TR4NSFoiiJ[iTio.^ (iÉMÉnALE. Elle consiste à clianger i

et la clirecUon des axes. On peut y |iarvenir au moyen des deux Irniisformnlions précédentes. Si 0'(n, b) représente la nouvelle origine, et si on mène, par ce point, deux axes O'X", CY" parallèles aux axes primitifs, on passera d'un système à l'autre par les formules a: = « -t- x", y r^b -^- y".

Il reste ensuite à passer du système O'X", O'Y" au système O'X', O'Y', en conservant l'origine. Il faudra remplacer a;", y" par les valeurs générales de se et y trouvées précédemment. Les formules de la Iransforaïalion la plus générale des coordonnées rectilignes seront donc ^ 3:'sîn(S-a)-4-.v'sin(9-f3)

sin 6

Remarques. I. Dans les formules précédentes, 6 est l'angle formé par les parties positives des axes OX et OY; il peut varier entre 0" et 180". Les angles « et [3 sont formés par les parties positives des axes nouveaux avec l'ancien axe des x positifs; ils peuvent varier entre 0° el 180°.

II. Dans les cas particuliers du N" 8, si l'origine change et se trouve au point 0' (a, b) du plan, il faut ajouter aux valeurs de x çtdcy les coordonnées a et II de cette origine.

m. Les différentes formules de la transformation des coordonnées sont du premier degré en x' et j/' et de la forme

a: = o -f- px' -h qi/', ,'/ ^^ f* '^ '"^' "+" ^H'-

La substitution de ces valeurs, dans une équation du degré wt en x et y, conduira à une nouvelle équation du même degré en x', y'. Il est clair que le degré ne pourra pas s'élever, car le développement d'un polynôme à la puissance m ne donne pas de termes en x', y' de degré supérieur à m ; il ne diminuera pas non plus, car, en repassant des axes nouveaux aux anciens, il devrait augmenter.

Ex. 1. MoDti'cr que l'cquatjon

■• + ». = Il"

fiSt toLijûui-s de lu munie forme pour loua les axes rectangulaii'cs Je laéDie orijjiiie. Ei:. «. 0\x s Tiiquotioa en coordoiuiées ['eet.ingulaircs

Es. 4 Éoiii'e les formules propres à passer d'un système d'axes rcelotiglllaires n uh sysiènie d'usés obliques eu coiiservaut l'origine el le même axe des œ. R. œ = œ' -»- / COS |3, y:r^ y' sîii ;3.

Ex. S, Éluiit diJMiiciy réqiialiou eu cnordoiiuces reclangulaircs ^x" — îixii -+- 2i/' :^ I , r]ue lieviurit-olli', si un conserve l'axe des a: et si on prend, (imii' axe des v, la bissoetrice des n.ics pi'iniilirs ?

li. i(!''-l-!^'2 + l/^a,y = 2.

dus coordonnées cartésiennes en coordonnées I polaires. Nous avons déjà l'ait connnitrc I les formules qui servent à ojxSrcr ce I passage, lorsque les axes sont rectanga- I Inires, l'origine nu pôle, et l'axe des x I coïncidant avec l'axe poloire; ce sont ; a: = pcos», t/ = psinw.

Si l'axe des a; fait un angle cc{fig. 7) avec l'axe polaire, il suffit de changer w en w — a, cl on n, dans celle hypoMièse, x = p cos (w — «), y = p sin (o — a).

Supposons niainlcnant (fig. 8) que les a.ics soient obliques, et que eelui des x coïncide avec l'axe polaire. Le iriangic OMP donne

MP sinM OP sio(9-M) OM~?iiiS' OM sin (3

D'où on lire les lormiiks do Iransforma-

I 5. i5ql'.vtio^s des lieux fiÉoji étriqués.

11. Soit AIÏ une ligni; définie gcnmétpiquemcnt pai' une propriiHc commune k chacun de ses points. Menons à volonlé, dans le plan, deux axes OX, 0¥. Les coordonnées a; et y d'un point M dépendent de sa position snr la courbe ; pour In vîileiii- parliciilièi-e a: = OP, l'ordonnée prend une valeur déterminée MP ; et si on fuit 1 varier x, par exemple, en lui atlribujint 1

les valeurs croissantes OP' , l'ordoni

y varie aussi; elle augmente on dimîi

suivant la forme de la courbe. Dans i<

les cas, on peut regarder l'ordonnée d'un 1

point qui décrit une lij^ne géométrique ri^. a.

comme dépendant de l'abeisse de ce [miiit : ce qui s'exprime en disant que

y est une fonction do x. Dès lors, en parlant de la définition de cette ligne

on pourra, par une construction nuxiliairc et au moyen de théorèmes

eonnus, exprimer par une équation la relation qui existe entre l'ordonnée

et l'abeisse. L'équation ainsi obtenue ne renfermant plus que des quantités

données et les deux variables x et y est l'équation de la ligne définie :

c'est-Ji-dîre une équaiion qui sera satisfaite par les coordonnées de tons

les points de la courbe; car ces points jouissent de la même propriété et

doivent satisfaire à la même relation.

ttëciproqiiement, toute équaiion entre x et y représente une ligne dont on peut connaître approximativement la (orme au moyen de deux axes quelconques. Il faut remarquer qu'un système de valeurs pour a; et j, pris au hasard, ne satisfera pas généralement à l'équation; les points dont les coordonnées satisfont à celte relation ne vont pas se répartir dans le plan d'une manière arhitraire; mais ils doivent se suivre d'après une certaine loi. Or, si on donne h la variable x qui représente l'abeisse une valeur Xi, l'équation donnera une ou plusieurs valeurs pour y, suivant son degré ; on aura donc un ou plusieurs points de la courbe situés sur l'ordonnée correspondante h x,. Avec une seconde valeur i = a;s, on obtiendra de nouveau un on plusieurs points du lieu sur l'ordonnée correspondante il Xa, et ainsi de suite. Lorsque les points ainsi trouvés sont assez rapprochés, on peut les joindre par un trait continu, et tracer approximativement la courbe, lien de l'équation donnée.

Nous alloiis donnef qiielqueij exemples qui ont pour but d'indiquer la marclic à suivre dans la mise en équation des lignes. Nous ferons remarquer qae, les axes des coordonaées étant arbitraires, on peut les choisir comme on veut dans chaque qnestiou. Souvent, on fait usage d'axes rectangulaires ; s'il y a des points ou des droites données, il est généralement avantageux de prendre l'un des axes passant par ces points ou coïncidant avec une droite connue.

IS. Cercle. La circonférence de cercle est une courbe dont les points sont également distants d'un point fixe appelé centre.

Pour arriver 5 son équation, prenons pour axes deux droites rectangulaires qui se coupent an eenlre. Soient x cl y les coordonnées d'un point ; menons MP perpendiculaire à OX, usi que le rayon OM. Le triangle I OMP donne

OP

h MP = OM ,

)■ étant le rayon du cercle.

C'est la relation qui existe entre les coordonnées d'un point quelconque de la circonrérence, ou l'équation de cette ligne, pour le système particulier d'axes que nous avons choisis.

Cette équation serait différente, avec un système d'axes rectangulaires issus d'un point quelconque A du plan. En effet, si on les prend parallèles aux premiers, et si on prolonge MP jusqu'à sa rencontre avec Ax, on a ici a;=.AQ, y = MQ Soient a = AR, et f- = OR les coordonnées du centre ; on a toujours, dans le triangle OMP,