OP = HQ = AQ — AR = X
MP = MQ - PQ = MQ — OR = y — t ;
l'équation du cercle, pour ce second système d'axes, sera (.:-«)■ ^-(j- 6)' -r'.
, L'hyperbole est une courbe dont chaque point jouit de la différence de ses dislaiiceti à deux points fixes eut
Comme il y a deux points fixes donnés, prcm la droite qui passe par ces deux points, et, poni pendicnlairc OY élevée au milieu de la distance FF'. Soit M(x, y) nu point de )a courbe; tirons les droites MF, iVIF', et MP perpendiculaire h OX. Nous représenterons la constante par 2(ii, et la distanee VF'
par Se.
D'après
i défmiii
Or, le triangle MPF donne
= /mp'+ r
On ti'ouvcra ;iussi, ji;i
■ le Irinnglc MPF',
MF' = i/f + {x + cY.
L'éfiaalinn de la courbe sera donc
l/,f + (a; + c)* - l/f ^- (^ - cf ■-
Afin de simplifier, faisons passer le second radical dans In membre droite, et élevons ensuite an carré. Il viendra, après les réductions,
ex — a^^a [/y* -t- (x — cf ; fil, en élevant une seconde fois au carré, on pourra mettre réi]uation sous la l'orme
Mais, dans le triangle FMF', on a FF' > F'M — FM ou 2c > 2a ; la dîfFépcnce c' — «^ est positive et on peut poser c* — o^ = 6^ L'équation de l'hyperbole, pour le système d'axes de la iigure, sera finalement
ou bien Ponr se faire une idée de îa courbe, il faut discuter réqualion. Si on la
résoijd par rapport à y, o
A chaque valeur attribuée à x, eoprcspondenl deux valeurs égales cl de signes contraires pour y ; les points de la courbe sont donc distribn(!s deux à deux à egnîe distance de l'axe des x. 11 en sera de même relativement à l'axe des)/; il suffit de résoudre l'équation par rapport à a; pour s'en assnrer, La courbe est donc symétrique par rapport aux deux axes.
Ponr X = ± a, .y = ; si on porte sur l'axe des x, de chaque côté de l'origine, OA=OÂ'=o, on aura les points A et A' où la courbe rencontre l'axe des x. Dans l'hypothèse x = 0, l'équation donne pour y une valeur imaginaire; la courbe ne rencontre pas cet axe.
Lorsque a; varie depuis jusqu'à dba, y est imaginaire ; donc, si on tire par les points A et A' des parallèles à OY, il n'y aura aucun point de la conrbe situé dans la portion du plan qu'elles coniprennent. Mais si x augmente depuis ± a jusqu'à ± ce , y est toujours réel et croît indéfiniment avec X. A ces valeurs correspondent les deux branches de la figure : elles s'étendent à l'infini, Tune dans le sens des x positifs, l'autre dans le sens des a; négatifs, en s'écartant de plus en plus des axes.
14. Lemniscate. La lemtiiscate est une covrbe telle que le produit des distances de chfictm de ses points à deux points fixes est constant et égal ;arré de la moitié de la distance s points jixes.
Adoptons le même système d'axes |ue dans l'exemple précédent, et I posons a = OF. L'équalion de la courbe sera
[/^y'^ + [.v~aY^y'-^{x^af=n\
: les deux membres, on oblienl
Yf + (a: — uf] [f + (1+ a )u bien
[(/ -V- a;^ -+- a^ — 2aa;] [f- -t- x^ -j- a L'équation de la courbe peut donc s'écrire {,(/ -H x^ -^ a^}' — 'i-a^x' ■■
Eli lii résolvant par rapport à if, on trouve
r^ai/i^^ + a^-(x^+i
Pour calculer y, il faudra toujours prendre
le
membre avee le signe positif.
A chaque valeur de ic, il y a deux valeurs égale
s et
pour y ; la courbe est symélrique par rapport à Les points de reneoiilre avee XX' s'obtienne trouve ainsi la condition
a [/ix^ + a* = j;^ -t- a
ou bien
= 0, eta: = ±o[/2. U
H'be pas
rl'o
On y satisfait pour x^ gine et coupe l'axe des x en deux autres points situés à nnc distance a ]/¥du point 0.
Il est facile devérifier que, pour les valeurs de a; plusgrandes que a^2, y est imaginaire; la courbe reste comprise dans la portion du plan inlerceptée par les parallèles k OY, menées par les points où elle rencontre l'axe des x. Lorsque x varie entre et ay^, y augmente d'abord pour
,. . . , Sa On ,
diminuer ensuite ; le maximum de y tombe entre x = -7-- et r = — - ■ La
courbe aura donc la forme indiquée dans la figure.
1 5, CissoÏDE DE DiocLÉs. On a un cercle {jig. 13), un diamètre a = OL, et la tangente IR à l'extrémité de ce diamètre. Par le point 0, on mène e telle que OD qui rencontre le cercle m un point G ; I ou prend enfin OM = CD ; le tim du point ' M ainsi construit est la courbe appelée issoïde.
Pour trouve!' son équation en coordon-
lées polaireti, prenons le point pour pdie,
et OL pour axe polaire. Soient p, u les
coordonnées du point M; d'après la eon-
I struction, ou a
p =0M :.-CD = OD — OC.
Or, si on mène CL, les triangles rectangles ODL et OCL nous donuont
'Icimnt
yGoosle
C'est l'ciqualion de lu cissoïde en fioorddnnéos polaiirs.
En \crtu de lu Iran s for million indiquée pré eédem ment, on oblicndra facilement l'équation de la courbe en coordonnées rerlangulaires. Si on prcnii OL pnur axe des x, et la perpendiculaire OY pour l'axe îles onlonnécs, il fiiut se servir des formules
X =; p cos w. y = p sin w.
Cette équation indique que ta courbe est symétrique par rapport à l'axe dcsj:; si a; augmente de à a, l'ordonnée j/ croît d'une manière continue et devient infinie pour x = a. D'ailleurs, pour toute autre valeur attribuée à X, ij est imaginaire. La courbe se compose de deux bnincbes symétriques qui s'éloignent de plus en plus de l'axe des x en se rapprochant indérmimcnt de la droite lixc RR'.
16. Spuule o'AitcHiMÈJiE. Une longueur fixe OA tourne mùformément autour du point 0, de sorte que te point A décrit une circonférence de rayon OA = r. Un point M part en même temps du point pour par- 'irir d'un mouvement uniforme le rayon OA, pendant le même temps I (jue le point A décrit la circonférence I entière. Le lieu des positions du point M I «si la spirale d'Arckimède.
Clierchons son équation en coordon-
lées polaires, le point étant le pôle
■t l'axe polaire étant dirigé suivant la
I position primitive du rayon OA. Soit
I OAi une position du rayon mobile telle
■ que AAi soit, par exemple, la huitième
