fa

'., ef+fa=-e

et pur eonséqueni, elle est nulle.

Un raisonnement analogue peut s'appliijuer à un polygone d'un nombre quelconque de côtés; le lliéorème est donc démontré.

Afin d'exprimer ie théorème précédent par une équation, désignons par a, b, c... t les n côtés d'un polygone, et par «, (3, y.,..\ les angles de ces côtés avec i'a.ic de projection. On aiiivi

(2] « eosa + 6 cos [3 H

■ -/ro,/ = l),

yGoosle

m le signe ^ iii(ii(|iiu mu; soimnu. La reliiliui» (2) e\[)L'L[iie le thoi, ;«iit'ral des projuciions orlhogoiiales tijiiis un plan.

g 3. DES FRACTIO.XS ÉGALES.

7. Etant données Us fractions égales tm, m', m".... étant des (juanlités quelconques, oh a :

1/6" +t> -i-f" + ■■■ Pour k déiiionli'ci'. posons

(2) a = W, a' = M', a" -= kh",... .

On en déduit, en iimltiplianlpespeclîvement ces égalités piir »i, )«',)«"..., {[3) Hia = kmb, m'a' '^km'b't a" =^km''b",....

et, en les élcviint au carré,

{y) «3 ^ tSfti^ a" = /cV% a"^ = k^li"\...

Si on njimle les équations (a), (P), (-/) respeetivemenl menibrc à membre, 01! ohlicnt

(,m -^ m'a' + ,n"a" + ..■■) = {mb -^ m7/ -h m'7>" + ... ) /.■ («= + «'^ -^ «"^ .- ....) = [/'^ -^- 1>- -f- '/" -H- .. ,) /.-■. On 011 lire

(,-t-(j'-+- 6" ->-•-■" "(6-1- m'b' -\- m"l>"-i--- ^ (/ft^ .+-6'^ +fc'-^ + - . ''"

ce qui démontre le lliéorènie énoncé.

s. Étant données les trois fractions égales p q__r l'util n' et a, [3, y étunt trois angles quelconques, on mira

P 'j »■ \/p^ + ç^ + r' — 'Hffr cos a. — %-p cos p — Ipq cos 7

l m n ^/ii +,„s^ H*~2 mncosa. — 2nl cas ^ — 2imcosy En effet, en désignant pnr k la valeur de uhaciine des fractions, il vient, en éievant nu cniTé,

Si on muHiplic les Tractions données deux à deux, on a aussi

2r/ï- cos a 'irp cos [3 ^ 2pi^ cos ï ___ , g ' 2)H)i cos « ~'^nl cos ^ ~ 2/m cos y ~ ' '

En vertu du théorème précédent, les égalités (è) et (c) conduisent à l'équation

7)^ ■+■ if -t- 1'^ — 'iqr cos 01 — ^)y eos (3 — 2^q cos y

(2 -t- m^ -1- «* — 2mrt cos « ^ 2>i( eos jS — 2(m cos y '

et, par conséquent,

\/p^-\- q^ H-r^ — ^qrcos a — 2rpcosfiS — ^pq cos y .__!'__ 9 '' j/(* -+- m^ H- n* — 2i!i»i cos a — 2Hi cos ^ — 2/»i cos y * '" **

c'est ce qu'il fallait démontrer.

Ces propriétés des fractions égales nous sei'ont souvent utiles dans les calculs de la géométrie analytique.