l) (v l) + 2«,
et les autres nombres devront être modifiés conformément à ces derniers.
On peut se rendre compte qu'il faut ajouter 2( à 2A ou I à A, par le
calcul que nous avons indiqué pour h. Dans ce but, on a déterminé le
nombre de cas où les rayons vecteurs issus d'un point arbitraire M
deviennent deux fois égaux pour les deux surfaces; pour un point double, cette égalité ne se présente qu'une fois et ce cas n'est pas compris dans le nombre qui représente h.
409. Supposons maintenant que la courbe d'intersection des surfaces se décompose en deux autres d'ordre nti et ms. On aura d'abord : m = mi-\-mi = ixv. Les points qui appartiennent aux droites h sont encore déterminés par les rencontres d'une surface d'ordre (/i — i) (v — i) avec la courbe totale d'intersection; mais deux de ces points peuvent appartenir h la courbe mi, ou à la courbe nts, ou bien l'un d'eux se trouver sur la courbe mi et l'autre sur la courbe m«. Désignons par Ai, At et H les nombres de droites ^passant par un point donné et se rapportant à chacun de ces cas. Le nombre H représentera aussi celui des intersections apparentes des deux lignes. En tenant compte des points d'intersection de la surface d'ordre (p. — i)(v — i) avec chacune des courbes, on trouve les relations
Wi (fjt — i) (v — i) = 2Ai + H, wi8 (f* — i) (v — i) = 2*» 4- H ; par suite,
2 (kl — hi) = (iHi — wit) (p — i) (y — i).
Lorsque les surfaces d'ordres fx et v se touchent simplement en t^ points sur la courbe mj, et en U points sur la courbe m«y il faudrait remplacer ces relations par les suivantes :
mi (fx — i) (v — i) -(- 2ti = 2*1 -[- H,
w« (fA — !)(''"- i) + 2<i = 2ht + H, 2 (Al — A») = (m* — fiit) (fx — i) (v — i) 4- 2 (ti — <i).
40S. Nous allons maintenant donner quelques applications des formules qui précèdent. Soit d'abord la surface développable engendrée par le plan
(p = aaP + 6aP"* + • • • .-|-/ = o,
ou a, 6,.... / sont des fonctions du premier degré en x, y^z, et a un
paramètre arbitraire. Rendons l'équation homogène en remplaçant a par
-r'y ce qui donne
En substituant dans 9 les coordonnées d*un point (xi y^ zi), on en déduit p valeurs pour a; la classe de la développable ou le nombre de plans tangents passant par un point arbitrairement choisi est donc p.
En second lieu, on sait que l'équation de la surface s'obtient en éliminant a et P entre les deux suivantes :
ci = o, 9p = o
qui sont du degré p — i ; Tordre r de la développable sera donc
En troisième lieu^ nous avons vu que, pour déterminer les points stationnaires, il faut éliminer les coordonnées entre les équations
du degré p — 3 par rapport aux paramètres; Féliminant de ce système sera un déterminant du quatrième ordre qui, étant développé, conduit à une équation du degré 4 (p — 3); ce sera la valeur de 6.
Connaissant n, r, 6, les formules donnent pour les autres nombres caractéristiques
40S. Considérons le système réciproque ou la courbe gauche représentée par la même équation, lorsque a, h^c.d sont des fonctions du premier degré en ti, v, w. On aura d'abord m=p\ car, pour un plan (ui, Vi, u?i), l'équation donne p valeurs pour le paramètre et il y a p points de la courbe dans ce plan.
L'équation langenlielle de la courbe est le résultat de l'élimination des paramètres entre les équations dérivées
elle sera du degré 2(p — i); nous avons fait remarquer que ce degré représente aussi Tordre de la surface développable; donc, r = 2 (p — i). Enfin, le nombre de plans stationnaires est donné par le degré de Téliminant du système
Par suite, o = 4 (p — 3).
Avec ces valeursi oû trouve pour les autres nombres
y = 2(p — 2)(p — 3), ar«2(p — i)(p — 3),
A = |(p — i) (p — 2), flf == i (9p« — S3P + 80).
En comparant ces valeurs aux précédentes, on voit que les nombres m et n, r et r, a et 6, x et 2^, ^ et A sont réciproques Tun de l'autre. Dans le cas de p =3 3, on trouve
et les nombres sont identiques dans les deux cas.
404. Courbe d'intersection de deux quadriques. On a ijl=^v=s2j et m =3 4. Dans le cas généra], les formules donnent :
m = 4, n = i2, 6 = 0, r = 8, a =16, ar=:i6, y»» 8,
g = SSj A = 2.
Si les surfaces se touchent simplement en un point, on a : f «= i ; par suite, r^^^ôj A =» 3; d'où on déduit pour les autres nombres
6 = 0, n = 6, a = 4, x = 6, y = 4, ff = 6.
Lorsque les surfaces ont un contact stationnairc, 6=1, r^^^Sf A r= 2 ; par suite
Si elles ont une génératrice commune, la courbe d'intersection se décompose en une ligne d'ordre mi = 2'} ^^ l'autre d'ordre ntf=i; pour celle-ci, Ai = o, et une formule qui précède donne Ai e» i. Les autres nombres caractéristiques de la courbe du troisième ordre se trouvent au N^ 405.
405. Intersection de la développable de la 3« classe et du 4^ ordre drconscrtte à deux quadriques avec une surface du second ordre. Nous avons vu (p. 437) que cette développable est engendrée par le plan
(p = ^x — «y — a*z + gcnH = o ou, sous la forme homogène
a et (3 étant deux paramètres arbitraires. Les coordonnées d'an point de Taréte de rebroussement satisfont aux équations
ç^t = 6A(3x — 2ccy =« o.
On en tire, en posant ^^=^ i^
En substituant ces valeurs dans l'équation d'une surface du second ordre quelconque
ax* + c'y* + a"«* -(-....== o,
on arriverait à une équation du sixième degré en a. Ainsi l'arête de rebroussement rencontre la surface du second ordre en six points qui sont des points de rebroussement pour la ligne d'intersection ; on doit prendre 6 = 6. La formule 2 A = fx v (jtx — i) (v — i) donne h = 12, et comme m = jx v = 8, les relations démontrées permettent de calculer les autres nombres. Ce sont :
r=i4, gf=2i2.
Ces valeurs ont été données, par M. Painvin (Etude de la développable circonscrite à deux surfaces du second ordre, i873). Ce géomètre a aussi considéré tous les cas particuliers, et nous terminerons en donnant ici les résultats qu'il a obtenus.
i"* La quadrique a une génératrice commune avec la développable. On a :
m4 = 7, »ti=r, A«==o, Ai ==9, H =3.
Pour la courbe du 7« ordre, il faut prendre
fw = 7, 6 = 4, A = 9,
et il en résulte :
â^ La quadrique a deux génératrices communes arec la développable.
Pour la courbe du 6* ordre, on a
fn = 6y 6 = 2, A = 7 par suite :
r=io, Sf = 59'
3* La quadrique a trois génératrices communes ayec la développable.
tni = 5, m% = 3, Al = 3, Al =» 6, H «= 3. Pour la courbe du 5* ordre, on a
m = 5, 6 = 0, A = 6; par suite,
4* La quadrique a une conique commune ayec la développable.
♦Wi = 6, nifl av 2, A| = o, A|c=b6, H = 6. Pour la courbe du sixième ordre, il faut prendre
fn = 6y b»=>4, A = 6 ce qui donne :
^ =• 4» y = 6, r = 6, y = 3- 5^ La quadrique a en commun, ayec la développable, une conique et une génératrice.
*wi = 5» wit «s= 3, A« = 2, Al s= 4, H = 7. Pour la courbe du 5* ordre, on a
m = 5, 6 = 2, A = 4 par suite :
6* La quadrique a en commun, avec la dëveloppable, une conique et deux génératrices.
t»i = 4, mf==4, Af = 5, Ai se 3, Hsmô.
Pour la courbe du 4* ordre, on a
par suite :
ac = 6, y = 4,
Théorèmes et exercices sur les surfaces algébriques.
1. Les normales abaissées des différents points d*ane droite sur une surface de Tordre m appartiennent à une surface d*ordre m' (Uanrhum), Si on exprime que la normale représentée par les équations
\*' tff — nf "^ p/
l^gr r^f r,/
rencontre la droite x = az ■\'p, y = 62; -f 9, ou
on trouve la condition, (a') (y'-ft»'-9)Fi,-(»'-a»'-p)F;, + [a(ç-.y')-6(p-«')]Fi =0.
De plus, on a F (0% y', ;s') = o. Si on élimine m', y', V entre les équations (a), («') et F qui sont du degré m par rapport à ces variables, on arrivera à une équation du degré m' par rapport à x, y, 2.
9. Un plan quelconque coupant une surface de Tordre m renferme en général m (m — l) normales à la surface (Marnhbim). Exprimons que la normale
"FîT'^Tjr^'Tir
se trouve dans un plan donné A» -{- By + Cs + D = o ou
A(« — aj'}H-B(y — y')+C(« — a')-+-A«'+By'-f C»' + D = o.
11 viendra les conditions
AF;, + BF;, + CF^, = o, Ax' + By' + Cz' + D = o.
Si on y joint la relation F (c', y% 2') = 0, on a trois équations des degrés m — i, Xi m par rapport à •', y', »'\ le nombre des solutions communes sera égal km(m~~ i).
a. Toute surface de Tordre m, qui passe par m génératrices d*un même système d'une surface du second ordre, renferme nécessairement m génératrices de Tautre système.
Assujettir une surface de i*ordre m à passer par les m génératrices revient à donner m* relations entre les coefficients de son équation ; car si on exprime que la droite x = az-{-p^ y .=r 6z 4- 9 est sur les deux surfaces, on arrive à m -|- 4 conditions renfermant a, b,p,q\ en éliminant ces derniers coefficients, ils restera m relations entre les coefficients de l'équation générale du degré m. On ne peut plus assujettir la surface, qui passe par les m génératrices d'une surface déterminée du second ordre Sa = o, qu*à un nombre de conditions égal à
Or, si Pi = o, Pi = o, , Pm = o sont M plans tangents à Si, chacun des
polyoômes Pi, Ps. ... ne contient que deux paramètres variables, et on vérifiera facilement que l'équation
>PiP« P»4- Si«?«,« (», y, «) = o,
où f M-s est une fonction du degré m — 2, renferme un nombre de constantes arbitraires égal au précédent; ce sera Téquation générale des surfaces de Tordre m qui satisfont à ces conditioDS. Il en résulte qu'on pourra ramener l'équation de la surface qui renferme m génératrices à cette forme, et, comme chaque plan tangent i S| rencontre cette surlace suivant deux droites, la surface de Tordre m doit renfermer m génératrices de Tautre système.
4. Une surface de Tordre m est en général de la classe m (m — i)'.
•. La polaire du second ordre d'un point parabolique est un cône.
•. L'équation
représente une surfoce qui passe par Taxe des g et dont le plan tangent est variable aux différents points de cet axe.
