i),ol

Ex. S, Déierniiner le poiii! commun des droites

Ex. a. Même calcul poui'

l-ysiiis' — p'^O.

p fst l'angle lîcs deux droites.

Ex. 9. Avec les mêmes équalieiis que dans l'exemple prEicéilent, ci du point d'intersection des droites à l'origine. On a, en appelant p cette distance,

f' = K» -H î/' — jr^ 0^ + p'^ — V' tes 5.].

Si on désigne par D la distance cnlrc les pieds des perpeiidicuh l'origine sur les droites, on aura celte relotinii

3A. L'équalion générale de la ligne droite 1/ =' ma: -4- 6 ne renferme que denx coefficients ou paramétres inconnus. Il en est de même de l'équalion Ay -t- Ba; 4- C = ; car, si on divise par C, il reste les deux

coefficients - et - dans le premier membre. I,es deux conditions géométriques auxquelles une droite peut être assujettie servent à trouver deux équRiions de condition où entrent les paramètres et des quantités données : équations qui suffisent pour les déterminer. Dans les problèmes qui suivent, on s'occupe de la recherche d'équations de lignes droites soumises il certaines conditions.

36. Trouver l'équation d'une droite qui passe par deux points donnés.

Une droite quelconque est donnée par l'équation y = mx -h &, en déterminant convenablement les coefficients m et 6, Soient M' {x', y'], M" {r",y") les points donnés. Si l'un de ces points, par exemple M', doit

appartenic à la droite, ses eooi'doniiécs doivent satisfaire à l'équation : on » donc la condition

y'^ms' -\-b.

On peut profiler de cette relation pour éliminer une iiieonnue, par exemple b; ec qui s'obtient par la soustraction des équations membre à membre; il vient ainsi

Cette équation i-eprésente une infinité de droites, puisqu'elle renferme un coelfieient indéterminé m ; et toutes ces droites jouissent de la propriété de passer par le point M'.

Mais, comme la droite ehert-hée doit aussi passer par M", on a cette seconde condition

-/ = m(x"-^'}, d'oL

Si on substitue oeUe valcîii- dans l'cqualion précédente, on obtient, pour la droite cherchée,

ou bien, sous une forme plus symétrique,

V — y' X — x' y" — y' x" — x' En chassant les dénominateurs et faisant passer tous les termes dans le premier membre, on peut encore écrire

Il est bon de retenir que le coefficient angulaire d'une droite qui passe par deux points est égal au rapport de la différence des ordonnées à la diffërcnee des abcisses de ces points.

Ex. *. Que devient l'équation d'une droite qui passe par dtuï points, si on

fait suc-

Mssivment !," = !/■, :." = »'?

Eï. a. Éflripe l'équation de la droite qui joint l'origine au point U{x', y').

Es. a. Trouver les équations des côtés d'un triangle dont les sommets sont

R, 3y cc.7 = 0, !/-(-œ — 1=0, :i!i-^x~H—0.

Ex. 4. Les sommets d'un triangle sont A (0,0), B {0,y") C (œ"',0); trouver les et|uations des mëiKanes.

R. *"'!, — s"œ = 0, 2j/"ai-ha!"'!/-i8"'j/"=0, y"«-\-'2x"'y —x"'y"=0. Eï. a. Trouver 1.1 eonditioti pour que les Irois po'mis [!c',y'),(x",y"),{x"' ,y"') soient en ligne droite.

La droite des deux premiers points esl

{/' — y')'e + {!>' — !e")y-\- y'j^" — x'y" = 0. D'après la question, le troisième point ilovm satisfaire à cette équation, rt la condition clierchéc sera

{y- — y') X-" -t- [x' — m") y'" -\- y'x" ~ x'f^O, ou, sous une forme plus symétrique,

x' ly"' — y") -t- x" (</ — !/'") -t- ^"' {y" — y') = 0. Ex. «. Trouver les médianes du triangle dont les sommets sont : k(x',y'), B(x",y"), CU'", y"').

R. (at' — a^"-iB'")y-(2j/' — y"-H'")»^-t-y-[i" + œ"')-K'(y"H-!/-") = 0; (2*" — it' - x"') y - (Si/'' ~y' — y'") ^-\-y''{x'-*- x"-\ — x" [y' -V y'") = ; (2^'" x' - co") y - {2j,"' - !,' - y") ï + y-" [^- -i- »") - »'" (y- -H y") = 0. Ex. >. Montrer que la droite passant par les milieux de deux cotés d'un triangle est e câté.

Ex. 8. Trouver le rapport des segments qu'une droite .\y -h Iîp -(- C = di fur la ligne qui joint les deux poinis M'(ï', y'], W {x",y").

Désignons par — ce rapport, et par C{x,!/) le point d'intersection des droilc:

On aura (N» 3)

Substituons ces valeurs dans l'équation de la droite donnée ; il viendra

A {my" -+- >iy') H- B{«,x" -H W] + C [m -v- «) - 0. On en tire

w__ Ay' + Bx'-t-C n ~~ Aj("^Bt"-i-C' Ex. O. Trouver lo rapport suivant lequel la droite des points D(!c', y'), ^{x", y'') est rencontrée par la ligne qui Joint deux autres points Fl^'", y"'), G{ii", y")- ^ m x' [y" - y'") -4- a'" (y' —y'^-h a" ly- — y') n x" {•/" — y") ■+■ x'" (v"— y") ■+■ i'" (y" — y"')

is Ail, AC,BC d'un triangle a