NOTIONS SUR LES DÉTEUHINANTS
9. Considérons un système de deus équations du premier degré de la forme
■ XVIll ■
Les valeurs de a: et de y qui satisfont à lii fois à ces équations sont données par les formiiics
aX—a^b,' ■' a,6, — n,6, Toute expression algébrique de la forme dit dénominaleur se nomme le dêtermifianl du second ordre dcsquantiiés «,, 6, , a^, b^. Pour représenter ce détermioanl, on emploie la nolalion
On dispose donc les coeQicienls sous la forme d'un carré entre deux traits verticaux.
Les nuinéraieurs des inconnues a; ef y sont aussi deux déterminants du second ordre; avec la notation préccdenie, on peut écrire
Remarque 1. Dans le déterminant des quantités a,, 6,, a,, 6,, les éléments Bj, 6^ forment la diagonale dn carré. Dans le déveioppemeat, il faut donner le sijrne positif au produit des éléments de cette diagonale.
Remarque 2. Pour obtenir les termes du déterminant
on forme d'abord tontes les permutations du produit des lettres différentes qu'il renferme sans les indices; il vient ainsi :
ah, bu ; on donne ensuite l'indice 1 à la première lettre de chaque groupe, l'indice 2 à la seconde, et on affecte le dernier produit du signe négatif.
10. Considérons, maintenant, le système de trois équations du premier degré
a,x -t- h, y -*- c,E = (/,, a^x -^ b.,y -t- c,z ^ d^, «jï -t- 1)^1/ ^- CjS= d^.
Le di^noniinateiir commun des valeurs générales des inconnues x, y et z, c'est-à-dire l'expression
se nomme le déterminant du troisième ordre des quantités a,, 6,, r,, etc.; on le désigne par la notation
«1, &(, Cl j
«3, &9, Ci!
Le déterminant du troisième ordre s'exprime s du second ordre; car sa valeur peut s'écrire de savoir :
'65C, — ÈjCj) -H Oj [«jCj — OjC,) -H 6j
i moyen de déterminants ix manières différentes,
=((2Aï-*-*'a^a+*'s*^î'=«îA5 + 63Bî-4-CjCs.
RewîarçHe 1. On fait usage des expressions précédentes pour ealcnler la valeur d'un déterminant donné du troisième ordre.
11 est bon d'observer que Ai est le déterminant du second ordre obtenu en supprimant la ligne horizontale et la ligne verticale qui renferment le
— NX
cotHicipiil «1 ; il en est de mcinc d Si i'on demaudiiit, juir cxrmple, la
i iiiUrcs dotenninni aleiir du délcrmiiiai
et le déterminant propose a pniii' valeur — U),
Remarque 2, On peut encore obtenir les différents termes du déterminant du troisième ordre de la manière suivante : on forme d'abord toutes les permutations du produit abc, ce sont :
abc, acb, eab, bac, bca, cha; on donne ensuite l'indice 1 à la première lettre, l'indice â à la seconde lettre, l'indice 5 à la troisième lettre de chaque groupe; il vient ainsi :
a,b^c^, «,£563, c,0g6^, tjftjÊ-, fcjCjK,, c,6j(*5; cnfio, on donne le signe 4- nu premier terme qui est le produit des éléments de la diagonale du carré, et on affecte les autres termes du signe -t- 011 du signe — suivant qu'ils proviennent du premier par un nombre pair ou impair de permutations des indices. Ainsi, le terme a,c^b^ sera négatif, puisqu'il vient du premier en permutant les indices des lettres 6 et c, le troisième terme provient du second en permutant les indices des lettres a et c, et, par conséquent, pour passer du premier au troisième il faut deux permutations d'indices ; donc ce terme aura le sifçne -+- ; et ainsi de suite.
11. Soient enfin n équations dn prcmicf degré de la forme aiX + biy ■+■ CtZ -4- — + S|«^ vi a^x ■+ b^y -+■ c^z-t- ■■•- -f ïjU^yj
fl»SC -t- b„i/-t-C^ H ■ +S„l'' = v„.
Le dénominateur commun des valeurs de a:, y, ;..., qui satisfont à
ces éc(uaEions, s'appelle le dùtcrminaiil do Torilre n dts tocflicieiits «i, bi...-, lise (iésigni! par la notation
fflj, tô, Cs,
It bi le 1 iiDiitin iiiliiHLP (lins laifcionde iem>rqiic du miinéro piecLdiiit pour le dciiommateiii des inconniics x y, z, lorsqu'on a un sjsleme de tioi'î équation'; du premiei degré, s'applique à un système de n dquations du premiei degré a n inconmies II s'en suit que pour obtenir le deti-rminant de loidre n on foi me toutes les permulaliiiiis du pioduitû6a( s qui renferme n lettres
ahcd...., acbd...., ete.; on donne l'indice i à la première lettre, l'indice 2 à la seconde..., l'indice « à la dernière lettre dans chaque groupe ; enfin, après avoir donné le signe -i- au produit
iiibifs .... s„ qui renferme les coefficients de la diagonale du carré, on affecte un terme quelconque du signe ■+• ou du signe — suivant qu'il provient du premier par un nombre pair ou impair de permutations des indices. La somme algébrique de tous les termes ainsi abtenus sera le déterminant de l'ordre n.
Remarque i. Nous avons vu qu'un déterminant du troisième ordre est égal à ttiA, + OjAs -t- ojAî, Ai, As, A3 étant des déterminants du second ordre qui ne contiennent pas la lettre a. Cette propriété s'applique aux déterminants des différents ordres. Ainsi, en désignant par Ai, Aa, .... A„ des déterminants de l'ordre (n — 1) qui ne renferment pas, le premier le coefficient ai, le second le eoefficicnt «s, etc., le déterminant de l'ordre n peut s'écrire
«lAi -1- «sAa -t- ....o«A^.
De
, Ai, IJi, Ct, .... S, étant des déterminants de l'ordre (h — 1),
le premier ne renfermant pas le coefficient a,, le second le coefficient b, etc., le déterminant de l'ordre n sera encore égal à
atA, ■+■ 6|B| -+- CiCi + .... SiSi.
Remarque 2, Il n'est pas indispensable pour la définition d'nn déterminant de considérer un système d'équations du premier degré en a:, i/,... On peut dire : Etant données «* qnantilés a,, bi, .... Si, «s, bu, .... Sa, etc. disposées en carre ayant n lignes horizontales et n lignes verticales, si, dans le produit
ai6sc= .•■■ Sn des éléments de h diagonale où les indicée se suivent dans l'ordre i, 2, 3 jusqu'à «, on permute ces indices de toutes les manières possibles en donnant à chaque terme le signe -t- ou le signe — suivant qu'il dérive du premier par un nombre pan ou impair de permutations des indices, la somme algébrique des leimes ninM obtenus est le déterminant l'ordre n des «* quantités ot, bi, ....
lï. Propriétés des détebminants. — a) Un déterminant ns change pas si on écrit horizontalemeiil (es lignes verticales, et réciproquement.
Ainsi,
Cette propriété résulte delà loi de formation d'un déterminant; dans les deux cas les différents termes proviennent du même terme ■+- afi^c^.
b) Un déterminant change de signe, lorsqu'on y échange entre elles deux lignes parallèles (verticales ou horizontales).
on a
tn effet, pour liou\er les différents termes des deux derniers déterminants, il faut effectuer toutes les permutations possibles sur les indices dans le produit ■+■ b «jC, des éléments de la diagonale ; mais ce terme èjûjC, etint négatif dans le premier déterminant, il est évident que ions les termes qui en dérivent, d'après la loi précédente, auront les mêmes
valeurs numériques et seront affectés d'un signe différent niix termes du premier ; donc le déterminant a changé de signe.
c) Vn déterminant est nul, quand deux (ignés parallèles sont identiques.
Ainsi
car, d'un côté si on éciiange deux lignes identiques, le dcterminanl ne sera évidemment pas altéré ; mais d'un autre côté, un tel échange revient h. changer le signe du déterminant; donc, chacun des deux déterminants sera nul puisqu'il n'est pas altéré par le changement de signe des termes qu'il renferme.
d) Vn déterminant est égal à 0, quand tous tes coefficients d'une ligne sont nuls; car, dans chaque terme, il entre un élément de chaque ligne. Il en résuite que, si tous les éléments d'une ligne sont nuls, un seul étant excepté, le déterminant d'un certain ordre se réduira au produit de ce coefficient différent de zéro par un déterminant d'un ordre inférieur d'une unité. Ainsi
e) Quand les éléments d'une lign< coefficients, le déterminant est égal
Ainsi,
e composent d'une somme de plusieurs ■ine somme de plusieurs déterminants.
En effet; on peut écrire = («,
A|, Aj, A,, étant des déterminants du second ordre ; or, les trinômes des paranthèscs sont les deux déterminants du second membre de l'équation précédente, donc, etc.
f) Quand on iindliplie lefi élément'i d'une Ikjnt far un même fadeur, te déterminant se trouve multiplié pur ee facteur. Car, on a
=^pfl,A| -t- pK^A, -H pa.A.^ =
; diffèrent q«c par un facteur constant,
pa^, 6j, (
Il en résulte que si deux lignes le déterminant sera égal à zéro;
g) Si chaque élément d'une ligne est égal à la somme des coefficients correspondants des autres lignes, multipliés respectivement par des facteurs constants, le déterminant est égal à zéro.
En effet, on a
Ib^, b,, c.
Ib,
Ci, '',, c,
tic., 63, (
et les dcnx déterminants du second membre de cette équation étant nuls, la propriété est démontrée.
Il s'en suit qu'un déterminant ne change pas, si on ajoute aux coefficients d'une ligne, les eoefïieienls des autres lignes après ies avoir multipliés respectivement par des facteurs constants ; car on a
, + ?6, -H iwc,, 6j, ( . -t- Ib, +■ mc-, b-, i
Ib^-i- mc^, 63, <
cl, en vertu de la propriété démontrée, le dernier déterminant est nul.
Les coefficients /, m sont quelconques; ils peuvent ctte egau^ a l'unité, positifs ou négatifs; on profite de leur indétermination poui arriver k introduire plusieurs zéros dans une ligne ; ce qui abrc^e le ( *»lcul de la valeur du déterminant.
Applications.
c; f. rc
(ti)
'., h ! =œS œ(ac-f-Èc + J/)-Hude + 6c/'i
b) ResouJ™ le systciine suivent de n équations du premier degré
Soit i le déterminant de l'ordre n des coefficients des
a = KiA, -t-osfls -1- ftjAj + ■■-- o„A„-
Les quantités A., Aj,.... A^ sont des déterminants de l'ordre n — 1 qui ne ronfer-
nient pas la lettre u. Si, dans l'équation précédente, on remplace la lettre a par toute
autre lettre b, c,..., le second membre est nul; car, si au lieu de a,, a, .... »„, on
éeril, par exemple, 6,, &j,... b„, l'espression
6,A, -t-fisAj + isA, H b„k„
qui est nul, puisque deux ligues sont égales. Il en siralC de mètna pour toulc uut substitution. Cela étant, multiplions riispectivcmcut les équations dozinées pur Ai, ; A5, ... Aa et ajoutons-les membre ii membre; les coelticiciits des k nuls, il viendra
û3; = ï,Ai-l- vaAaH ■ ■i,,^^;
ï,4i + vsAs-l ï„A„
Pour trouver l'iDconnue y, il faut remarquer que le détcnniuaut \ est aussi
6,B,-t-fraB,H 6„B„,
et si on ajoute les équations, après les avoir respectivement multipliées par Bi,
à'J = viBi + vsBî H »„B„,
car, les coeflicienls des autres inconnues sont égau.'i à zéro; on 01 déduit ViBi-1-vaBsH v„B,
On trouverait d'une manière analogue la valeur de toute autre inconnue. Bemarqiie. Dans le cas particulier où les seconds membres des éqiialions donr sont nuls excepté celui de la jiremicrc, on a
et les valeurs des inconnues x, y, 2, sonl pro|iortionncllcs à Ai, B,
Lorsque tous les seconds membres sont nuls, l'éliminai
Asj^O, iy/ = 0,....
Ile:
doivent être satisfaites par des valeurs des œ, y, z.... diOérentes do z
— xsvir —
l.oi'squc cette condition est satisfaite, les cquations sont compatibles et les valeurs de X, y,x.... sont proprlionnelles aux détcrminaiils Ai, Bi, Ci..., Si. En effel, li étant nul on a
«,A, 4- i,B, +«iCi -I «iSi = 0;
o,Ai + 6aB, -h Cad H aSi =
osAi + &5B, -H s,S, =^
n„Ai + 6„B, + s„S, 1= ;
car les premiers membres de ces équations représentent des délerminanls oii deux lignes parallèles ont les mêmes eoefficienls. Mais les égalités précédentes montrent que A,, Ki, Ci, ... S], satisfont aux équations données ; il est évident que les valeurs ).Ai, XB,, XCi... satisferont également aux mêmes équations que! que soit X. On a donc œ=ïAi, ï = )B„ a=JC„....u = JSi.
Ainsi, les équations proposées déterminent les rapports et non les valeurs mêmes de
c) Trouver la condition pour que les n équations du premier degré n,»-l-'',ï+ -.■+si — 0,
mpatibies. Il falil que l'on ait
i équations données Seront compatibles, si la relation obtenue en élimin est satisfaite. Or, si on multiplie ces équations respectivement par Si, .... S, et si on les ajoute membre à membre, il viendra
s.S, -4- ïsS, -H a,S, + ■- s„S„ =0 ou bien A := ; caries eoelUcients des inconnues après l'addition sont nuls.
d) Montrer que les valeurs des n inconnues !b, y, 2 .... v qui satisfont à un syst de (n — \) équations du premier degré de la forme
OgJ! + bslj H SjU = 0,
— XXVT1I — Ajoutons à CCS (u — I) ei|uations l'cgalitu suivnnle :
sysli'me d« n cqiiatîoiis où les seconds membres sont nuls i
nous obtenam pour lequel m
«a, Èî, Ca, .... Si
par conséquent, on vertu d'une remarque faite pri;cétlemnn;nE, on peut écrire
Ainsi, pour les
équations
BiB -t- % +
dt = 0,
UiK -i- b,y +
il Tiendra
De mén^
e, étant données les
1 r,, n, équations
^x^b^y-^ti
-»-rf,y =
-|-JjU =
Cj.ds.Hj dj,
&,-■'■» rfj
^M'^s-nî ''si
6„e*,rf,
B„rfi,ai dj,
) Montrer que le p
oduit des deux déterminants
n déterminant ayant pour expression :
, OsOj + Sî^î + Caïs
COURS
