INTRODUCTION
SoHUArnK. — De* coonlannèei earlésiennes, obliques et reclangiilairen. Cowvfnnn^j ftolaircs. — Tran^foriuntion ilea coordonnées. — Pastage de la définition d'une ligne giomôlrigae à »uii égiinliui'. — Cfassifiention lies ligne» ptfinci.
g I. DKS coonDo^?ii-i:s.
I. On donne le nom de coordonnées fiux quantîtcs variables qui servent à fixer la position d'un point dans un plan.
Pour délinii' les coordonnées de Dcscarles, tirons préiiliiblcment (fig. 1) deux droites fixes XX', Y\" qui se coupent en un point 0, sons I lin angle quelconque. Par un point M, menons des parallèles à ces droites; les coordonnées de ce point 1 sont les longueurs MQ et MP, e'es dire ses dislnnces parallèles aux droi- 1 les fixes. Mais MQ = OP, MP = OQ :
ce sont ordinairement ces qunnlités que l'on considère, parce qu'elles '''n- '■
sont dirigées suivant les droites primitives. La coordonnée OP s'appelle
abcisse ilii point M et si; diisigiic par In Icllfe s; h\ seconde OQ csl l'ordonnée et se rcprésenlc par In lettru ij.
Si l'on donne les deux coordonnées OP et OQ d'un poinl du plnn, on trouve sa position en portant, sur les droites préalables, les longueurs OP et OQ ; les parallèles menées par les points P et Q déterminent, par leur interseclion, le point correspondant.
Comme rien n'indique dans quel sens il fant compter les distances OP et OQ, on pourrait trouver quatre points M, M,, Ms, Ma qui répondent à ces mêmes coordonnées. Il y a indétermination. Pour la faire disparaître, ont est convenu d'admettre la loi suivante pour les signes. Les abeisses sont positives, si elles sont dirigées à partir du point dans le sens OX, do gauche à droite; elles sont négatives dans le sens opposé. Les ordonnées sont positives, lorsqu'elles sont comptées à partir de l'origine dans le sens OY, négatives dans le sens contraire. En vertu de eette règle que l'on snit toujours, si on représente par o et 6 les coordonnées OP cl OQ,
Pour le point M... x = a, .'/ = i;
Pour le point M(... a: = — n, i/^^h;
Pour le point Ma... a; = — a, y = — b;
Pour le point Mb... a; = a, .V = — ^'
Ces systèmes de valeurs pour les coordonnées diffèrent au moins par les signes des quanlilés a et 6; et il est visible qu'il n'y aura plus qu'un seul point du plan qui réponde à un système de valeurs données pour X et y.
Les deux droites fixes XX', YY' se nomment les axes des coordonnées; la première est l'axe dos obéisses ou des x; la seconde est l'axe des ordonnées ou des y. Le point s'appelle origine; enfin, l'angle Tormé par les parties positives OX, OY est Vangte des axes; nous le représenterons par 0; il est toujours compris entre 0" et 180".
Le système de coordonnées que nous venons de définir est le système des coordonnées oblif/ues.
S. Coordonnées rechingulaires. Dans ce système, les droites préalables XX', YY' forment un angle droit; de sorte que les coordonnées rectangulaires d'un poinl sont les distances perpendiculaires de ce point aux
deux axes, on les projections optliogon:i!es da rayon OM sur les mêmes droilea. C'est le système Je plus gétiépalement employé.
Remarques. I. Les coordonnées obliques on rectangulaires d'un point sont des quantités yariables avec sa position dans le plan; elles peuvent avoir une valeur quelconque entre les limites — co et -t- os . Un point sur l'axe des x a une ordonnée nulle; pour les points extrêmes de cet nxc, on aurait :
a; =-+-00, ,V = 0, et X=— ÛO, i/=0.
Tout point de l'axe des y a uneabcisse nulle; l'oHgine est le seul point du plan qui a ses deux coordonnées égdics à 0.
II. Par abréviation, on emploie la notation M [x, y) pour indiquer que le point M a pour coordonnées les nombres * ei i/ ; le premier est l'abcisse, le second l'ordonnëe. Souvent, dans une question, pour distinguer les coordonnées variables a; et y de celles de points donnés, on alîecle ces dernières d'accents ou d'indices; ainsi M'(r', i/'), Mi(j;i,yi) etc. sont généralement des points donnés ; tandis que M (a:, y) est un point variable qui décrit une certaine ligne dans le plan.
3. Trouver les coordonnées d'un point. C qui partage une ligue Ali eu
deux segments dont te rapport est égal à — ■
Par les points A, C, B {/ig. 2), menons des parallèles à OY; soient {x', y'), {x",y"} les coordonnées des points donnés A et B, et {x,y) celles du point C. A l'aide d'une parallèle à OS menée par le point A, on a les égalités :
AC AK m CB~KF~ '. ■ Or
Ak:=PQ=OQ — OP = a: — j; et
KF=QR=OR — OQ=a:" — Après la substitution, il vier
En second lieu, si on mène CD parallèle à OX, on
par suite,
Les deux ciiuations (a) el(|3) nous donnent iinalemcnl, poui nées chereliiies :
Si le point de division ctoil en deliors des points A et ](, [inr i m C, une marche identique conduirail: au\ formules :
Dans ie eys particulier où le point C c coordonnées du milieu .sont :
Ex. •- Un triangle ABC a iinur sommets : A (— J, 0), Il (0, 2|, C (ô, 0); i] coordonnées des rail i eux des cdtés.
Ex. ». Les sommets opposés d'un paraltelogfarome sont ■ A (0, 0), A' (5, 2); It (0, 2), B' (5, 0). Quels sont les coordonnées du point d'interscclion dos diagonales f
Ex. 3. Les sommets d'un triangle sont : A (s/, y'), B {-c", y"j et C {x'", j"')i trouver les coordonnées des milieux des médianes.
R. On arrivera à trois expressious de la forme
points dans un plun P,, Ps, Pj el Pii soit on divise 1b distance CiPg eu trois parties cgi de C, ; ou joint C, avec P<, et on divise ( ordonnées du point de division Ci le jilus pi (œ,,y,)ctc. On ti'OLivera successivemonl :
A'^^'. li±i^\ 2" Pour 1. point C.Y^lH^^^, Hzt^ilîY enfin,
Ex, 4. On a quatre points dans un piun Pi, Ps, Ps el Pii soit C, lo milieu do P, I'î; on joint Ct avec Piéton divise 1b distance CiPg eu trois parties égales; soit Cs le point de division le plus près de Ci ; on joint Cj avec Pt, et on divise Ca P( en quatre parties égales ; trouver les coordonnées du point de division Ci le jilus procbe de C^, celles des points donnés étant {œi,yi)ctc. On ti'onvera successivemonl: 1" Pour le f
Ce point s'appelle le centre des siioijenues distances des points doiitn's. On acrivo toujours au même point final quoi que soit l'ordre suivi entre ces points diii>s la suite des opérations.
Ex. ». Étant donné un système de m points P,(a!„ y,), Pî(a-a, y^) etc., conslruiio le. point dont les coordonnées aoiit reprdsciilci's par
11,1, -t- «jE, -I- ni»œ« "li/i + n,y, ■+■ ■ n^yn.
Ce ]>oiiit su nomme le rentre de> ilislaoces }iroporlwnnelles du système. 4. Trouver l'expression de la dislaiice entre deux points donnés. Soient M' (a:', >/), M" (*;", t/") It'S points donnés ; menons les ordonnùus M'P', M"P", et, pni- le point M', une parallèle h OX; l(( li-innglc M'M"K tlonnc la reiiilion :
!r5r'-= .irK' + ariï''-4-2Si'K-M''K-cosM'KM'';
M'K. = l»'P" = x" - x', M"K = M"P" — KP" = y" — y'.
De plus, ni S est Tniigle des ; M'KM" = 180" — G.
Done, en riësignnnt par S la distiu des deux points, on obtient la formule :
3. =^ (X" ^.y + (y" y'f + 2(x" - X') {f - y') eos 9. D'où ..^___^
L'expression i!c la distance de roiljjine à un point M' {a;', y') découle de la précédente; il faut supposer que le second point M" vienne coïncider avec l'origine ; alors x" = et y" = ; et il vient :
ô = ^3^^-^-y'^-^-'lx'y' eos Ô.
Lorsouc les uses sont rcclangulaires, ces formitles se simplifient : oji fi
= - , cos = 0; par suite,
5 = /(^"-ry+{y'- yT; t la distaneo d'un point M' {>:' y') à l'origine devient -3 = |/a;'= -•- !/".
Dans l'application de ces formules, il faul lenir compte Jii signe des coofdoiinées, et prendre, pour è, la valeur positive du radictl,
Eï,«. Trouver lu distance des deus poinls A (-3,4] et 8(5,-6). IL ai/ïïT Ex. S. Quels sont les celtes d'un triangle qui u pour sommels : A (^1, —%), B (1,2), C(2, — 3)? H. 2|/S7 l/iÔ7 KSê.
Ex.». Evaluer ladista„ee e„trc Ic^oin. A(*',,') H ie point BP-^^^, ^^^^Ê?l '
H, I/Ï^M^ El, 4. Faire le mémo eulcul pour' les points A (siii p, — eus i/) et I) (— siii g, cos p).
Eï. a. Les sommets d'un triangle sont A (ar', y'j, B {*", s
R. ^^y[^-'-^")''-t.{y-"^,j"f, etc. ou ^ISC, ^Ar, ^AB.
Ex. «. £\primer que la distance d'un point M (b,î/1 au point (— 1,2) est ugalo à 5.
A(— 1,I)B(I,2), C(l,-— 2). Il faudra résoudre les deux équations
Ex. S. Clici'tlier les coordonnées d'un point du plan situé a égale distance des points A(-(,I)B(2,3).
On a la eon Jilion : (a; + I)' -t- (1/ — 1)> = (» — 2)'+ (y — 3)«, ou 6aT + ij, — ] I = 0.
Tous les systèmes de valeurs, <\a\ satisfont à celle relation, donnent des (joints qui répunilentà h question.
5. Coordonnées polaires. Dans ce nouveau système, ponr déterminer un poinidu plan, onpiend préalablement un point fisc appelé pôle, et une droilc Jixe OX. Les coordonnées polaires d'un point queleoni]uc M sont : 1" La longueur du rayonvecteurMO qu'on désigne parla lettre p ; 2" L'angle w que fnit ce rayon Fjg. 4. vecteui' avec l'iixe.
La coordonnée p varie enirc et « ; l'anj^le w se c'om|iie n ]>arlii-
i sufïisent pour diîterminer un
de OX vers OY de 0" à 3B0''. Ces lirai point quelconque du plan.
Il existe une relalion impoftanto entre les coordonnées polaires et les coordonnées rectangulaires d'un point, lorsqu'on pi'cnd le pôle pour origine, et l'axe OX pour celui des abcisses. Si on mène OY perpendiculaire à OX ainsi que les coordonnées du point M, on a évidemment :
a; = p eos m, .V = P ^i" " i d'où
■J-=tn/.t nf. Il = l/r^ -I- IJ^.
Ces formules permettent de changer u reetangulaircs x et y en une autre qui n oëes polaires, et réciproquemeni.
Ex. 1. Introduire dans les êqualioiis qui suîv i' As -+- Bj -t- C = 0.
= Sx.
le relation entre 1 renferme plus q
s coordonnées e les coordon-
Ex. t. Introduire les coordounces rcctajigulai
3" p = n-+-È x. a. Chereliei- 1
■) et B(pV"|.
moyen du Irianglc
§ 2. ÎRANSFORMiTION.HES COORDONNÉES.
A. La transformation des coordonnées a pour but d'exprimer les coordonnées X ety d'un point, comptées sur deux uxes primitifs, en fonction des coordonnées du momc point relatives à un nouveau système d'axes.
