Phemièhi

Los formules i[iii en doriveiit servent à iiitroilnirc les coordonnées nouvelles dans une relation entre les premières x et y, et à passer ainsi, comme nous le verrons plus tard, de l'ëquntion d'une eourbe rappoi'tce à un système d'axes, à son équation pour des axes nouveaux. Celle opération est souvent utile pour simplilier, avec un système d'axes convenables, l'équalion d'une ligne afin de l'étudier avec plus de facilité.

Dans la recherche des formules de transformation, nous allons distinguer différenls cas, suivant la position des axes nouveaux relativement aux axes primitifs.

I. Déptaceiiient de l'origùie. Soient OX, OV les anciens axes, et O'X', 0'\" les axes nouveaux; nous désignerons par X et y les coordonnées d'un point M par rapport aux premiers,c(para;',^' les coordonnées du même point pour les deux autres; enfin,soicnlM et h les coordonnées de la nouvelle origine 0'. On a o = OA, i^ AO', x' = O'P', J/' = MP', X = OP, }/ = MP. Mais,

OP = OA -H AP = OA H- O'P', MP = PP' -t- MP' = AO' -4- 3IP' ;

Ce sont les formules de transformation qui eorrcspondonl à un changement de l'origine, la direction des axes étant la même; les quantités a et b sont supposées connues.

y + fa — 7 = 0, a:' + !,» — ia! -f- 2ï/ — 1 = (I, M l'on |)loco la LiouveHe origine au point (2,— l] ?

», !/'+4)i' = 0, a-" + !/'> = G 2. Que devient l'équatien

8. SiiCo,\DE TiiA.\si-oiiMAïioN. Chatigemenl de direction dvs uxen.

Les droiies OX, OY {fig. 6) sont toujours les axes primitifs et OX', OY' les nouveaux axes issus iJe la même origine ; soient œ et p les angles de ces derniers avec OX : ces (Jeux angles sont donnés et servent à fixer la position des axes nouveaux. Nous désignerons, comme tantôt, par x el y, x' et y', les coordonnées d'un point quelconque M relativement aux axes de même nom; enfin B sera l'angle YOX.

Après avoir mené les coordonnées, on a.

d'après la figure,

e=YOX, a=-X'OX, jS^Y'OX.

x=OP, J/ = MP, a;' = OP' *,' = ftiP'.

Pour arriver à exprimer se et y en fouclion de x' et de y', lirons deux lignes auxiliaires OR et OS respeclivemenl per- " pendiculaîres à OY et OX, et projetons le polygone OP'MPO, d'iibord sur OR. En vcriu du théordme : que la somme algébrique des projections des côtés d'un polygone fermé sur un axe est nulle, on peut éci-ire la relation suivante, en parcourant le polygone dans le sens OP'MPO, OP'eos(0P',OR)+P'M eos(P'M,OR)-MPcos(SlP,OR)— PO eos(PO,OR)=0; ou bien

x' cos X'OR ^ ij cos Y'OR — x cos XOR = ;

car le côlé MP est perpendiculaire à OR, et le troisième terme disparaît.

XOR = YOR - YOX = g -- 5; X'OR = X'OX -t- XOR =- a + | Q = ^ — (Q — a);

Y'OR == Y'OX -b XOR = ^ -V- 1 — = I — [B — fî).

La siibsiilution de ces valeurs nous conduit à la relation

(a) x' sin (9 — a} -1- y' sin (9 — 13) — a; sin S = 0. Projetons maintenant le même polygone sur OS. Ou aura OP' cos X'OS -i- P'.M cos Y'OS — MP cos YOS ~ PO cos XOS = 0.

Mais

X'OS = ^ — a, VOS ^1 — [3, YOS == 5 ^ S;

yGoosle

(!c plus, le coté OP est pci-pcndieulaii-c à OS, cos XOS=0; en substituant, on obtient

(h) x'si,ia-t-/sinp-ysinO=^0.

Les deux équations («) el (6), résolues par rapport a x cl y, donnent ^__^ a:'sin(e-^)+/sin(e^P) ^ x' ,in a ^ y' sm ^ ^

Ces formules servent à passer d'un système d'axes obliques à un autre système de même nature el de même origine ; elles sont peu employées dans lonte leur généralité. Nous allons examiner quelques cas parliculiers d'un usage plus fréquent.

1" Passer d'un système d'axes rectangulaires à un systèrne d'axes obliques.

On a, dans ee cas, = ^, sin = 1 ; et les formules précède nies

deviennent

X = a:' eos a -I- y' cos |3 i/ = x'sina-t- j'sinp.

2" Passer d'an système d'axes rectangulaires à un autre système d'axes rectangulaires.

Dans cette hypothèse, 6=51 sin 9 = 1 ; de plus, (3 = -^+«,

eos |3 = — sin a, et sin {3 = cos a. Les formules propres à ee passage

3; ^ a:' eos a — y' sin «,

y = x' sin a -t- y' COS «.

5" Passer d'un système d'axes obliques à un système d'axes rectiui-

On a ici : [3 = - -t- a, sin (S — (3) = — eos (B — a), et sîn (3 = cos o.;

par suile,